Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків

Реферат на тему:

Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків.

Рівняння вигляду.

— го порядку.

Рівняння вигляду.

— го порядку.

неперервні, то для рівняння.

що задовольняє початковим умовам.

.

1. Лінійні однорідні рівняння.

1.1. Властивості лінійних однорідних рівнянь.

.

одержимо.

І після підстановки і приведення подібних, одержимо знову лінійне однорідне рівняння.

.

.

одержимо.

І після підстановки одержимо знову лінійне однорідне рівняння.

.

1.2. Властивості розв’язків лінійних однорідних рівнянь.

— довільна стала, теж буде розв’язком однорідного лінійного рівняння.

— розв'язок лінійного однорідного рівняння, тобто.

.

Тоді і.

оскільки вираз в дужках дорівнює нулю.

теж буде розв’язком лінійного однорідного рівняння.

— розв'язки лінійного рівняння, тобто.

Тоді і.

оскільки обидві дужки дорівнюють нулю.

— довільні сталі, також буде розв’язком лінійного однорідного рівняння.

— розв'язки лінійного однорідного рівняння, тобто.

.

Тоді і.

оскільки кожна дужка дорівнює нулю.

будуть також розв’язками цього рівняння.

є розв’язком лінійного однорідного рівняння, тобто.

Розкривши дужки і перегрупувавши члени, одержимо.

Комплексний вираз дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли дорівнюють нулю дійсна і уявна частини, тобто.

є розв’язками рівняння, що і було потрібно довести.

1.3. Лінійна залежність і незалежність розв’язків. Загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння вищого порядку.

називаються лінійно незалежними.

дійсних коренів.

— дійсні різні числа — лінійно незалежні.

— лінійно незалежні.

.

— раз, одержимо.

.

.

лінійної однорідної системи алгебраїчних рівнянь.

з отриманими коефіцієнтами.

розв’язок буде задовольняти умовам.

що і було потрібно довести .

На підставі попередніх двох теорем сформулюємо необхідні і достатні умови лінійної незалежності розв’язків лінійного однорідного рівняння.

.

Теорема. Загальним розв’язком лінійного однорідного рівняння.

.

є розв’язками, то в силу третьої властивості їхня лінійна комбінація також буде розв’язком.

можна розв’язати довільну задачу Коші.

Дійсно, оскільки система розв’язків лінійно незалежна, то визначник Вронського відмінний від нуля й алгебраїчна система неоднорідних рівнянь.

є розв’язком, причому, як видно із системи алгебраїчних рівнянь, буде задовольняти довільно обраним умовам Коші.

Властивість. Максимальне число лінійно незалежних розв’язків дорівнює порядку рівняння.

— лінійно незалежних розв’язків.

— го порядку називаються фундаментальною системою розв’язків.