Елементи теорії похибок

Реферат на тему:

Елементи теорії похибок.

Під похибкою будемо розуміти величину, що характеризує точність результату. Похибки, що виникають при розв’язуванні задачі, можна поділити на три групи:

неусувна похибка похибка методу похибка обчислень Неусувна похибка є наслідком а) неточності вхідних даних, що входять до математичного описання задачі,.

б) невідповідності математичної моделі реальній задачі (інколи цю похибку називають похибкою математичної моделі).

Похибка методу пояснюється тим, що для розв’язування математичної задачі доводиться використовувати наближені методи, оскільки отримання точного розв’язку необмеженої або неприйнятно великої кількості арифметичних операцій, а в багатьох випадках і просто неможливо.

Похибка обчислень виникає при вводі-виводі даних до ПЕОМ та при виконанні математичних операцій.

Основна задача теорії похибок — знаходження області невизначеності результату.

Розглянемо процес заокруглення чисел. Якщо число x=4,167 493 і його потрібно заокруглити до п’яти десяткових знаків після коми, то будемо мати x*=4,16 749. Тобто, якщо старший розряд, що відкидається менше 5, то попередня цифра не змінюється. Якщо x=4,167 493 потрібно заокруглити до чотирьох знаків після коми, то x*=4,1675. Тобто, якщо старший розряд, що відкидається дорівнює, або більше 5, то попередня цифра в числі збільшується на 1.

Зауваження. Інколи вважають, якщо старший розряд, що відкидається дорівнює 5, а попередня до нього цифра парна, то вона не змінюється, якщо ж попередня цифра непарна, то вона збільшується на одиницю.

Розглянемо приклади заокруглення чисел:

x=2,8 497 621 x=345,453 275.

x*=2,849 762 x*=345,45 328.

x*=2,84 976 x*=345,4533.

x*=2,8498 x*=345,453.

x*=2,850 x*=345,45.

x*=2,85 x*=345,5.

x*=2,8 †x2A78×333Dx3534×780Dx3D2Ax2033†††††††††††††††††††††††††††x2A78×333Dx352Cx31B7x3230×200D†††††††††††††††††††††††††††††††x2A78×333Dx31B7x3230.

Визначимо, що при заокруглені цілого числа відкинуті знаки не можна заміняти нулями, а потрібно застосовувати множення на відповідний степінь 10.

1. Абсолютна та відносна похибки.

Нехай x — точне значення деякої величини, а x* - її відоме наближене значення.

Абсолютною похибкою числа x* називається деяка величина x0394x*, що задовольняє умові.

. (1).

Відносною похибкою числа x* називається деяка величина x03B4x*, що задовольняє умові.

. (2).

Відзначимо, що точність результату краще характеризує відносна похибка. Інформацію про абсолютну та відносну похибки можна використати для наступного представлення числа x:

Значущими цифрами числа називаються всі цифри в його запису, починаючи з першої ненульової зліва.

Наприклад:

x=4,570 345 — всі цифри в запису цього числа значущі;

x=0,7 614 — значущі цифри тільки 7,6,1,4;

x=0,3 105 600 — значущі цифри 3,1,0,5,6,0,0 (два останні нулі в запису числа є значущими);

а) x=3 750 000 — всі цифри значущі;

б) x=3,75· 106 — значущі цифри тільки 3,7,5.

Значуща цифра називається вірною, якщо абсолютна похибка числа не перевищує ½ одиниці розряду, що відповідає цій цифрі.

Приклад 1. Нехай x*=14,537 і відомо, що x0394(x*)=0,04. Скільки вірних значущих цифр має число x*?

Розв’язання. Маємо x0394(x*)>0,5· 10−2 і x0394(x*)<0,5· 10−1. Отже у числа x* вірними будуть значущі цифри 1,4,5, а цифри 3 і 7 — сумнівні.

Приклад 2. Нехай x*=8,677 142 і x0394(x*)=3· 10−4. Скільки вірних значущих цифр має число x*?

Розв’язання. Оскільки x0394(x*)=0,3· 10−3<0,5·10−3, то x* має вірні три значущі цифри після коми, тобто вірними будуть значущі цифри 8,6,7,7.

Приклад 3. Нехай x*=0,46 725 і x0394(x*)=0,008. Скільки вірних значущих цифр має число x*?

Розв’язання. Маємо x0394(x*)=0,0· 10−2>0,5·10−2. Отже у числа x* всі значущі цифри сумнівні.

2. Пряма задача теорії похибок.

та їх похибки.

та оцінимо його абсолютну похибку.

Використовуючи формулу Лагранжа, будемо мати.

(3).

де.

.

При практичних розрахунках окрім оцінки (3) використовують оцінку.

(4).

яку називають лінійною оцінкою похибки.

Виходячи з оцінки (4), знайдемо відносну похибку:

. (5).

Використовуючи формули (4), (5), визначимо похибки результатів математичних операцій.

Похибка суми.

.

то з (4) будемо мати.

(6).

а з (5) відповідно.

. (7).

Аналогічно знаходимо похибки для інших математичних операцій.

Похибка різниці.

.

(8).

. (9).

Похибка множення.

.

(10).

. (11).

Похибка ділення.

.

(12).

. (13).

Відзначимо, що для суми та різниці абсолютні похибки додаються, а для операцій множення та ділення складаються відносні похибки. З формули (9) видно, що якщо віднімаються два близьких числа, то відносна похибка результату може значно зрости. А при діленні на досить мале число може значно зрости абсолютна похибка.

Розглянемо деякі приклади.

Приклад 4. Заокруглюючи наступні числа до трьох значущих цифр, визначити абсолютну та відносну похибки отриманих наближених чисел:

1) 0,1545; 2) 1,343; 3) -372,75.

Розв’язання.

1) x=0,1545. Заокруглення до трьох значущих цифр дає x*=0,155, тоді x0394(x*)=0,0005=5· 10−4, а відносна похибка.

x03B4(x*)=5(10−4/0,155(0,32(10−4.

2) x=1,343. Тоді x*=1,34, x0394(x*)=| x*- x|=0,003. Відповідно відносна похибка.

x03B4(x*)=3(10−3/1,34=2,2(10−3.

3) x=-372,75. Тоді x*=-373, x0394(x*)=0,25, а.

x03B4(x*)=0,25/373=6,7(10−4.

Приклад 5. Визначити кількість вірних цифр в числі x*, якщо відома його відносна похибка:

1) x*=22,351, x03B4(x*)=0,1;

2) x*=9,4698, x03B4(x*)=0,1· 10−2;

3) x*=47 361, x03B4(x*)=0,01;

Розв’язання.

Обчислимо абсолютну похибку x0394(x*)=x*x03B4(x*)=2,2351. Тоді будемо мати, що в числі x* вірною є тільки цифра 2, тобто одна вірна цифра.

Обчислимо абсолютну похибку x0394(x*)=x*x03B4(x*)=9,4698· 0,1·10−2=0,94 698. Тоді в числі x* будуть вірними дві цифри 9 та 4.

Абсолютна похибка буде дорівнювати x0394(x*)=47 361· 0,01=473,61. Отже в числі x* будуть вірними дві цифри 4 та 7.

Визначимо, що поведінка обчислювальної похибки залежить від правил заокруглення та алгоритму чисельного розв’язування задачі.

Приклад 6. На гіпотетичній ЕОМ з мантисою довжини чотири знайти суму.

S=0,2764+0,3944+1,475+26,46+1364.

а) сумуючи від меншого доданку до більшого;

б) сумуючи від більшого доданку до меншого.

Розв’язання.

а) Маємо S2=0,2764+0,3944=0,6708, S3=S2+1,475. Вирівнюючи порядки у цих двох доданків будемо мати S3=1,475+0,671=2,146. Аналогічно далі.

S4=S3+26,46=2,15+226,46=28,61,.

S=S5=S4+1364=29+1393.

б) Маємо S2=1364+26,46=1364+26=1390,.

S3=S2+1,475=1390+1=1391,.

S4=S3+0,3944=1391,.

S=S5=S4+0,2764=1391.

Враховуючи, що точне значення S=1392,6058, бачимо, що сумування потрібно проводити починаючи з менших доданків. В протилежному випадку може мати місце значна втрата значущих цифр.

. Оскільки 10−9<0,5· 10−8, то робимо висновок, що число x* має шість вірних значущих цифр 3,5,3,1,1,2.

Відзначимо, що те ж саме значення можна отримати, подавши x* у вигляді.

.

достатньо взяти з сімома вірними значущими цифрами.

Приклад 8. Оцінити похибку обчислення функції.

.

якщо x=0,15(0,005, y=2,13(0,01, z=1,14(0,007.

Розв’язання. Згідно з формулою (4), для абсолютної похибки результату отримаємо.

.

.

Приклад 9. Висота h та радіус основи циліндра виміряні з точністю до 0,5%. Яка відносна похибка при обчисленні об'єму циліндра, якщо (* 3,14?

. Більш точне значення (=3,14 159 265, отже (((*)=0,16(10−2, а (((*)=0,16(10−2/3,14=0,0005=0,05%. Тоді, згідно до формули про відносну похибку добутку будемо мати.

.

Приклад 10. Ребро куба виміряне з точністю до 0,02 см. дорівнює 8 см. Знайти абсолютну та відносну похибки при обчисленні об'єму куба.

.

Приклад 11. Визначити відносну похибку числа, що записане в ЕОМ з счислення (та довжиною мантиси t.

Розв’язання. Число x* можна записати в ЕОМ у вигляді.

.

. Нехай точне значення числа дорівнює.

.

Тоді.

.

.

і тоді будемо мати, що.

.

3. Обернена задача теорії похибок.

не перевищувала заданої величини x03B5.

Для функції однієї змінної y=f (x) абсолютну похибку можна наближено обчислити за формулою.

. (14).

задача розв’язується за допомогою наступних рекомендацій:

рівні між собою. Тоді абсолютні похибки всіх аргументів визначаються формулою.

; (15).

б) вважаємо всі похибки рівними, причому максимально можливими, тобто покладемо.

.

де.

.

Приклад 12. Сторона квадрату дорівнює 2 м. З якою точністю її потрібно виміряти, щоб похибка знаходження площі не перевищувала 1 см²?

Розв’язання. Позначимо сторону квадрату через x; S=x2, S «=2x. Тоді за формулою (14) отримаємо.

см.

Приклад 13. З якою кількістю вірних значущих цифр потрібно взяти вільний член квадратного рішення.

x2−2x+lg2=0,.

щоб отримати корені рівняння з чотирма вірними значущими цифрами?

то використовуючи формулу (14), будемо мати.

.

Звідси робимо висновок, що для знаходження кореня x1 потрібно обчислити lg2 з трьома вірними значущими цифрами після коми, тобто lg2=0,301.

отримаємо, що для знаходження кореня x2 з точністю 0,5· 10−4 потрібно обчислити lg2 з чотирма вірними значущими цифрами після коми, тобто lg2=0,3010.

Приклад 14. В п’ятизначних логарифмічних таблицях дано значення десяткових логарифмів з точністю до (=0,5(10−6. Оцінити величину можливої похибки при знаходженні числа за його логарифмом, якщо саме число знаходиться між 300 та400.

. Тоді за формулою (14) будемо мати.

.

отже x можна знайти принаймні з трьома вірними значущими цифрами після коми.

Задачі.

Задача 1. Заокруглюючи наступні числа до трьох значущих цифр, визначити абсолютну та відносну похибки наближених чисел:

3,2523.

0,17 153.

0,2 103.

1,445.

(0,35 392.

(583,71.

0,4 966.

315,55.

71,534.

Задача 2. Визначити кількість вірних цифр в числі x, якщо його відносна похибка.

x=2,7981, ((x)=0,1(10(2;

x=12,8370, ((x)=1%;

x=0,3328, ((x)=0,2(10(1;

x=372,8, ((x)=2%;

x=23,652, ((x)=0,1;

x=17 261, ((x)=1%;

x=0,3 575, ((x)=0,5(10(2;

x=0,22 453, ((x)=10%;

x=0,335, ((x)=0,15;

x=6,3495, ((x)=0,1%.

Задача 3. Визначити, яка рівність точніша:

=2,19;

=4,69;

=7,21;

=3,74.

Задача 4. Якою буде відносна похибка, якщо число (наблизити числом 3,14?

Задача 5. Записати число (з п’ятьма вірними значущими цифрами та визначити відносну похибку отриманого наближення.

з трьома вірними значущими цифрами.

Задача 7. При вимірі радіуса кола з точністю до 0,5 см, отримали число 14 см. Знайти абсолютну та відносну похибки при обчислені площі кола.

Задача 8. Кожне ребро куба, виміряне з точністю 0,02 см виявилося рівним 15 см. Знайти абсолютну та відносну похибки при обчислені площі куба.

Задача 9. Визначити відносну похибку обчислення повної поверхні зрізаного конуса, якщо радіуси його основ R і r та твірна x2113, виміряні з точністю до 0,01 см, рівні: R=23,64 см, r=17,31 см, x2113=10,21 см.

Задача 10. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними:

f=x1, x2,.

де.

x1=5,49, x2=7,6;

x1=15,1, x2=2,543;

x1=0,03, x2=12,5.

Задача 11. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними:

f=x1, x2, x3,.

де.

x1=381,56, x2=6157, x3=0,0053;

x1=0,147, x2=653, x3=76,3;

x1=1,28, x2=6,3, x3=2,173.

Задача 12. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними:

f=x1 x2+ x2 x3,.

де.

x1=2,104, x2=1,935, x3=0,845.

Задача 13. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними:

f=x1/x2.

x1=526,677, x2=829;

x1=745,8371, x2=336,2;

x1=6,3, x2=449;

x1=5,684, x2=5,032.

Задача 14. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними:

.

де x1=0,93, x2=1,123.

Задача 15. Обчислити значення функції f. Знайти абсолютну та відносну похибки результату, вважаючи всі значущі цифри вхідних даних вірними:

.

де x1=3,15, x2=0,831, x3=1,123.

Задача 16. Оцінити абсолютну та відносну похибки обчислення функції:

.

при x =2,34(0,01, y=1,25(0,02, z=3,05(0,02;

.

при x =0,757(0,001, y=21,7(0,05, z=1,84(0,05;

.

при x =4(0,1, y=3(0,05, z=1(0,08;

.

при x =1,02(0,01, y=2,35(0,02, z=3,04(0,01;

.

при x =5,8(0,01, y=0,65(0,02, z=1,1753(0,0002;

.

при x =27,51(0,001, y=21,78(0,003, z=32,5(0,06;

.

при x =36,5(0,01, y=26,35(0,005, (=3,14.

Задача 17. Знайти межі абсолютної та відносної похибки аргументів, які дозволяють обчислити з чотирма вірними знаками функції.

.

де x1=2,10 415, x2=1,93 521, x3=0,84 542.

Задача 18. Оцінити похибку в визначенікута x=60(за п’ятизначною таблицею сінусів.

з точністю до 0,1(10−5?

щоб відносна похибка обчислення коренів рівняння.

не перевищувала 10−3?

Задача 20. З якою відносною похибкою треба виміряти висоту h =0.5 м та радіус основи r=10 для того, щоб відносна похибка обчислення об'єма конуса не перевищувала 0,1%?

PAGE 1.