Поняття функції

Поняття функції.

Поняття функції є основним не тільки в математичному аналізі, де вона вивчається спеціально, а й у всій математиці в цілому.

Означення Якщо кожному елементу х множини х (х є х) за деяким законом ставиться у відповідність певний елемент у множини у (у є у), тоді говорять, що на множині х задано функцію у = f (x).

Змінну величину х називають незалежною змінною або аргументом, у — незалежною, а літера f позначає закон відповідності.

Множина х називається областю визначення функції, а множина у — областю значень функції.

Якщо множина у спеціально не вказано, то під областю визначення функції вважатимемо множину таких значень х, при яких функція у= f (х) взагалі має зміст.

Наприклад.

0.

Існує кілька способів здання функції. Найпоширеніші серед них такі.

задано аналітично.

2. Табличний спосіб: полягає в тому, що функція задається таблицею, яка містить значення аргументу х і відповідні значення функції f (х). Наприклад, таблиця синусів або косинусів.

3. Графічний спосіб: полягає у зображенні рафіка функції - множини точок (х, у) площини, абсциси яких є значенням аргументу х, а ординати — відповідні їм значення функції у = f (х). При цьому способі функціональна залежність зображується лінією, яку називають графіком функції.

Якщо рівняння, що зв’язує аргумент х з функцією у, не розв’язано відносно у, а задано у вигляді f (х, у) = 0, тоді змінну у називають неявною функцією х, (наприклад, 3х — 7у = 6).

Застосування функції в економіці.

Спектр використання функцій в економіці досить широкий. Найчастіше використовуються в економіці такі функції:

1. Функція корисності - залежність корисності, тобто результату, ефекту деякої дії, від рівня (інтенсивності) цієї дії.

2. Виробнича функція — залежність результату виробничої діяльності від факторів, які його зумовлюють.

3. Функція випуску (частковий вид виробничої функції) — залежність обсягу виробництва від наявності або споживання ресурсів.

4. Функція витрат (частковий вид виробничої функції) — залежність витрат виробництва від обсягу продукції.

5. Функція попиту, споживання і пропозиції - залежність обсягу попиту, споживання або пропозиції щодо окремих товарів або послуг від різних факторів.

Враховуючи, що економічні явища і процеси обумовлені впливом різних факторів, для їх дослідження широко використовують функції багатьох змінних.

Під впливом побічних факторів можна знехтувати або вдасться зафіксувати ці фактори на певних рівнях, то залежність одного основного фактора вивчається за допомогою функції одної змінної.

Зупинимося на одному важливому прикладі застосування функції в економіці - використання таблиць функцій, які дають змогу провести різні розрахунки, виключити або спростити громіздкі обчислення.

При обчисленні з допомогою таблиць доводиться стикатися із ситуацією, коли аргумент функції заданий з більшою точністю, ніж дозволяє таблиця. В такому випадку бажано вдатися до інтерполяції - наближеного знаходження невідомих значень функцій за відомими її значеннями у заданих точках.

(рис.1).

називаються інтерполяційними поправками. Ці величини обчислюються за допомогою таблиці або наводяться в додатку до таблиці.

Якщо згідно з заданим значенням функції потрібно знайти найближче значення аргументу, то треба здійснити обернене інтерполювання.

Приклад 1. Функція у = f (х) задана таблицею:

х 2 2,04 2,08.

у 2,42 2,88 3,38.

Використовуючи лінійне інтерполювання, знайти f (2,008).

Чому дорівнює х, якщо f (х) = 3,1.

= 2,88 — 2,42 = 0,46.

Згідно з інтерполяційною формулою дістанемо.

2. Обернене інтерполювання можна здійснити за тією самою формулою, але потрібно поміняти місцями змінні х і у:

— невідоме значення оберненої функції.

(у0) = 2,08 — 2,04 = 0,04.

".

h.

|.

x1600xB968×2279×5500×0108×0313xB66A, x1600xB968×2279×4500xF648×55FFx0108×0315x4E6Ax3E5Bx0A42×0108×6816×79B9 «x0855×5601×0108×2400Згідно з інтерполяційною формулою дістанемо.

Точність знаходження невідомих значень з допомогою лінійного інтерполювання не завжди є достатньою, а тому використовують ще й інші методи інтерполювання, наприклад квадратичне інтерполювання.

Основні властивості функцій.

називається функцією загального вигляду.

.

= (-х)2 + (-х)3 = х2 — х3,.

.

Графік першої функції симетричний відносно осі ординат, а графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

називається зростаючою (спадною) на проміжку х, якщо більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше (менше) значення функції.

] зростає.

Х.

Х.

.

оскільки для будь-яких sin x. Найменше додатне число Т, що задовольняє цю рівність, називається періодом функції.

Основні елементарні функції:

Степенева функція вигляду у = хn, де n — дійсне число.

1.

1.

Тригонометричні функції у = sin x; у = соs х; у = tg х; у = ctg х.

Обернені тригонометричні функції у = arcsin х; у = arcos х; у = arctg х; у = arcctg х.

Якщо змінна у залежить від другої змінної величини И, яка у свою чергу є функцією х, то у називають функцією від функції або складною функцією.

Математично це можна записати так:

.

у — складна функція х; u — проміжний аргумент; х — аргумент (незалежна змінна).

Наприклад: у = соs3 х, або у = u3, де u = соs х.

Функції, побудовані з основних елементарних функцій з допомогою скінченого числа алгебраїчних дій і скінченого числа операцій утворення складної функції, називаються елементарними.

Наприклад.

) скінчення.

Елементарні функції розподіляються на алгебраїчні і неалгебраїчні (трансцендентні).

Алгебраїчною називається функція, в якій над аргументом проводиться скінчене число алгебраїчних дій.

До алгебраїчний функцій належать:

ціла раціональна функція (многочлен).

— дробово-раціональна функція — відношення двох многочленів;

— ірраціональна функція — якщо в складі операцій над аргументом ї здобуття кореня.

Будь-яка неалгебраїчна функція називається трансцендентною.

До неалгебраїчних функцій належать:

показникова;

логарифмічна;

тригонометрична;

обернені тригонометричні функції.