Моделирование дискретної випадкової розміру й дослідження її параметров

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАИНЫ.

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ.

Кафедра РЕМ (РТС).

КОНТРОЛЬНА РАБОТА.

По курсу «Методи проектування й оптимізації РЭA».

Варіант № 7.

|Выполнил: |Перевірив: | | | | |ст.гр. РТз — 98 — 1 |Карташов У. І. | |Чернов В.В. |____________________ | |Шифр 8 209 127 | |.

Харків 2003.

Завдання 1. Виконати моделювання на ЕОМ базової випадкової величини (БСС) Х. Одержати вибірки реалізацій БСС обсягом n = 170, 1700. До кожного випадку знайти мінімальне і забезпечити максимальне значення, оцінити математичне чекання, і дисперсию. Порівняти отримані числові характеристики з теоретичними значениями.

Решение.

Основною називають випадкову величину, рівномірно розподілену на інтервалі (0,1). Моделювання виробляється з допомогою функції rnd (m) пакета MathCad 2000, возвращающей значення випадкової величини, рівномірно розподіленої в інтервалі 0[pic]x[pic]m.

а вибірки обсягом 170 (рис. 1.1): Xmin = 0.0078, Xmax = 0.996. Перший початковий момент (математичне очікування) дорівнює середньому арифметичному значень выборки:

Ем-Екс = [pic]0.502 ,.

(1.1).

второй центральний момент (дисперсия):

D = [pic] 0.086, (1.2).

среднеквадратичное отклонение:

? = [pic]0.293 .

(1.3).

[pic].

Малюнок 1.1 Вибірка обсягом 170.

Для вибірки обсягом 1700 (рис. 1.2): Xmin = 0.0037, Xmax = 0.998,.

МХ = [pic]0.505 ,.

(1.4).

D = [pic] 0.085, (1.5).

? = [pic]0.292. (1.6).

[pic].

Малюнок 1.2 Вибірка обсягом 1700.

Теоретично значення математичного очікування й дисперсії БСС рассчиты-ваются з визначення щільності розподілу вероятности:

pравн (x) = [pic], (1.7).

математическое ожидание:

Mx = [pic]0.5 ,.

(1.8).

дисперсия:

Dx = [pic][pic].

=[pic]0.083 ,.

(1.9).

что добре збігаються з результатами моделювання (1.1) — (1.5).

Завдання 2. Одержати вибірку реалізацій БСС обсягом n = 1700. Побудувати гистограмму розподілів і порівняти її з щільністю розподілу рівномірно розподіленої випадкової величины.

Решение а) вибірка виходить аналогічно Завданням 1(рис. 2.1):

[pic].

Малюнок 2.1 Вибірка обсягом 1700.

Приняв Xmin = 0, Xmax = 1, розбиваємо інтервал на q = 10 рівних проміжків, кожен із яких равен:

?X = [pic].

(2.1).

Кількості вибірок, які у кожен із інтервалів, частоти влучення, оцінки щільності зведені в табл. 2.1. Гистограмма розподілів представлена на рис. 2.2. Як бачимо, вона досить добре збігаються з рівномірним законом розподілу (1.7).

Таблиця 2.1 Результати оцінки щільності розподілу |Номер|1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 | |інтер| | | | | | | | | | | |-валу| | | | | | | | | | | |Диапа|0−0.1|0.1−0|0.2−0|0.3−0|0.4−0|0.5−0|0.6−0|0.7−0|0.8−0|0.9−1| |-зон | |.2 |.3 |.4 |.5 |.6 |.7 |.8 |.9 | | |значе| | | | | | | | | | | |-ний | | | | | | | | | | | |Коли-|151 |174 |149 |189 |190 |161 |166 |182 |177 |161 | |честв| | | | | | | | | | | |про | | | | | | | | | | | |попа-| | | | | | | | | | | |даний| | | | | | | | | | | |Часто|0.089|0.102|0.088|0.111|0.112|0.095|0.098|0.107|0.104|0.095| |-та | | | | | | | | | | | |по-па| | | | | | | | | | | |да-ни| | | | | | | | | | | |я Pi | | | | | | | | | | | |Оцен-|0.888|1.024|0.876|1.112|1.118|0.947|0.976|1.071|1.041|0.947| |ка | | | | | | | | | | | |пліт-| | | | | | | | | | | |ности| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |pi | | | | | | | | | | |.

[pic].

Малюнок 2.2 Гистограмма распределений.

Завдання 3. Одержати вибірку БСС обсягом n = 1700, З цієї вибірці перевірити властивості незалежності отриманої випадкової послідовності (обчислити 10 значень коефіцієнта корреляции).

Решение а) знову одержимо вибірку значень БСС обсягом n = 1700 (рис. 3.1):

[pic].

Малюнок 3.1 Вибірка обсягом 1700.

б) значення математичного очікування й дисперсии:

M = [pic]0.512 ,.

(3.1).

D = [pic] 0.088 .

(3.2).

в) функція корреляции:

R (j) = [pic] ,.

(3.3).

значения R (j) для j = 1…10 наведені у табл. 3.1, значення R (0) = 0.088 збігаються з дисперсией.

Таблиця 3.1 Значення функції кореляції: |j |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 | |R (j) |-9.6· |3.53·|2.7·1|4.24·|-1.73|6.61·|4.11·|6.74·|3.95·|1.12·| | |10−4 |10−3 |0−4 |10−3 |· 10−3|10−4 |10−4 |10−5 |10−4 |10−3 |.

Завдання 4. Виконати моделювання випадкової величини, розподіленої згідно із законом Релея. Обсяг вибірки n = 17, ?2 = 27.

Решение.

Для отримання випадкової величини з заданим законом розподілу з БСС застосуємо метод зворотної функции:

а) задля розподілення Релея p (x) = [pic] (4.1).

случайная величина.

? = F (x) = [pic].

(4.2).

равномерно розподілено в інтервалі 0…1, і то, можливо задана з допомогою БСС. Вирішивши рівняння (4.2) щодо x, отримуємо випадкову величину, розподілену згідно із законом (4.1):

?і = [pic] ,.

xi = [pic] ,.

(4.3).

где ?і - значення вибірки БСВ Результат моделювання випадкової величини xi представлений рис. 4.1:

[pic].

Малюнок 4.1 Вибірка випадкової величини, розподіленої згідно із законом Релея.

1. Вентцель Є. З. Теорія ймовірностей. М. Физматгиз, 1962. — 246 с.

2. Тихонов У. І. та інших. Приклади і завдання статистичної радіотехніці. М. — Рад. радіо, 1970. — 600 стр.

3. Трохименко Я. К., Любич Ф. Д. Радіотехнічні розрахунки на ПК: Справочник.

М. — Радіо і зв’язок, 1988. — 304 с.