Аналіз теоретичної бази методів чисельного диференціювання функції

При розв’язуванні практичних задач часто потрібно знайти похідну вказаних порядків від функції, заданої таблично. Також можливо, що в силу складності аналітичного виразу функції неопосередковане диференціювання її викликає труднощі. В цих випадках звичайно звертаються до наближеного диференціювання [5].

Для виведення формул наближеного диференціювання замінюють дану функцію на потрібному відрізку інтерполяційної функцією (частіше всього поліномом), а потім покладають:

(1.1).

.

Аналогічно роблять при знаходженні похідних вищих порядків функції .

Якщо для інтерполяційної функції відома похибка:

то похибка похідної виражається формулою [1,2]:

(1.2).

Тобто похибка похідної інтерполяційної функції рівна похідній від похибки цієї функції. Це також вірно і для похідних вищих порядків [1].

Слід відмітити, що взагалі наближене диференціювання являє собою операцію менш точну, ніж інтерполювання [11]. Дійсно близькість одна до одної ординат двох кривих і на відрізку ще не гарантує знаходження близько друг до другу їх похідних і, тобто малого розходження кутових коефіцієнтів дотичних до даних кривих при однакових значеннях аргументу (рис. 1.1).

y

Рисунок 1.1 — Процес чисельного диференціювання