Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами та правою частиною спеціального вигляду

Пошукова робота на тему:

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами та правою частиною спеціального вигляду.

План Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами та правою частиною спеціального вигляду.

1. Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.

Розглянемо диференціальне рівняння.

(12.46).

— функція спеціального виду.

(12.47).

— дійсні числа. Виявляється, що це рівняння можна досить легко розв’язати, не вдаючись до методу варіації довільних сталих і навіть без інтегрування. Це надзвичайно важливо, бо багато практичних задач зводиться саме до такого рівняння.

:

.

Тоді рівняння (12.70) набуває вигляду.

(12.48).

з коренями характеристичного рівняння (12.39).

слід шукати у вигляді.

(12.49).

:

Систему для визначення цих коефіцієнтів отримують після підстановки функції (12.49) у рівняння (12.48). Справді, така підстановка приводить до рівняння.

1-го степеня. Ця рівність не є тотожністю при жодних сталих.

у цьому разі шукатимемо у формі.

(12.50).

у вигляді.

(12.51).

Приклад 1. Розв’язати рівняння.

було знайдено в прикладі 1 а) п. 12.9:

диференціального рівняння шукатимемо у формі (12.50).

маємо.

зліва й справа в одержаній рівності отримуємо систему.

у формі.

2. Розглянемо диференціальне рівняння загального вигляду.

характеристичного рівняння (12.39).

шукають у вигляді.

(12.52)

.

має вигляд.

(12.53).

частинні розв’язки (12.52) та (12.53) залишаються незмінними.

Важливим частинним випадком функції (12.47) є функція вигляду.

не є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок шукають у вигляді.

має вигляд.

При цьому справедливе зауваження, аналогічне попередньому: ці вирази залишаються «повними», навіть якщо один з додатків у правій частині формули (12.54) дорівнює нулеві.

загальний розв’язок рівняння.

— дійсні сталі числа.

ми знайшли в прикладі 1 б) п. 12.9:

має вигляд.

можна дослідити розв’язок вихідного рівняння на обмеженість. Справді, в разі, коли.

загальний розв’язок рівняння.

відмінне від нуля.

то загальний розв’язок рівняння має вигляд.

залишається обмеженою.

— відхилення від рівноваги. Згідно з другим законом Ньютона.

Спрощуючи це рівняння, отримуємо.

(12.54).

або.

(12.55).

Коливання, які описуються рівнянням (12.55), називаються гармонічними .

Нехай права частина рівняння (12.54) має вигляд.

, має місце резонанс. Справді, в цьому разі частинний розв’язок рівняння (12.54) слід шукати у вигляді.

знаходяться методом невизначених коефіцієнтів. Тоді загальний розв’язок рівняння вимушених коливань (12.54).

або.

(12.56).

другий доданок справа у рівності (12.56) необмежений (тобто амплітуда коливань необмежено зростає), — а це і є явище резонансу, про руйнівну силу якого вже згадувалось.

Резонанс може приносити й користь. Він використовується при створенні вібраційних приладів, в телекомунікаціях, автоматиці. При настроюванні радіоприймача на задану частоту саме завдяки резонансові ми чуємо звук.

амортизатор. Якщо враховувати опір, замість рівняння (12.54) отримують диференціальне рівняння.

(12.57)

Згідно з викладеним, рівняння (12.57) розв’язується або методом варіації довільних сталих, або (в деяких частинних випадках) методом добору, розглянутим раніше.

До рівняння типу (12.57) зводиться вивчення інших процесів. Так, при дослідженні віброактивності механізмів просування тканини швидкісних промислових швейних машин приходять до вивчення закону руху, що описується рівнянням.

(12.58).

— момент рушійних сил.

дало можливість майже повністю усунути вібрацію й западання рукоятки важеля регулятора довжини стібка, небажані коливання рейки при малих довжинах стібка в швейних машинах нового конструктивно-уніфікованого ряду.

. рівняння теплового об'єкта тощо.