Найпростіші дії з матрицями
Щоб дістати різницю векторів a-b, будуємо трикутник, зі сторонами, що їх утворюють ці вектори. Тоді вектор, початок якого збігається з кінцем вектора a, а кінець — із кінцем вектора b, являтиме собою шукану різницю. При цьому виконується рівність b-a = b+(-a). (рис. 2). Означення. Вектор називається нульовим, або нуль-вектором, якщо всі його координати дорівнюють нулю. Нульовий вектор… Читати ще >
Найпростіші дії з матрицями (реферат, курсова, диплом, контрольна)
Найпростіші дії з матрицями.
:
потрібно кожний її елемент помножити на цей скаляр.
Означення. Сумою двох матриць.
є матриця такого самого розміру. Аналогічно означується різниця матриць. Додавати і віднімати можна лише матриці однакового розміру.
Згідно з наведеними означеннями виконуються такі правила:
(1).
які можна подати у вигляді.
.
яке можна записати так:
.
Позначивши.
(2).
подамо це лінійне перетворення у вигляді.
.
або.
…
має вигляд.
(3).
Означення. Матриця С виду (3) з елементами виду (2) називається добутком матриць В та А: С=ВА.
матриці С, що міститься в k-му рядку матриці В і s-му стовпці матриці А, є скалярним добутком k-го рядка матриці В та s-го стовпця матриці А.
Добуток матриць ВА є визначеним лише в тому разі, коли число стовпців першого множника дорівнює числу рядків другого множника.
.
Лінійний n-вимірний простір План:
Лінійний n-вимірний векторний простір.
Базис.
Власні значення та власні вектори матриць.
Векторний простір.
називається m-вимірним вектором і позначається вектором-стовпцем або вектором-рядком:
.
називають координатами, або проекціями, вектора а. Число m називається розмірністю вектора а. Перехід від запису вектора у вигляді стовпця до запису у вигляді рядка та навпаки називається транспортуванням вектора.
.
Означення. Два вектори називаються рівними, якщо рівні між собою їх відповідні координати.
.
можна розглядати відповідно як множину векторів на прямій (множину дійсних чисел), множину векторів на площині та множину векторів у тривимірному просторі. На відміну від векторів числа називають скалярами.
Означення. Вектор називається нульовим, або нуль-вектором, якщо всі його координати дорівнюють нулю. Нульовий вектор позначається 0 = (0, 0, …, 0), або так само, як число нуль — знаком 0. Вектор -а = (-а1, -а2, …, -аm) називається протилежним вектору, а = (а1, а2, …, аm).
вектори можна геометрично зображати напрямленими відрізками. При цьому вони мають початок і кінець. Два вектори a, b є рівними між собою, якщо вони паралельні, мають одну й ту саму довжину та однаковий напрям. Рівні вектори можуть мати довільні різні початки. Сумі a+b векторів a та b відповідає діагональ паралелограма, побудованого на векторах a та b. (рис. 1).
Рис. 1.
Щоб дістати різницю векторів a-b, будуємо трикутник, зі сторонами, що їх утворюють ці вектори. Тоді вектор, початок якого збігається з кінцем вектора a, а кінець — із кінцем вектора b, являтиме собою шукану різницю. При цьому виконується рівність b-a = b+(-a). (рис. 2).
Рис. 2.
— протилежний напряму, а (рис. 3).
Означення. Сумою двох векторів, а та b називається вектор a+b, координати якого дорівнюють сумі відповідних координат векторів-доданків:
.
на відповідні координати вектора а:
.
Вектори, а та b називають колінеарними (паралельними), якщо їх відповідні координати пропорційні:
називається будь-яка максимальна (повна) лінійно незалежна система векторів цього простору. Так систему векторів:
.
Розглянемо дві системи векторів:
(2).
(3).
.
Дві системи векторів називаються еквівалентними, якщо кожна з них виражається лінійно через іншу.
Кількість векторів, що входять в будь-яку максимальну, лінійно незалежну підсистему даної системи векторів, називається рангом цієї системи.
то її ранг дорівнюватиме рангу системи векторів і буде вказувати на максимальну кількість лінійно незалежних векторів-рядків (стовпчиків) цієї матриці. Отже, з рангом можна пов «язати і максимальну кількість лінійно незалежних рівнянь у системі лінійних рівнянь.
Звязок між базами.
має базис:
(4).
то з максимальності лінійно незалежних систем векторів (4) випливає, що.
(5).
.
задано два базиси.
(6).
(7).
Кожен вектор нового базису (7) як і будь-який вектор однозначно можна записати, аналогічно (5) через базис (6) у вигляді.
(8).
стовпчики якої є координати векторів нового базису (7) в старому базисі (6), будемо називати матрицею переходу від базису е до базису е'.
Якщо розглянути дві матриці е і е', стовпчиками яких будуть компоненти векторів відповідно старого е і нового е' базисів, то рівність (8) можна записати у матричному вигляді.
. (9).
З другого боку, якщо T' - матриця переходу від басилу (7) до басилу (6), то маємо рівність.
(10).
Використовуючи (9) і (10) маємо:
З останньої рівності випливає, що матриця переходу від одного басилу до іншого завжди є не виродженою матрицею. Якщо є два базиси, то матриці переходу від одного до іншого взаємно обернені.
в цих двох базисах дає формула:
(11).
Помноживши рівність (11) зліва на матрицю Т-1 одержимо рівність.
(12).
яка дає можливість одержати координати вектора в новому базисі е'.
Власні числа і власні вектори матриці.
де Е — одинична матриця називається характеристичною матрицею для матриці А.
| називається характеристичним поліном матриці А, а його корені називаються власними числами матриці А.
Можна стверджувати, що подібні матриці мають однакові характеристичні поліноми і, як наслідок, однакові власні числа.
або спектром матриці А.
тобто:
(1).
— власним числом, що відповідає цьому власному вектору.
в якому б його матриця мала найпростіший діагональний вигляд.
має простий спектр.
в якому матриця лінійного перетворення, А буде набувати найпростішого діагонального вигляду.
Розв’язання лінійних рівнянь методом Гауса.
Метод Гауса розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає в послідовному виключенні змінних і перетворенні системи рівнянь.
(1).
до трикутного вигляду.
;
… (2).
.
За допомогою першого рівняння виключимо х1 із решти рівнянь. Обчислення виконаємо в таблиці:
х1×2 … хn 1.
що дає змогу виявляти помилки.
Поділивши перший рядок на а11, позначимо.
Далі перший рядок множимо послідовно на а21 і віднімаємо від другого рядка, множимо на а31 і віднімаємо від третього рядка і т.д.
Позначивши.
дістанемо таблицю коефіцієнтів:
х1×2 … хn 1.
.
Позначивши.
.
і віднімемо від четвертого рядка і т.д. Дістанемо таблицю коефіцієнтів:
х1×2×3 … хn 1.
Продовжуючи процес виключення невідомих, дістанемо нарешті таблицю:
х1×2×3 … хn-1 хn 1.
. Запишемо відповідну систему рівнянь:
Цю систему розв’язують, починаючи з останнього рівняння. Спочатку знаходить хn і підставляють в передостаннє рівняння, з якого визначають хn-1, і т.д.
a.
b.
a + b.
a.
b.
b-a.
а.
— а.
0,5а.
— 0,5а.
0,5а.
…