Допомога у написанні освітніх робіт...
Допоможемо швидко та з гарантією якості!

Найпростіші дії з матрицями

РефератДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

Щоб дістати різницю векторів a-b, будуємо трикутник, зі сторонами, що їх утворюють ці вектори. Тоді вектор, початок якого збігається з кінцем вектора a, а кінець — із кінцем вектора b, являтиме собою шукану різницю. При цьому виконується рівність b-a = b+(-a). (рис. 2). Означення. Вектор називається нульовим, або нуль-вектором, якщо всі його координати дорівнюють нулю. Нульовий вектор… Читати ще >

Найпростіші дії з матрицями (реферат, курсова, диплом, контрольна)

Найпростіші дії з матрицями.

:

потрібно кожний її елемент помножити на цей скаляр.

Означення. Сумою двох матриць.

є матриця такого самого розміру. Аналогічно означується різниця матриць. Додавати і віднімати можна лише матриці однакового розміру.

Згідно з наведеними означеннями виконуються такі правила:

(1).

які можна подати у вигляді.

.

яке можна записати так:

.

Позначивши.

(2).

подамо це лінійне перетворення у вигляді.

.

або.

має вигляд.

(3).

Означення. Матриця С виду (3) з елементами виду (2) називається добутком матриць В та А: С=ВА.

матриці С, що міститься в k-му рядку матриці В і s-му стовпці матриці А, є скалярним добутком k-го рядка матриці В та s-го стовпця матриці А.

Добуток матриць ВА є визначеним лише в тому разі, коли число стовпців першого множника дорівнює числу рядків другого множника.

.

Лінійний n-вимірний простір План:

Лінійний n-вимірний векторний простір.

Базис.

Власні значення та власні вектори матриць.

Векторний простір.

називається m-вимірним вектором і позначається вектором-стовпцем або вектором-рядком:

.

називають координатами, або проекціями, вектора а. Число m називається розмірністю вектора а. Перехід від запису вектора у вигляді стовпця до запису у вигляді рядка та навпаки називається транспортуванням вектора.

.

Означення. Два вектори називаються рівними, якщо рівні між собою їх відповідні координати.

.

можна розглядати відповідно як множину векторів на прямій (множину дійсних чисел), множину векторів на площині та множину векторів у тривимірному просторі. На відміну від векторів числа називають скалярами.

Означення. Вектор називається нульовим, або нуль-вектором, якщо всі його координати дорівнюють нулю. Нульовий вектор позначається 0 = (0, 0, …, 0), або так само, як число нуль — знаком 0. Вектор -а = (-а1, -а2, …, -аm) називається протилежним вектору, а = (а1, а2, …, аm).

вектори можна геометрично зображати напрямленими відрізками. При цьому вони мають початок і кінець. Два вектори a, b є рівними між собою, якщо вони паралельні, мають одну й ту саму довжину та однаковий напрям. Рівні вектори можуть мати довільні різні початки. Сумі a+b векторів a та b відповідає діагональ паралелограма, побудованого на векторах a та b. (рис. 1).

Рис. 1.

Щоб дістати різницю векторів a-b, будуємо трикутник, зі сторонами, що їх утворюють ці вектори. Тоді вектор, початок якого збігається з кінцем вектора a, а кінець — із кінцем вектора b, являтиме собою шукану різницю. При цьому виконується рівність b-a = b+(-a). (рис. 2).

Рис. 2.

— протилежний напряму, а (рис. 3).

Означення. Сумою двох векторів, а та b називається вектор a+b, координати якого дорівнюють сумі відповідних координат векторів-доданків:

.

на відповідні координати вектора а:

.

Вектори, а та b називають колінеарними (паралельними), якщо їх відповідні координати пропорційні:

називається будь-яка максимальна (повна) лінійно незалежна система векторів цього простору. Так систему векторів:

.

Розглянемо дві системи векторів:

(2).

(3).

.

Дві системи векторів називаються еквівалентними, якщо кожна з них виражається лінійно через іншу.

Кількість векторів, що входять в будь-яку максимальну, лінійно незалежну підсистему даної системи векторів, називається рангом цієї системи.

то її ранг дорівнюватиме рангу системи векторів і буде вказувати на максимальну кількість лінійно незалежних векторів-рядків (стовпчиків) цієї матриці. Отже, з рангом можна пов «язати і максимальну кількість лінійно незалежних рівнянь у системі лінійних рівнянь.

Звязок між базами.

має базис:

(4).

то з максимальності лінійно незалежних систем векторів (4) випливає, що.

(5).

.

задано два базиси.

(6).

(7).

Кожен вектор нового базису (7) як і будь-який вектор однозначно можна записати, аналогічно (5) через базис (6) у вигляді.

(8).

стовпчики якої є координати векторів нового базису (7) в старому базисі (6), будемо називати матрицею переходу від базису е до базису е'.

Якщо розглянути дві матриці е і е', стовпчиками яких будуть компоненти векторів відповідно старого е і нового е' базисів, то рівність (8) можна записати у матричному вигляді.

. (9).

З другого боку, якщо T' - матриця переходу від басилу (7) до басилу (6), то маємо рівність.

(10).

Використовуючи (9) і (10) маємо:

З останньої рівності випливає, що матриця переходу від одного басилу до іншого завжди є не виродженою матрицею. Якщо є два базиси, то матриці переходу від одного до іншого взаємно обернені.

в цих двох базисах дає формула:

(11).

Помноживши рівність (11) зліва на матрицю Т-1 одержимо рівність.

(12).

яка дає можливість одержати координати вектора в новому базисі е'.

Власні числа і власні вектори матриці.

де Е — одинична матриця називається характеристичною матрицею для матриці А.

| називається характеристичним поліном матриці А, а його корені називаються власними числами матриці А.

Можна стверджувати, що подібні матриці мають однакові характеристичні поліноми і, як наслідок, однакові власні числа.

або спектром матриці А.

тобто:

(1).

— власним числом, що відповідає цьому власному вектору.

в якому б його матриця мала найпростіший діагональний вигляд.

має простий спектр.

в якому матриця лінійного перетворення, А буде набувати найпростішого діагонального вигляду.

Розв’язання лінійних рівнянь методом Гауса.

Метод Гауса розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає в послідовному виключенні змінних і перетворенні системи рівнянь.

(1).

до трикутного вигляду.

;

… (2).

.

За допомогою першого рівняння виключимо х1 із решти рівнянь. Обчислення виконаємо в таблиці:

х1×2 … хn 1.

що дає змогу виявляти помилки.

Поділивши перший рядок на а11, позначимо.

Далі перший рядок множимо послідовно на а21 і віднімаємо від другого рядка, множимо на а31 і віднімаємо від третього рядка і т.д.

Позначивши.

дістанемо таблицю коефіцієнтів:

х1×2 … хn 1.

.

Позначивши.

.

і віднімемо від четвертого рядка і т.д. Дістанемо таблицю коефіцієнтів:

х1×2×3 … хn 1.

Продовжуючи процес виключення невідомих, дістанемо нарешті таблицю:

х1×2×3 … хn-1 хn 1.

. Запишемо відповідну систему рівнянь:

Цю систему розв’язують, починаючи з останнього рівняння. Спочатку знаходить хn і підставляють в передостаннє рівняння, з якого визначають хn-1, і т.д.

a.

b.

a + b.

a.

b.

b-a.

а.

— а.

0,5а.

— 0,5а.

0,5а.

Показати весь текст
Заповнити форму поточною роботою