Формування поняття циліндра

I етап: Запровадження поняття циліндр. Математичне бачення цилиндра.

Цель етапу: Формування просторового уявлення та логічного мислення учнів щодо та формування математичного бачення циліндра його характерних елементів і изображений.

Дидактические средства:

. набір просторових тіл (прозорих та непрозрачных);

. пластилин;

. дерев’яні палочки;

. кольорові карандаши;

. моделі виготовлені за рис. 3.

Перед початком уроку вчитель своєму столі має все просторові тіла: призми, піраміди, циліндри, конуси, сфери, і шары.

Рекомендуется розпочати урок з наступного упражнения.

Упражнение 1. З багатьох тіл представлених вибрати ті, хто був вже вивчені (передбачається, що учні виберуть призми і пирамиды).

Упражнение 2. Решта тіла сгруппируйте за зовнішніми подібним ознаками. (отримали групи: циліндри, конуси, сфери, і шары).

Упражнение 3. Викликається з кожного низки по учневі. Їм пропонується на інтуїтивному рівні до кожного просторовому тілу зіставити відповідну табличку під назвою даного тіла. Гаданий ответ:

Упражнение 3 можна запропонувати виконати хто стоїть учням. Потім, після того як хтось виконає цю вправу вірно, вчитель свідчить, що вивчення цих просторових тіл вони почнуть із вивчення цилиндра.

Упражнение 4. З пластиліну учні роблять лінію (KL). Потім дерев’яні палички прикріплюють до пластиліну, в такий спосіб, щоб ці палички (АВ) як б перетинали лінію (KL) які були б одна одній рівнобіжні. Через війну вийшла б поверхню яку назвемо циліндричною (рис. 1).

[Вывод: поверхню освічена рухом прямий (АВ), яка переважають у всіх положеннях паралельна даної прямий і перетинає лінію (KL) назвемо циліндричною поверхностью].

Соглашение 1. Рушійна пряма (АВ) — утворює; лінія (KL) — направляющая.

Упражнение 5. Передбачається з'єднати обидва кінці лінії (KL) разом (Вийде цилиндрическая поверхню що називається замкнутої) (рис. 2).

Упражнение 6. Учні з пластиліну роблять дві коржі (площині) і з обох сторін прикріплюють до замкнутої циліндричною поверхні, і отримують модель цилиндра.

[Вывод: Циліндром назвемо тіло, обмежений замкнутої циліндричною поверхнею і двома паралельними площинами, що перетинають циліндричну поверхность].

Соглашение 2. У получившейся моделі циліндра паралельні площині, які перетинає цилиндрическая поверхню назвемо підставами цилиндра.

Упражнение 7. Учням пропонується з єдиного центру (приблизно) верхнього підстави циліндра опустити перпендикуляр на нижнє підставу (можливі варіанти: а) висота проектується точно до центру нижнього підстави (прямий циліндр); б) перетинає нижнє підставу, але не центрі; не перетинає нижнє підставу (похилий циліндр)). Заввишки може бути одне з дерев’яних палочек.

Соглашение 3. Заввишки циліндра назвемо найкоротший відстань між двома підставами цилиндра.

Упражнение 8. Учням на урок принести моделі по рис. 3 з спиць і проволки. Усім пропонується зробити повний оборот навколо осі. Через війну, точки лінії АМВ опишуть окружності, які назвемо паралелями, лежать в площинах, перпендикулярних осі обертання, отже ці площині рівнобіжні між собой.

[Вывод: Поверхнею обертання назвемо поверхню, образованую лінією, що лежить одноплощинно з віссю і за обертанні навколо осі (Z) робить повний оборот].

Упражнение 9. Назвіть який із пунктів у вправі є циліндричною поверхнею? (Відповідь в)).

Учащиеся роблять вывод:

При обертанні прямокутника навколо прямий, що містить жодну з його сторін, виходить, що у всіх положеннях АВ паралельна ОО1, тож за повної обороті описує циліндричну поверхню (частина), а відтинки ВВ і О1А опишуть кола. — ламана опише поверхню циліндра О1АВО — підстави кола; - утворює АВ перпендикулярна основаниям.

Полученное тіло назвемо циліндром вращения.

Упражнение 10. (Самостійно). Пропонується учням крутити прямокутник навколо осі, що проходить через вісь симетрії прямокутника. Чи потрібне робити повний оборот тому випадку? (Відповідь: немає, досить підлогу оборота).

Зображення цилиндра.

Зазвичай циліндр зображують рукою: 1) підставу зображують як еліпсів, що у паралельних площинах; 2) двома утворюючими з'єднують кінці великих діаметрів еліпсів (підстав); 3) видимі лінії малюють суцільними, невидимі - контурными.

Угоду 4. Під циліндром усвідомимо (розуміти) циліндр вращения.

Упражнение 11. Учням пропонується провести різноманітні перерізу циліндра, площиною. Кожен учні пропонує варіант, та був все відомості систематизуються в таку таблицю: (цю вправу виконується на моделі циліндра зробленого повністю з пластиліну, використовуючи ніж для різання пластилина).

Соглашение 5. Циліндр осьове перетин (що відбувається через вісь), якого — квадрат називається рівнобічним цилиндром.

I етап: Запровадження поняття конус. Математичне бачення конуса.

Цель етапу: сформувати ціннісне позиція учнів про конусі та її елементах. Розвинути просторову уяву і логічне мислення через «бачення конуса».

Дидактические средства:

. набір просторових тел;

. пластилин;

. дерев’яні палочки;

. кольорові олівці; моделі виготовлені за рис. 3.

Упражнение 1. Назвіть вже вивчені вами просторові тіла? (призма, піраміда, циліндр). Назвіть ті котрі вивчалися? (конус, сфера (шар)).

Изучение цієї теми зі своєї структурної схемою аналогічно вивченню теми «Цилиндр».

Упражнение 2. З пластиліну виготовте лінію (KL). Перетніть її дерев’яними паличками, в такий спосіб, щоб ці палички проходили через одну точку (P.S), не приналежну (KL). Через війну одержимо поверхню, яку назвемо конічній поверхнею (рис. 1).

Соглашение 1. Крапка P. S — вершина, лінія MN — спрямовуюча, а пряма, а — образующая.

Упражнение 3. З'єднаєте кінці лінії (KL) (вийде замкнута лінія (KL) і конічна поверхню, яку назвемо замкнутої) (рис. 2).

Упражнение 4. З пластиліну робиться площину (корж) і конічну поверхню з'єднують з цим площиною. Вийшла модель конуса.

[конусом назвемо тіло, обмежений замкнутої конічній поверхнею і котрий перетинає її плоскостью].

Соглашение 2. Площину, яка перетинає конічну поверхню назвемо основанием.

Упражнение 5. Учням пропонується з точки P. S опустити перпендикуляр. Це можна зробити за допомоги дерев’яної палички, протягнувши їх у моделі конуса через вершину точку P. S. (а) перпендикуляр опущений до центру підстави, тобто конус прямий; б) перпендикуляр перетинає підставу чи площину підстави, але не центрі, тобто похилий конус).

Соглашение 3. Цей перпендикуляр назвемо заввишки конуса (найкоротший відстань від точки до плоскости).

Упражнение 6. Учні приходять на урок на моделі по рис. 3. Необхідно виконати повний оборот навколо оси.

[поверхностью обертання. Конусом обертання назвемо тіло отримане при обертанні прямокутного трикутника на повний оборот навколо однієї з катетів, на тоді інший катет опише коло підставу конуса, а утворює (гіпотенуза) частина конічній поверхні, чи рівнобедреного трикутника навколо висоти опушеної з вершини) Досить підлогу оборота].

Соглашение 4. Конус обертання — окреме питання конуса, підставу якого — коло і вершина проектується до центру основания.

Зображення конуса.

1) підставу змальовується як еліпса; 2) з точки поза площиною підстави проводяться дві касательные (що утворюють) до кінців великого діаметра эллипса.

Упражнение 7. З допомогою пластилінової моделі конуса і ножа для пластиліну учням пропонується провести різноманітні перерізу конуса. Результати систематизуються в таблицу:

Соглашение 5. Конус осьове перетин (рис. 4 [2.а]) якого — рівносторонній трикутник називається рівнобічним конусом.

Упражнение 8. Розглянемо частина конуса закладену між підставою конуса і площиною перерізу паралельної підставі (рис. 4.1.).

[эту частина конуса назвемо урізаним конусом; кола з центрами в точках Про і О1 — заснування; його що утворюють (АС, BD, …) рівні між собою; пряма — вісь; відрізок [ОО1] - высота].

Упражнение 9. Виконайте обертання наступних моделей.

Усеченный конус можна як тіло отримане обертанням прямокутної трапеції навколо осі, що містить перпендикулярну бік, чи равнобокой трапеції навколо осі симметрии.

Упражнение 10. Изобразите всіх можливих перерізу усіченого конуса.

I етап: Запровадження поняття сфера і шар.

Цель етапу: Формування поняття сфера (кулю) розвиток уяви, систематизація знань на тему обертання. Формування цілісної системы.

Дидактические средства:

. набір просторових тел;

. пластилин;

. надувні кульки (круглые!);

. кольорові карандаши;

. моделі заготівлі (рис.1).

Упражнение 1. Виконайте обертання модельними заготовки. Якщо крутити полукруг, яке тіло получится?

Рис. 1.

Соглашение. Поверхня освічена обертанням півкола чи окружності близько діаметральною прямий називається сферою. Якщо ж крутити полукруг чи коло, то результаті вийде тіло обертання зване шаром.

Упражнение 2. З пластиліну вылепите тіло обертання і надуйте кулька. Що сфера, що кулю? Повітря всередині кульки і вона сама, що за тіло? (відповідь: 1) пластилін — кулю; кулька — сфера; 2) шар).

Упражнение 3. Сфера — геометричне місце точок … (простору), які розташовані на півметровій даному відстані від однієї … (точки) званої … (центром) … (сфери). — відрізок, який би з'єднав центр до точки сфери називається … (радіусом); - тіло, обмежений сферою називається … (кулею); - центром і радіусом кулі називається … і … сферы.

Зображення сфери (шара).

1. Змальовується коло; 2. Пунктиром малюють два перпендикулярних діаметра; 3. Зображуються еліпси цих діаметрах, як великих діаметрах эллипса.

Упражнение 4. Вдайте різноманітні перерізу сфери (шара).

Сечения сфери — окружності; Перерізу кулі - круги.

Упражнение 5. З’ясуйте взаємне розташування сфери (кулі) і в пласкості? (відповідь: можливі три випадку: 1) не перетинаються і стосуються, тобто немає загальних точок; 2) стосуються, існує спільна точка, точка торкання; 3) перетинаються, тобто у сфері - навкруг, для кулі по кругу).

Упражнение 6. Перевірте істинність тверджень: 1) Перетин кулі площинами, равноудаленными від центру рівні; 2) Перетин кулі площиною тим більше коштів, чим ближче розташована до центра; 3) Rсеч =[pic], де r — радіус сфери (кулі), d — відстань від центру сфери до центру перерізу 4) Два великих кола перетинаються по діаметру; 5) Лінія перетину двох від перетинання сфер — мірна лінії центрів сфер.

Упражнение 7. Яке взаємне розташування сфер (куль)? (відповідь: аналогічно розташуванню окружностей: 1. Не стосуються 1) розташовані незалежно друг від друга; 2) перебувають одна всередині з загальним центром чи ні 2. Стосуються 1) лише у точці а) зовні б) внутрішньо 2) у кількох точках а) пересекаются Упражнение 8. На інтуїтивному рівні до кожного малюнку поставте цифру, відповідну зображеному на рисунке.

1. Кульової шар 2. Сферичний сегмент 3. Кульової сегмент 4. Сферичний пояс. ———————————;

Конус.

Цилиндр

Сфера (шар).

А.

Рис. 3.

Рис. 2.

Рис. 1.

Рис. 1.

Рис. 2.

В.

Рис. 3.

А.

C.

D.

Перерізу цилиндра.

Паралельно підставах (круг).

Перпендикулярно підставах (прямоугольник).

Не паралельно й не перпендикулярно основаниям.

Не перетинаючи підстави (эллипс).

Перетинаючи лише одна основу і торкаючись іншого лише у точке.

Перетинаючи лише одна основу і не торкаючись другого.

Перетинаючи підставу по хордам (прямоугольник).

3б.

3а.

О.

О.

А.

В.

В.

А.

А.

О.

S.

S.

S.

S.

z.

z.

z.

z.

а).

б).

а).

б).

точка P. S принадлежит.

сечению.

А.

В.

О.

S.

С.

точка P. S не принадлежит.

сечению.

Перетинаючи підставу точка P. S не належить сечению.

Перетинаючи підставу точка P. S належить сечению.

Не перетинаючи основания.

Не паралельно й не перпендикулярно основанию.

Перпендикулярно основанию.

Паралельно основанию.

Перерізу конуса.

Рис. 4.

В.

А.

D.

S.

O.

O1.

А.

А1.

О.

О1.

z.

О.

О1.

А1.

А.

А1.

А.

В.

В1.

О1.

О.

z.

А.

А1.

В1.

В.

О.

О1.