Основні поняття. 
Функції декількох змінних

Функції однієї незалежної змінної не охоплюють усі залежності, що існують у природі. Тому доцільно розширити відоме поняття функціональної залежності і ввести поняття функції декількох змінних.

Наприклад, площа прямокутника з основою і висотою визначається за формулою.

.

Кожній парі значень і відповідає певне значення площі; S є функція двох змінних.

Попит на товар є функція від ціни товару і середньої заробітної плати .

Об'єм прямокутного паралелепіпеда, ребра якого мають довжини, визначається за формулою Тут V є функція трьох змінних .

Функція корисності (одне з базисних понять економічної теорії), що характеризує корисність від придбання товарів, може мати такий вигляд:

.

Це функція n змінних.

Ми будемо переважно розглядати функції двох змінних, оскільки усі найважливіші факти теорії функцій декількох змінних спостерігаються вже на функціях двох змінних. Крім того, для функцій двох змінних можна дати наглядну геометричну інтерпретацію.

Якщо кожній парі значень двох незалежних одна від однієї змінних величин і, що належать деякій множині, відповідає за деяким законом одне певне значення з множини Е, то ми говоримо, що є функцією двох незалежних змінних і .

Змінні і називають аргументами функції. Символічно функцію двох змінних записують так:

і т.п.

Множину пар значень, для яких функція існує, називають областю визначення функції, а множину Еобластю її значень.

Приклад 1.1.

1) Функція визначена для всіх пар без виключення. 2) Функція має областю визначення круг. 3) Функція визначає функцію для тих значень і, які задовольняють нерівності, .

Розгляд цих областей значно полегшує їх геометрична інтерпретація. Область визначення функції може бути подана деякою множиною точок площини. Так, функцію 1) визначено у всій площині; функцію 2) — у замкненому крузі (що включає коло); функцію 3) визначено у прямокутнику.

Подібно тому як функцію ми зображали у вигляді графіка, ми можемо геометрично витлумачити і рівняння. Візьмемо у просторі прямокутну систему координат; зобразимо у площині область зміни і; у кожній точці цієї області проведемо перпендикуляр до площини і відкладемо на ньому значення. Отримане таким чином геометричне місце точок і дасть просторовий графік нашої функції. Це буде деяка поверхня. Рівняння називають рівнянням поверхні.

Так, рівняння є рівняння параболоїда обертання, а рівняння — рівняння півсфери.

Побудова таких поверхонь, як правило, викликає великі труднощі. Тому на практиці обмежуються дослідженням ліній рівня функції .

Лінія рівня — це множина точок площини, у яких функція набуває одного й того ж значення. Лінії рівня визначаються рівнянням, де — довільна стала.

Аналогічно для функції трьох змінних розглядають поверхні рівня, що визначаються рівнянням .

Приклад 1.2.

Знайти лінії рівня функції .

Лінії рівня даної функції визначаються рівнянням і являють собою кола радіуса з центром у точці О (0,0).