Формула Ньютона – Лейбніца

Формула Ньютона — Лейбніца.

.

.

Безпосередньо за означенням інтеграли легко обчислювати лише для найпростіших функцій, таких, як y = k x, y = x² Для інших функцій, наприклад тригонометричних, оьчислення границь сум ускладнюється.

Виникає запитання: чи не можна обчислювати інтеграли іншим способом? Такий спосіб був знайдений лише у ХVII ст. англійським вченим Ісааком Ньютоном (1643 — 1727) і німецьким математиком Готфрідом Лейбніцом (1646 — 1716). Строге доведення формули Ньютон — Лейбніца дають у курсі матема-тичного аналізу. Ми лише проілюструємо правильность формули геометрич-ним міркуванням.

Нагадаємо задачу про площу криволінійної трапеції. Було встановленно, що

Виберемо довільну точку x є [ a; b]і проведемо через неї пенпендикуляр хК до осі Ох. Площа фігури, а А К х змінюється зі змінною х. Позначемо цю функцію через S (x) і покажемо, що існує її похідна причина, при чому S΄(x)=ƒ(x), де y=ƒ(x) — підінтегральна функція, графік якої обмежує криволінійну трапецію. Інакше кажучи, покажемо, що S (x) є первісною для ƒ(x).

Надамо змінній x приросту Δx, вважаючи (для спрощення міркування), що Δx > 0. Тоді й фенкція S (x) набуде приросту ΔS (x). У курсі математичного аналізу доводиться, що неперервна на відрізку[ a; b]функція y=ƒ(x)досягає на цьому найбільшого і найменшого значень. Оскільки підінтегральна функція y=ƒ(x) є неперервною на відрізку[x, x+Δx], то вона досягає на цьому відрізку найменшого і найбільшого значень. Отже,.

m Δx < Δ S (x) < M Δx.

Позначимо через F (x)будь-яку первісну для функції y=ƒ(x). За основною властивістю первісної будь-які первісні для однієї і тієї самої функції можуть відрізнятися лише сталим додатком C. Тому.

S (x) = F (x)+ C. (1).

При x=a криволінійна трапеція вироджується у відрізок a A, тому S (x) = 0.

Підставивши у рівність (1) замість х число, а, а замість S (x) число 0, одер-жимо C= - F (a). Після підстановки замість C у рівність (1) його значення маємо.

S (x) = F (x)-F (a). (2).

Коли x=b, то площа криволінійної трапеції дорівнює числуS=S (b). Крім того, за цією умови рівність (2) матиме вигляд.

S (b) = F (b)-F (a).

Раніше було встановлено, що площа криволінійної трапеції дорівнює.

b.

значенню ∫ ƒ(x) dx. Тому можна зробити висновок, що.

a.

b.

∫ ƒ(x) dx = F (b)-F (a). (3).

Це і є формула Ньютона-Лейбніца, яка показує, що значення інтегралу на відрізку[a;b] дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції при x=b i x=a.

Різницю F (b)-F (a) позначають. Тому рівність (3) можна записати так:

(кв. од.);

П р и к л, а д 3. Обчислимо за формулою Ньютона — Лейбніца площу фігури,.

обмеженої зверху синусоїдою y=sin x,

.

Розв «язання:

ò.

).

(.

Приклад 5. Обчислити

Розв «язання:

	Приклад 6. Обчислити. . .

.

_.

.