Теорія металів Друде

Реферат з фізики

Теорія металів Друде.

1.Вступ

2. Основні припущення моделі Друде.

3. Статична електропровідність металу.

4. Ефект Холла і магнетоопір

5. Високочастотна електропровідність металу.

6. Теплопровідність металу.

1. Вступ.

Метали займають особливе положення у фізиці твердого тіла, виявляючи ряд вражаючих властивостей, відсутніх у інших твердих тіл (таких, як кварц, сіль). Всі вони — чудові провідники тепла і струму, володіють пластичністю, блистять на свіжому зрізі. Необхідність пояснення таких властивостей стимулювала створення сучасноі теорії твердого тіла.

Хоча більшість твердих тіл не являються металами, проте, з кінця XIX ст. до сьогодні метали відіграють важливу роль в теорії твердого тіла. Виявилося, що металічний стан є одним із важливих станів речовини. Наприклад, хімічні елементи явно переважають у металічному стані: більш ніж дві третіх з них метали. Навіть для пояснення властивостей неметалів необхідно зрозуміти властивості металів: лише пояснивши, чому мідь є таким добрим провідником можна зрозуміти чому ним не є звичайна сіль.

Останні сто років фізики намагаються побудувати прості моделі металічного стану, які б дозволили якісно і навіть кількісно пояснити характерні металічні властивості. У ході цих пошуків надзвичайні успіхи супроводжувалися, здавалося, безнадійними поразками. Навіть найперші моделі, хоча вони зовсім невірні у багатьох відношеннях, при правильному їх використанні і тепер цікавлять фізиків, які займаються дослідженнями твердого тіла.

У подальшому розглядається теорія провідності металів, запропонована Друде на початку XX століття. Успіхи моделі Друде були значними, вона і по сьогодні часто застосовується, оскільки дає можливість швидко побудувати наочну картину і отримати грубі оцінки характеристик, більш точне визначення яких вимагало складного аналізу. Однак, модель Друде не могла пояснити деякі експерименти і крім того приводила до багатьох труднощів, з якими теорії металів випало мати справу у наступну чверть століття. Вони найшли своє розв’язання лише після створення складної і тонкої теорії твердого тіла.

2. Основні припущення моделі Друде.

У 1897 році Томсон відкрив електрон. це відкриття мало великий і безпосередній вплив на теорію матерії і дозволило також пояснити теорію провідності металів. Через три роки після відкриття Томсона Друде розробив свою теорію електрота теплопровідності. При цьому він розглядав електрони в металі як електронний газ і застосував до нього кінетичну теорію газів, яка виявилася дуже життєдайною. У кінетичній теорії, у її найпростішій формі, вважають, що молекули газу являють собою однакові тверді сфери, які рухаються прямолінійно доти, поки не зіткнуться одна з одною. Припускається, що тривалість окремого зіткнення дуже мала і що між молекулами не існує ніяких інших сил, окрім виникаючих у момент зіткненя.

У простих газах є частинки одного виду, а в металах їх повинно бути по крайній мірі двох: електрони заряджені негативно, а метал в цілому електро нейтральний. Друде припустив, що компенсуючий позитивний заряд належить тяжчим частинкам, які, як він вважав, є нерухомими. У той час, однак ще не розуміли точно, чому в металі наявні легкі рухомі електрони і більш важкі нерухомі позитивно заряджені іони. Вирішення цієї проблеми стало одним із фундаментальних досягнень сучасної квантової теорії твердого тіла. При обговоренні моделі Друде нам буде достатньо просто припустити (для багатьох металів, до речі, це припущення виправдане), що коли атоми металічного елемента об'єднуються, утворюючи метал, валентні електрони звільнюються і одержують можливість вільно переміщатися в металі, в той час як металічні іони залишаються незмінними і відіграють роль нерухомих позитивних частинок теорії Друде. мал. 1.

а) схематичне зображення ізольованого атома

б)у металі ядро і іонне осердя зберігають ту ж конфігурацію, що і

в ізольованому атомі, а валентні електрони залишають атом

і утворюють електронний газ.

Кожен окремий атом металічного елемента має ядро із зарядом еZа, де Zа-атомний номер, е-величина заряду електрона (е=1.6*10−19Кл). Навколо ядра розміщено Zа електронів із повним зарядомеZа. Деяке число Z із них — це слабо зв’язані валентні електрони. Решта Zа-Z електронів достатньо сильно зв’язані із ядромвони відіграють меншу роль у хімічних реакціях і називаються електронами атомного осердя. Коли ізольовані атоми об'єднуються, утворюючи метал, електрони атомного осердя залишаються зв’язаними з ядрами, тобто, виникають металічні іони. Валентні електрони, навпаки, набувають можливості далеко відходити від «батьківських» атомів. У металах ці електрони називаються електронами провідності. До такого «газу», що складається із електронів масою m, які (на відміну від молекул звичайного газу) рухаються на фоні тяжких нерухомих іонів, Друде застосував кінетичну теорію. Густину електронного газу можна обрахувати наступним чином: металічний елемент містить 0.6022*10 -24 атомів на 1 моль (число Авогадро) і gm/А молей на 1 см³, де gm-масова густина (у г/см3), а А-відносна атомна маса. Оскільки внесок кожного атома дорівнює Z електронів, число електронів на 1 см³, n=N/V, є

n=0.6022*1024 /A (1)

Зазвичай густини електронів провідності мають порядок 1022 ена 1 см³ і змінюються від 0.91*1022 для цезію до 24.7*1022 для берилію. Також введена така величина, як міра густини е-, rs-радіус сфери, об'єм якої дорівнює об'єму, що приходиться на один електрон провідності. Таким чином:

Густина газу електронів провідності приблизно в 1000 раз більша, ніж густина класичного газу при нормальній t і p. Не вважаючи на те і не дивлячись на наявність сильної електрон-електронної і електрон-іонної взаємодії в моделі Друде для розгляду електронного газу в металах майже без змін застосовуються методи кінетичної теорії нейтральних розріджених газів. Існують основні припущення теорії Друде:

1. 1.В інтервалі між зіткненнями не враховується взаємодія ез іншими електронами та іонами. Тобто, за відсутності зовнішніх електромагнітних полів кожен електрон рухається прямолінійно з постійною швидкістю. Потім вважають, що за присутності зовнішніх полів ерухається у відповідності із законами Ньютонапри цьому враховують вплив тільки тих полів, нехтуючи складними додатковими полями, що породжується іншими ета іонами. Наближення в якому нехтують електрон-електронною взаємодією у проміжках між зіткненням відомо під назвою наближення незалежних електронів. Відповідно, наближення, в якому нехтують електрон-іонною взаємодією називається наближенням вільних електронів. Потім виявиться, що наближення незалежних електронів є успішним у багатьох відношеннях, тоді як від наближення вільних еприходиться відмовитися, навіть якщо ми хочемо досягнути лише якісного розуміння поведінки металів.
2. 2.В моделі Друде, як і в кінетичній теорії, зіткнення — це миттєва подія, що раптово змінює напрям швидкості е-. Друде пов’язував їх з тим, що евідбиваються від непроникних осердь іонів (він не вважав їх електрон-електронним зіткненням по аналогії із домінуючим механізмом зіткнення у звичайному газі). Далі виясниться, що при звичайних умовах розсіювання ена едійсно являється одним із найменш істотніх механізмів розсіювання в металі. Однак, проста механічна модель (мал. 2), згідно якої евідскакує від іона, дуже далека від дійсності. Мал.2 Траєкторія руху електронів провідності, що розсіюються на іонах, у відповідності із наївними уявленнями Друде.

1. 3.Траєкторія електронів провідності, що розсіюється на іонах, у відповідності із наївними уявленнями Друде.

У багатьох задачах це не важливо: для якісного дослідження (і навіть для кількісного) поняття провідності металів достатньо просто припустити існування якогось механізму розсіювання, не вияснюючи, який саме той механізм. Використовуючи в аналізі лише декілька загальних властивостей процесу зіткнення, ми можемо не зв’язувати себе конкретною картиною зіткнення. Ці загальні характерні риси описуються наступними припущеннями :

1. 4. Будемо вважати, що за одиницю часу евідчуває зіткнення (тобто, раптово змінює швидкість) із ймовірністю, яка дорівнює 1/ається на увазі, що для еймовірність випробовувати зіткнення протягом нескінченно малого проміжку часу

dt=dt/>

Час азивається часом релаксації або часом вільного пробігувоно відіграє фундаментальну роль в теорії провідності металів. Із цього припущення випливає, що е-вибраний навмання у цей момент часу, буде рухатися в середньому протягом часу е залежить від просторового положення еі його швидкості (ця гіпотеза справді хороша).

.

1. 5.Припускається, що еприходять в стан теплової рівноваги із своїм оточенням виключно завдяки зіткненням. Вважається, що зіткнення підтримують локальні термодинамічні рівноваги надзвичайна простим способом

Швидкість е зразу після зіткнення не зв’язана з швидкістю до зіткнення, а направлена випадковим чином, причому її величина відповідає тій температурі, яка переважає в області, де проходило зіткнення. Тому чим гарячішою буде область, де проходить зіткнення, тим більшою швидкістю володіє електрон після зіткнення. У наступній частині-ілюстрація цих положень.

3. Статична електропровідність металу.

У відповідності із законом Ома струм I через провідник обернено пропорційний опору R провідника прямо пропорційний напрузі U вздовж провідника:

U=I/R

Опір провідника R залежить від його розмірів, але не залежить від величини струму або падіння напруги. Модель Друде дозволяє пояснити таку залежність і оцінити величину опору.

Зазвичай залежність R від форми провідника забирають, вводячи нову величину, що характеризує лише сам метал, із якого зроблений провідник. Питомий опір изначається як коефіцієнт пропорційності між напруженістю електричного поля.

Е в деякій точці металу і визнаною ним густиною струму:

Е=j/)

Густина струму jце вектор, паралельний потоку зарядів, його величина дорівнює кількості заряду, що проходить за одиницю часу через одиничну площадку перпендикулярну до потоку. Тому, якщо через провідник довжиною і площиноюпоперечного перерізу S йде постійний струм I, то густина струму дорівнює:

j=I/S

Так, як падіння напруги на провіднику:

U=Е/L

то з формули (3) випливає, що:

U=(I/L/g)/S і як наслідок

R=(L/g)/S

Якщо всі n eв одиниці об'єму рухаються з однаковою швидкістю Vc, то густина струму паралельна Vc. Далі за час dt езмістяться на відстань Vdt у напрямку Vc, тому за цей час площину S перпендикулярну до напрямку струму перетнуть n (Vdt) S електронів. Так як кожний електрон несе заряде, повний заряд, що перетинає S за час dt становитьneVSdt і як наслідок, густина струму :

J=-enVc (4)

У довільній точці металу електрони завжди рухаються у найрізноманітніших напрямках і володіють різними тепловими швидкостями. Сумарна густина струму, що виражається формулою (4), де Vcсередня швидкість електронів. За відсутності електричного поля всі напрямки руху електронів рівноймовірні і середнє значення Vc перетворюється в 0, а відповідно сумарна густина струму теж дорівнює 0. За присутності поля Е середня швидкість електронів відмінна від 0 і напрямлена протилежно до поля (так як заряд евід'ємний)Цю швидкість можна знайти таким чином:

Розглянемо довільний електрон в нульовий момент часу.

Нехай tце час, що пройшов після його останнього зіткнення. Швидкість даного електрона в нульовий момент часу буде дорівнювати його швидкості V0 безпосередньо після зіткнення плюс додаткова швидкістьеЕt/m, яку електрон набув після зіткнення. Так як ми припускаємо, що після зіткнення швидкість електрона може мати довільний напрямок, внесок від V0 в середню швидкість електрона дорівнює середньому значенню величиниеЕt/m. Однак, середнє значення t дорівнює часу релаксації ому маємо:

V=-eE J=(ne² (5)

Цей результат зазвичай формулюють, використовуючи характеристику, обернену питомому опору, — провідність

J= (6)

Таким чином, ми отримали лінійну залежність J від Е і найшли для провідності ираз, в який входять лише відомі величини і час релаксації к наслідок, використовуючи (6) і дослідні значення питомого опору можна визначити, скажімо величину часу релаксації:

ge²

Питомий опір дуже залежить від температури. При кімнатній температурі питомий опір залежить від температури приблизно лінійно, але при досягненні низьких Т він різко зменшується. Таким чином, при кімнатній температурі питомі опори зазвичай мають порядок одного мікроом-сантиметра. Якщо gитомий опір, виражений в мкОм/см, співвідношення (7) для часу релаксації зручно записати у вигляді:

22/g/a0)3· 10−14c. (8)

Отже, при кімнатній температурі иявляється порядку

10−14−10−15 с. Щоб зрозуміти, чи є це розумним значенням, корисно розглянути середню довжину вільного пробігу l=V0*t, де V0 -середня швидкість електрона. Довжина l характеризує середню відстань, що проходить еміж зіткненнями. У часи Друде було очевидно оцінювати V0 виходячи із класичного закону рівномірного розподілу енергії за степенями вільності:

½ mV0 ^2=3/2kвT

Підставляючи сюди відому масу електрона знаходимо, що V0 має порядок 107 см/с при кімнатній температурі і, як наслідок, довжина вільного пробігу становить від 1 до 10ак як ця відстань порівняно з міжатомною, результат повністю узгоджується з припущеннями Друде про те, що зіткнення пояснюється співударом електронів з великими важкими іонами. Однак, в подальшому ми побачимо, що класична оцінка при кімнатній температурі дає значення V0 на порядок величини меньше дійсного (реального). Крім того, при найбільш низьких температурах, а порядок величини більший, ніж при кімнатній температурі. Оскільки V0 в дійсності не залежить від температури (це показано далі), то виявляється, що при низьких температурах довжина вільного пробігу може зрости до 103 і більше обто, в 1000раз перевищувати міжіонною відстань. Зараз, працюючи при достатньо низьких Т із ретельно приготованими зразками, можна досягнути середніх довжин вільного пробігу порядку 1 см (тобто, біля 108 міжіонних відстаней). Це явно вказує на те, що електрони не просто співударяються з іонами, як припускав Друде. Однак, ми можемо далі використовувати для розрахунків модель Друде, хоча і не до кінця розуміємо природу зіткнення. Не маючи теорії часу вільного пробігу, важливо знайти такі припущення моделі Друде, які не залежать від величини часу релаксації иявляється, існує декілька подібних не залежних від еличин, які і досі цікавлять, оскільки у багатьох відношеннях точний кількісний розгляд часу релаксації залишається найслабшою ланкою у сучасній теорії провідності металів. В результаті незалежні від еличини є наібільш цінними, тому що часто вони дають найнадійнішу інформацію. Особливо важливі два випадки:

1.Розрахунок електропровідності при наявності просторовооднорідного постійного магнітного поля-

2. Розрахунок електропровідності при наявності просторово-однорідного, але незалежного від часу електричного поля.

В обох випадках зручно користуватися наступним зауваженням: у кожен момент часу t середня швидкість електронів:

Vc =p (t)/m,

де р-середній імпульс, тобто, повний імпульс, що приходиться на один електрон. Як наслідок, густина струму :

J=-(nep (t))/m

Нехай в момент часу t середній імпульс електронівр (t).Обчислимо тоді p (t+dt)-середній імпульс одного електрона по завершенню нескінченно-малого проміжку часу dt. Ймовірність того, що взятий навмання в момент часу t електрон випробував зіткнення до моменту t+dt, дорівнює dt/ому ймовірність того, що він доживе до моменту часу t+dt без зіткнень дорівнює 1-dt/днак, коли електрон не переживає зіткнень, він просто рухається під дією сили f (t)(обумовленої просторово-однорідним електричним або магнітним полем) і набуває тому додатковий імпульс:

f (t)dt+O (dt)^2.

Електрони не переживши зіткнень в інтервалі між моментами часу t і t+dt, додають в імпульс, що приходиться на один електрон в момент t+dt внесок, який дорівнює добутку (1-dt/тобто, відношення числа таких електронів до повного їх числа) на середній імпульс даного такого електрона:

p (t)+f (t)dt+O (dt)^2

Тому нехтуючи поки що внеском в p (t+dt) від тих електронів, які пережили зіткнення за час між t і t+dt одержуємо:

p (t+dt)=(1-dt/t)+f (t)dt+O (dt)^2]=p (t)-(dt/)+f (t)dt+O (dt)^2 (10)

Поправка до (10) за рахунок тих електронів, які випробували зіткнення в інтервалі від t до t+dt виявляється лише порядку (dt)^2. Крім того, оскільки безпосередньо після зіткнення швидкість (і імпульс) направлені довільним чином, кожен такий електрон буде робити внесок в середній імпульс p (t+dt) лише завдяки тому, що за час після останнього зіткнення він набув за рахунок сили f деякий імпульс. Цей імпульс набувається за проміжок часу не більший за dt і тому має порядок f (t)dt. Як наслідок, поправка до (10) виявляється порядку (dt/)dt і не впливає на складові, лінійні по dt. Таким чином, можна записати :

P (t+dt)-p (t)=-(dt/)+f (t)dt+O (dt)^2, (11)

Де O (dt)-складова порядку (dt)^2,де врахований внесок в p (t+dt)всіх електронів. Поділивши на dt і взявши границю при dt 0, знайдемо:

dp (t)/dt=-p (t)/) (12)

Це рівняння означає, що еффект зіткнення окремих електронів зводиться до введення в рівняння руху для імпульса, що приходиться на один електрон додаткового члена, що описує згасання за рахунок тертя.

4. Ефект Холла і магнетоопір

У 1879 р. Холл намагався вияснити, чи діє сила, випробувана провідником зі струмом в магнітному полі на весь провідник чи лише на один електрони, що рухаються в провіднику. Сам він підозрював друге і його експеримент оснований на тому, що якщо електричний струм у закріпленому провіднику сам притягується до магніту, то цей струм повинен підходити все ближче до однієї із сторін провідника і тому досліджуваний ним опір повинен зростати. «Його спроби виявити такий додатковий опір виявилися безуспішними, але Холл вважав, що це дозволяє робити остаточні висновки: «Магніт може намагатися відхилити струм, не маючи здатності зробити це. Очевидно, в такому випадку у провіднику існував би стан напруги, ніби як електричний струм, що діє у напрямку однієї із сторін провідника». Подібний стан напруги повинен проявлятися в існуванні поперечної різниці потенціалів (або е.р.с. Холла, як її сьогодні називають), яку Холлу вдалося спостерігати.

Показати весь текст Вартість унікальної роботи