Кривизна пласкою кривою. 
Эволюта і эвольвента

Кривизна пласкою кривою. Эволюта і эвольвента

Реферат по математичного аналізу виконав: студент МДТУ їм. Баумана група Э2 -11 Тимофєєв Дмитрий Москва 2004.

Введение

Для повнішого ставлення до кривизні пласкою кривою спершу введём поняття векторної функції скалярного аргумента.

Определение 1. Якщо кожному значенням незалежного змінного tÎTÍR, званого далі скалярним аргументом, експортувати відповідність єдиний вектор r (t), то r (t) називають вектор-функцией скалярного аргументу. Вектор r (t) з початком в фіксованою точці O називають радиус-векторм.

Пусть в геометричному (тривимірному) просторі задана прямокутна декартова система координат Oxyz з ортонормированным базисом і, j, k. Тоді представление.

r (t) = x (t)i + y (t)j + z (t)k.

является розкладанням радиус-вектора r (t) у тому базисі, причому x (t), y (t), z (t) — справжні функції одного дійсного змінного t із загальною областю визначення TÍR, звані координатными функціями вектор-функции r (t).

Понятие кривой

Введём тепер термін «кривою». Його строге визначення пов’язані з поняттям вектор-функции r (t), яку вважатимемо безупинної на відрізку [a, b]. нехай у тривимірному просторі R3 задана прямокутна декартова система координат Oxyz з ртонормированным базисом {і, j, k}.

Определение 2. Безліч ГÌR3 точок, заданих радиус-векторм r (t) = x (t)i + y (t)j + z (t)k, tÎ[a, b] відповідним безупинної на відрізку [a, b] вектор-функции r (t) називають безупинної кривою, чи просто кривою, а аргумент t — параметром кривой.

При фіксованому значенні t = t0 Î [a, b] параметра значення x (t0), y (t0), z (t0) є координатами точки кривою. Тому сама й той самий крива може мати як векторное і координатне представление Г = {r Î R3: r = r (t), tÎ[a, b] },.

Г = {(x; y; z) Î R3: x = x (t), y = y (t), z = z (t), tÎ[a, b] }.

Заданную в такий спосіб криву називають годографом вектор-функции r (t), оскільки таку криву переказує у простарнстве кінець вектора за зміни параметра t.

Кривую можна також ознайомитися уявити, як лінію перетину двох поверхонь з рівняннями F1(x, y, z) = 0, F2(x, y, z) = 0. Вибравши за параметр жодну з координат, можна нього спробувати висловити з цього системи рівнянь інші координати. Якщо це вдасться, можна буде записать Г = {(x; y; z) Î R3: x = x (t), y = y (t), z = z (t), tÎ[c, d] }.

Одной й тією самою точці кривою можуть відповідати різні значення параметра t. Такі точки кривою називають її кратними точками. Початковою і кінцевої точками кривою називаються точки з радиус-векторами r (a) і r (b) відповідно. Якщо кінцева точка кривою збігаються з її початковій точкою, то криву називають замкнутої. Замкнуту криву, яка має кратних точок при tÎ(a, b) називають простим замкнутим контуром.

Определение 3. Криву, що лежить у певній площині називають плоской.

Если ця площину обрано за координатну площину xOy, то координатне уявлення пласкою кривою Р має вид:

Г = {(x; y; z) Î R3: x = x (t), y = y (t), z = z (t), tÎ[a, b] }.

причём рівність z=0 зазвичай опускають і пишут Г = {(x; y) Î R2: x = x (t), y = y (t), tÎ[a, b] }.

График безупинної на відрізку [з, d] функції f (x) є пласкою кривою з координатным поданням Р = {(x; y) Î R2: x = x, y = f (x), xÎ[c, d] }.

В цьому випадку роль параметра виконує аргумент x. Пласке крива є годографом радиус-вектора r (t) = x (t)i + y (t)j чи r (x) = xi + f (x)j соответсвенно.

Кривизна пласкою кривой.

Длина дуги иеё производная.

В запровадження було розглянуто поняття векторної функції, спираючись яким і це дано суворе визначення кривою і її окремого випадку — пласкою кривою. У цьому пункті дамо визначення довжини дуги і знайдемо її дифференциал.

Пусть дуга кривою M0M (рис. 1) є графік функції y=f (x), певній на інтервалі (a, b). Визначимо довжину дуги кривой.

Візьмемо на кривою АВ точки M0, M1, M2, …, Mi-1, Mi…, Mn-1, M.

Соединив взяті точки відрізками, одержимо ламану лінію M0 M1M2… Mi-1 Mi… Mn-1M, вписану в дугу M0 M. Означимо довжину цієї ламаної лінії через Pn.

Длиной дуги M0M називається межа (позначимо його через p. s), якого прагне довжина ламаної при прагнення до нулю найбільшої довжин відрізків ламаної Mi-1 Mi, коли цей межа є і залежить від вибору точок ламаної M0 M1M2… Mi-1 Mi… Mn-1M ..

Найдём вираз диференціала дуги.

Пусть є на площині крива, задана рівнянням y=f (x). Нехай M0(x0, y0) — некотрая фіксована точка кривою. Означимо через p. s довжину дуги M0M (рис.3). При зміні абсциссы x точки М довжина p. s дуги змінюватиметься, т. е. p. s є функція x. Знайдемо похідну p. s по x.

Дадим x прирощення Dx. Тоді дуга p. s отримає прирощення Ds = для. ÈMM1. Нехай  — хорда, стягивающая цю дугу. Щоб знайти , вчинимо наступним чином:

З DMM1Q знаходимо = (Dx)2 +(Dy)2. Помножимо і розділимо ліву частина наDs2:

.

Разделим усіх членів рівності на Dx2:

.

Найдём межа лівої і правої частин при Dx®0. З огляду на, що і , одержимо .

Для диференціала дуги одержимо наступне выражение:

чи .

Мы отримали вираз диференціала дуги у тому випадку, коли крива задана рівнянням y=f (x). Проте ж формула зберігається у тому випадку, коли крива задана параметрически:

.

и вираз набирає вигляду: .

Кривизна Первая похідна функції дає нам найпростішу характеристику лінії y=f (x), саме її напрям. Друга похідна міцно пов’язана з іншого кількісної характеристикою лінії, з так званої кривизною, встановлює міру зігнутості чи искривлённости линии.

Пусть маємо криву, яка перетинає сама себе і має певну дотичну у кожному точці. Проведемо касательные до кривою у яких-небудь двох її точках Проте й У і позначимо через a кут, освічений цими дотичними, чи — точніше — кут повороту дотичній під час переходу від точки, А до точки У (рис. 4). Цей кут називається кутом суміжності. Кут суміжності певною мірою дає уявлення про рівень зігнутості дуги. У двох дуг, мають однакову довжину, більше вигнута та, що має кут суміжності більше (рис. 5,4).

рис. 4 рис. 5.

Полной характеристикою зігнутості кривою буде ставлення кута суміжності до довжини відповідної дуги.

Определение 4. Середньої кривизною Цап дуги ÈАВ називається ставлення відповідного кута суміжності a до довжини дуги:

.

Для одному й тому ж кривою середня кривизна її різних частин (дуг) то, можливо різної; так, наприклад, для кривою (див. рис. 6) середня кривизна дуги АВ не дорівнює середньої кривизні дуги А1В1, хоча довжини цих дуг рівні між собой..

Зазначимо, що поблизу різних точок крива скривлена по-різному. Щоб охарактеризувати ступінь искривлённости даної лінії в безпосередній наближеності до цієї точці А, введём поняття кривизни у цій точке.

Определение5. Кривизною Ка лінії у цій точці А називається межа середньої кривизни дуги АВ, коли довжина цієї дуги прагне нулю:

.

Вычисление кривизны

Выведем формулу для обчислення кривизни даної лінії у будь-якій її точці M (x, y). У цьому будемо припускати, що крива задана в декартовой системі координат рівнянням виду y=f (x) І що функція має безперервну другу производную.

Проведём касательные до кривою в точках M і M1 з абсциссами x і x+Dx і позначимо через j і j+Dj кути нахилу цих дотичних (рис.7)..

Длину дуги ÈM0M отсчитываемую від деякою постійної точки M0, позначимо через p. s; тоді Ds = ÈM0M1 — ÈM0M, а½Ds½ = ÈMM1. Як очевидно з (рис. 7), кут суміжності, відповідний дузі ÈMM1 дорівнює абсолютну величину різниці кутів j і j+Dj, тобто дорівнює ½Dj½.

Согласно визначенню середньої кривизни кривою дільниці ÈMM1 маємо .

Чтобы отримати кривизну у точці М, потрібно знайти межа отриманого висловлювання при умови, що довжина дуги ÈMM1 котиться до нуля: .

Так як величини j і p. s залежить від x, то, отже, j можна як функцію від p. s. Можна вважати, що ця функція задана параметрически з допомогою параметра x. Тогда.

.

Для обчислення скористаємося формулою диференціювання функції, заданої параметрически: .

Чтобы висловити похідну через функцію y=f (x), зауважимо, що і, отже .

Дифференцируя по x останнє рівність, отримуємо .

И оскільки , то.

, й остаточно, так як , получаем.

.

Следовательно, у будь-якій точці кривою, де є і безупинна друга похідна, можна обчислити кривизну по формулам.

Вычисление кривизни лінії, заданої параметрически.

Пусть крива задана параметрически: x=j (t), y=y (t). Тогда.

.

Подставляя отримані висловлювання на формулу 3, получаем.

.

Вычисление кривизни лінії, заданої рівнянням в полярних координатах.

Пусть крива задана рівнянням виду r = f (q). Запишемо формули переходу від полярних координат до декартовым: x = r co q, y = r sin q .

Если у ці формули підставити замість r його вираз через q, тобто f (q), то получим.

x = f (q) co q, y = f (q) sin q.

Последние рівняння можна як параметричні рівняння кривою, причому параметром є q.

Тогда, .

, .

Подставляя останні висловлювання на формулу, отримуємо формулу для обчислення кривизни кривою, заданої в полярних координатах:

.

Радиус і коло кривизны.

Определение 7. Величина R, зворотна кривизні До лінії у цій точці М, називається радіусом кривизни лінії в аналізованої точці: R = 1/K, чи.

.

Построим у точці М нормаль до кривою (рис. 8), спрямовану убік увігнутості кривою, і відкладемо в цій нормальний відрізок МС, рівний радіусу R кривизни кривою у точці М.

Точка З називається центром кривизни даної кривою з центром у точці З (проходить через точку М) називається колом кривизни даної кривою у точці М.

Из визначення кола кривизни слід, що за даної точці кривизна кривою і кривизна кола кривизни рівні між собою. Виведемо формули, що визначають координати центру кривизны.

Пусть крива задана рівнянням y=f (x). Зафіксуємо на кривою точку M (x, y) і визначимо координати a і b центру кривизни, відповідного цієї точці (рис. 9).Для цього напишемо рівняння нормальний до кривою у точці М:

.

Так як точка C (a, b) лежить на жіночих нормальний, її координати повинні задовольняти рівнянню .

Далее, точка C (a, b) перебуває від точки М з відривом, рівному радіусу кривизни R:

.

Решив спільно рівняння * визначимо a, b:

.

.

и оскільки , то.

.

Чтобы вирішити питання, верхні чи нижні знаки сле6дует брати на минулих формулах, треба розглянути випадок y!!>0 і y!!0, то цієї точці крива увігнута і, отже, b>y (рис. 9) і тож слід брати нижні знаки. З огляду на, у цьому разі ½y!!½= y!!, формули координат центру запишемо наступного виде:

(1).

Аналогично можна показати, що формули будуть справедливі у разі y!