Задачі з математики

1.Нехай V — не порожня підмножина векторів із Rm, коли з умов, А є V, В є V випливає, що при L є R, B є R вектор La+ Bb є V.

Візьмемо систему векторів а1, а2…, аn, що належать Rm. Множина всіх лінійних комбінацій цих векторів.

а=Х1а1+Х2а2+…Хnan, Xs є R (1) утворює лінійний підпростір V у Rm.

Хs, Ys є R.

а, в є V, то виконується рівність.

тобто La+Bb є V.

Підпростір V, утворений лінійними комбінаціями виду (1), називається лінійною оболонкою системи векторів а1, а2,…, аn, або підпростором, породженим векторами а1, а2,…, аn.

2.Означення: Упорядкована сукупність m дійсних чисел а1, а2,…аm називається m-вимірним вектором.

Числа а1, а2,…аm називаються кординатами вектора а. Число m називається розмірністю вектора а. Перехід від запису вектора у вигляді стовпця до запису у вигляді рядка на навпаки називається транспортуванням вектора.

Означення: Два вектори називаються рівними, якщо рівні між собою їх відповідні координати.

Означення: Множина всіх m-вимірних векторів називається m-вимірним простором і назначається Rm.

Векторні простори R1, R2, R3 можна розглядати відповідно як множину векторів на прямій, множину векторів на площині та множину векторів у тривимірному просторі.

Означення: Вектори а1, а2,…, аn називаються лінійно незалежними, якщо рівність Х1а1+Х2а2+…Хnan = О (1).

виконується лише при Х1= 0, Х2= 0,…, Хn=0.

Якщо рівність (1) досягається тоді, коли коефіцієнти Х1, Х2,…Хn не перетворюються одночасно на нуль, то вектори а1, а2,…, аn. у одновимірному векторному просторі R, тобто на прямій, будь-який ненульовий вектор є лінійно незалежним, а будь-які два вектори вже лінійно залежні.

3.Означення: Найбільше число r лінійно незалежних вектора у системі векторів а1, а2,…, аn називається її рангом і позначається.

r= rank (а1, а2,…, аn).

Якщо ранг системи n векторів дорівнює R (r.

Обчислюючи ранг системи векторів, можна транспортувати вектори, тобто замінювати вектори — стовпці векторами — рядками. У результаті транспортування ранг системи векторів не змінюється.

Щоб обчислити ранг системи векторів, виокреслюємо в ній лінійно незалежні вектори.

З огляду на сказане дістаємо такий метод виокреслення лінійно незалежних векторів.

1.У заданій системі векторів а1, а2,…, аn відшукуємо вектор, в якого перша координата відмінна від нуля. Якщо всі перші координати векторів а1, а2,…, аn дорівнюють нулю, то шукаємо вектор, в якого друга координата відмінна від нуля, і т.д. Нехай це буде вектор а1.

2.Множимо вектор а1 на Ві(і=2,…, n) і віднімаємо від вектора аі (і=2,…, n) так, щоб вибрана координата перетворилася на нуль.

3.Зі здобутих векторів ві = аі - Віаі (і= 2,…, n) знову виокремлюємо вектор, лінійно незалежний від інших векторів, способом, зазначеним у nю 1 і 2.

Кількість лінійно незалежних векторів дорівнює рангу системи векторів.