Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин. 
Обчислення площ плоских фігур в декартових і полярних координатах

Пошукова робота на тему:

Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин. Обчислення площ плоских фігур в декартових і полярних координатах.

План Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин.

Обчислення площі плоскої фігури.

Обчислення площі в декартових координатах.

Площа криволінійного сектора в полярних координатах.

ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА.

1. Площа плоскої фігури.

1.1. Обчислення площі в декартових координатах.

може бути як додатною, так і від'ємною, то площа такої криволінійної трапеції обчислюється за формулою.

(10.1).

(рис. 10.1) обмежена кривими.

.

(10.2).

Рис. 10.1 Рис. 10.2

Обчислимо тепер площу криволінійної трапеції у випадку, коли крива задана рівняннями в параметричній формі.

(10.3).

а тому площа криволінійної трапеції може бути обчислена за формулою.

одержимо.

(10.4).

1.2. Площа криволінійного сектора в полярних координатах.

,.

Інтегруючи, одержимо

(10.5).

Приклад 1.

що лежить на гіперболі, з початком координат.

Р о з в ' я з о к. З рівняння гіперболи маємо.

.

.

Найкращим методом для обчислення цього інтеграла є інтегрування частинами. В результаті інтегрування дістанемо.

Оскільки.

.

Цікаво, що цю площу можна записати у вигляді.

Рис. 10.3 Рис. 10.4.

.

.

Пропонується переконатися в цьому самостійно.

Приклад 2. Знайти площу фігури, обмеженої кривою.

.

проходить.