Наближені методи оцінки якості

Існують три види наближених методів оцінки якості: кореневі, інтегральні й частотні.

Кореневі методи оцінки якості:

До даного виду методів належать:

• 1. Оцінка якості по розміщенню коренів на комплексній площині;
• 2. Аналіз за допомогою діаграми (у тому числі нормованих), які визначають межі зон параметрів, що зумовлюють вид коренів характеристичного рівняння;
• 3. Кореневих годографів та ін.

Оцінка якості по розміщенню коренів на комплексній площині може проводитись також за різними ознаками. Одним із методів цієї групи є метод оцінки якості за найменшим коренем — коренем, який лежить найближче до вертикальної осі комплексної площини коренів.

Якщо найменший дійсний корінь, то аперіодична ступінь стійкості системи дорівнює. Якщо найближче до вертикальної осі розміщуватиметься пара комплексних коренів, то ступінь стійкості називають коливальним.

Коливальність системи в цьому разі.

Як було зазначено раніше, при наявності комплексних коренів у розв’язку рівняння незбурених коливань системи з’являється складова вигляду:

Період коливання у цьому разі. Амплітуда синусоїдальних коливань має зсув по фазі відносно початку координат на кут .

За час, що відповідає періоду коливань T, нове значення амплітуди обчислюється за формулою:

Звідси випливає, що чим більша величина коливальності, тим довше загасатиме перехідний процес. При цьому ступінь стійкості буде зменшуватись.

Так, при аперіодичній стійкості складова перехідного процесу, яка відповідає найменшому дійсному кореню дорівнює .

Тривалість затухання перехідного процесу до величини, що ставить 5% від початкового значення, яке умовно вважаємо таким, що відповідає закінченню перехідного процесу в даній системі можна знайти з виразу Звідки, або .

Отже, тривалість перехідного процесу обернено пропорційна ступеню стійкості. Звідси можна зробити висновок, що тривалість перехідного процесу прямо пропорційна ступеню затухання коливального перехідного процесу, для якого.

.

Якщо ставляться обмеження по тривалості або коливальності, то це приведе до необхідності розміщення всіх інших коренів у деякій зоні, обмеженій величиною h, і кутом.

Всі складові кривої перехідного процесу вигляду або, що визначається коренями, які лежать в межах даної зони, будуть затухати швидше. Показані на рисунку криві перехідних процесів відповідають від'ємним дійсним кореням:

Отже, чим менший корінь, тим довше затухає перехідний процес. Тому в деяких випадках можна задовольнитись дослідженнями по мінімальному кореню, якому відповідає найбільш тривалий процес, що визначає тривалість перехідного процесу в усій системі .

У зв’язку з викладеним виникає задача знаходження мінімального кореня. Для її розв’язання Вознесенським у 1941р. було запропоновано метод приблизного знаходження мінімального кореня, який полягає ось у чому.

1. Знаходять мінімальне значення кореня за умови, що за час величина відхилення регульованої величини x від її початкового значення, буде дорівнювати .

Цю вимогу можна виконати, якщо найменша дійсна частина кореня характеристичного рівняння замкнутої системи не буде меншою за деяку величину .

Оскільки всі інші складові перехідного процесу вигляду будуть затухати швидше, то рівняння системи зведеться до рівняння першого порядку:

Згідно з поставленою умовою, тому можна записати.

(*).

2. Виконують перевірку «мінімальності» знайденого за формулою (*) кореня в умовах даної системи.

З цією метою вертикальну вісь комплексній площині коренів переміщують вліво на відстань.

У новій системі координат (після переміщення вертикальної осі) характеристичне рівняння замкнутої системи матиме вигляд:

• (*)
• (в дане рівняння підставляють абсолютне значення величини мінімального кореня)

3. Якщо нова система з характеристичним рівнянням (*) буде нестійкою, то це означає, що визначений за заданими умовами якості системи мінімальний корінь в дійсності не є мінімальним. Тому в даній системі неможливо виконати поставлену умову. В цьому випадку можливі такі варіанти наступних дій: або згодитись з тим, що поставлену умову виконати не можливо, або змінити її відносно і і знайти відповідне нове значення мінімального кореня і перевірити його мінімальність. На основі даного методу можна також визначити значення настрою вальних параметрів системи для знаходження потрібних показників якості.