Методи обчислення визначеного інтеграла (реферат)

Реферат на тему:

Методи обчислення визначеного інтеграла.

І. Навчальна мета: розширити поняття студентів про методи обчислення визначеного інтеграла.

II. Міжпредметна інтеграція: математика.

III. Зміст.

1. Опрацювати навчальний матеріал.

2. Дати відповідь на питання.

3. Опрацювати приклади.

IV. План.

1. Безпосереднє обчислення.

2. Метод заміни змінної(або метод підстановки).

3. Метод інтегрування частинами.

V. Контрольні питання.

1. Які методи обчислення визначеного інтеграла ви знаєте?

2. Сформулюйте правило обчислення визначеного інтеграла методом безпосереднього інтегрування.

3. Розкажіть про обчислення визначеного інтеграла методом замінни змінної(або методом підстановки).

4. Сформулюйте правило обчислення визначеного інтеграла методом інтегрування частинами.

VI. Література Дубовик В. П., Юрик 1.1. Вища математика: Навчальний посібник. -К.:А.С.К., 2001.-648с.

І.І. Литвин, О. М. Конончук, Г. О. Желізняк, Вища математика.

Навчальний посібник — Львів, 2002. — 272 с.

Безпосереднє інтегрування Для обчислення визначеного інтеграла при умові існування первісної користуються формулою Ньютона-Лейбніца:

$$\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$$.

З цієї формули видно порядок обчислення визначеного інтегралу:

1. знайти невизначений інтеграл від даної функції;

2. в отриману первісну підставити на місце аргументу спочатку верхню, а потім нижню межу інтеграла;

3. знайти приріст первісної, тобто обчислити інтеграл Приклади:

1. Обчислити інтеграл:

$$\underset{-1/2}{\overset{4}{}}\text{xdx}$$.

о Використавши вказане правило, обчислимо даний визначений інтеграл:

$$\begin{array}{c}\underset{-1/2}{\overset{4}{}}\text{xdx}=\frac{x^2}{2}\\ \begin{array}{c}{|}^4\\ {|}_{-\frac{1}{2}}\end{array}=\frac{1}{2}\left(4^2-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2\right)=\frac{1}{2}\left(\text{16}-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}\frac{\text{63}}{4}=\frac{\text{63}}{8}=7\frac{7}{8}\text{.}\end{array}$$.

2. Обчислити інтеграл:

$$\underset{1}{\overset{8}{}}\frac{\text{dx}}{\sqrt[3]{x^2}}$$.

о Використаємо означення степеня з дробовим і від'ємним показником та обчислимо визначений інтеграл:

$$\begin{array}{c}\underset{1}{\overset{8}{}}\frac{\text{dx}}{\sqrt[3]{x^2}}=\underset{1}{\overset{8}{}}{x}^{-2/3}\text{dx}=\frac{x^{1/3}}{1/3}\\ \begin{array}{c}{|}^8\\ {|}_1\end{array}=3\sqrt[3]{x}{|}_1^8=3(\sqrt[3]{8}-\sqrt[3]{1})=3(2-1)=3\text{.}\end{array}$$.

3. Обчислити інтеграл:

$$\underset{-/4}{\overset{/4}{}}\left(\frac{1}{{\text{cos}}^{2}x}-\text{sin}x\right)\text{dx}$$.

о Інтеграл від різниці функції замінимо різницею інтегралів від кожної функції.

$$\begin{array}{c}\underset{-/4}{\overset{/4}{}}\left(\frac{1}{{\text{cos}}^{2}x}-\text{sin}x\right)\text{dx}=\underset{-/4}{\overset{/4}{}}\frac{\text{dx}}{{\text{cos}}^{2}x}-\underset{-/4}{\overset{/4}{}}\begin{array}{c}\text{sin}\text{xdx}=\text{tgx}{|}_{-/4}^{/4}+\text{cos}x{|}_{-/4}^{/4}=\text{tg}\frac{}{4}-\text{tg}\left(-\frac{}{4}\right)+\text{cos}\frac{}{4}-\\ \end{array}\\ \end{array}$$.

$$\begin{array}{c}-\text{cos}\left(-\frac{}{4}\right)=1-(-1)+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=2\text{.}\\ \end{array}$$.

Метод заміни При обчисленні визначених інтегралів, як і невизначених, широко користуються методом заміни змінної (або методом підстановки).

Теорема 1. Нехай виконуються умови:

1) функція f (x) неперервна на відрізку [а-b];

2) функція x = $$$$ (t) і її похідна х' = $$$$ (t)' неперервні на відрізку [ $$$$ — $$$$ ];

3) $$$$ (а)=а, $$$$ ($$$$)=b I t $$$$ ($$$$ — $$$$):a< $$$$ (t)<b.

Тоді справджується рівність.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}=\underset{a}{\overset{b}{}}f((t)){}^{\text{'}}(t)\text{dt}$$ (1).

о Оскільки функція f (x) неперервна на [а-b], то вона має первісну. Позначимо її через F (x), x $$$$ [а-b], тоді з теореми про заміну змінної в невизначеному інтегралі випливає, що функція F ($$$$ (t) буде первісною функції f ($$$$ (t)) $$$$ (t)', t $$$$ [ $$$$ — $$$$ ]. Застосувавши формулу Ньютона — Лейбніца, маємо.

$$\begin{array}{c}\underset{a}{\overset{b}{}}f(x)\text{dx}=F(b-F(a))-\underset{}{\overset{}{}}f((t)){}^{\text{'}}(t)\text{dt}=F(())-F(())=F(b)-F(a)\text{.}\\ \end{array}$$.

Формула (1) називається формулою заміни змінної(або підстановки) у визначеному інтегралі.

Зауваження 1. Якщо при обчисленні невизначеного інтеграла заміною х= $$$$ (t) y первісній функції необхідно було від змінної t повернутися до змінної x, то при обчисленні визначеного інтеграла замість цього треба змінити межі інтегрування. Нижня межа, а знаходиться як розв’язок рівняння $$$$ = $$$$ (t) відносно невідомого t, a верхня межа $$$$ — з рівняння b = $$$$ (t).

Якщо функція $$$$ (t) не монотонна, то може статися, що ці рівняння дадуть кілька різних пар $$$$ і $$$$ які задовільняють умови теореми 1 в цьому випадку можна взяти будь-яку з таких пар.

Зауваження 2. Часто замість підстановки x= $$$$ (t) застосовують підстановку t= $$$$ (x). У цьому випадку нові межі інтегрування визначаються безпосередньо: $$$$ = $$$$ (а), $$$$ = $$$$ (b). Проте тут слід мати на увазі, що функція x=x (t), обернена до функції $$$$ (t), має, як і раніше, задовольняти всі умови теореми 1 зокрема функція x (t) в межах інтегрування має бути означеною неперервно диференційовною функцією t і при зміні t від $$$$ до $$$$ змінна x (t) має змінюватися від, а до b.

Найзручніше виконувати заміну монотонно диференційовними функціями. Такі функції гарантують однозначність як прямої, так і оберненої функції.

Приклади

1. Обчислити інтеграл $$\underset{0}{\overset{a}{}}\sqrt{a^2-x^2}\text{dx}$$.

о Нехай х = a sin t. переконуємось, що ця функція задовольняє всі умови теореми 1, при чому якщо x = 0, то 0 = a sin t, звідки t = 0- якщо х = а, то, а = a sin t, звідки t = $$\frac{}{2}$$. Отже, $$$$ = 0, $$=\frac{}{2}$$. (Ця функція не є монотонною, тому існують й інші пари розв’язків, які задовольняють умови теореми 1 і можуть бути межами: $$=2,=\frac{5}{2}-=-2,=-\frac{3}{2}$$ тощо.).

Далі маємо.

$$\underset{0}{\overset{a}{}}\sqrt{a^2-x^2\text{dx}}=\underset{0}{\overset{\frac{}{2}}{}}\sqrt{a^2-a^2{\text{sin}}^{2}t}a\text{cos}\text{tdt}=\frac{a^2}{2}\left(t+\frac{1}{2}\text{sin}2t\right){|}_{{}_0}^{\frac{}{2}}=\frac{{\mathit{}}^2}{4}$$.

2. Обчислити інтеграл.

$$I=\underset{0}{\overset{\text{ln}5}{}}\frac{e^x\sqrt{e^x-1}}{e^x+3}\text{dx}\text{.}$$.

о Нехай $$\sqrt{e^x-1}=t$$, звідки $$=\sqrt{e^0-1}=0$$, $$=\sqrt{e^{\text{ln}5}-1}=2$$. Отже, якщо х змінюється від 0 до In 5, то нова змінна t змінюється від 0 до 2. Функція $$x=\text{ln}(t^2+1),$$ обернена до функції $$t=\sqrt{e^x-1},$$ на відрізку [0−2] є монотонною і неперервною разом з похідною $$x^{\text{'}}=\frac{2t}{t^2+1}$$ на цьому відрізку.

Маємо.

$$\begin{array}{c}\frac{(t^2+1)t2\text{tdt}}{(t^2+4)(t^2+1)}=2\underset{0}{\overset{2}{}}\frac{t^2\text{dt}}{t^2+4}=2\underset{0}{\overset{2}{}}\left(1-\frac{4}{t^2+4}\right)\text{dt}=2\left(t-2\text{arcth}\frac{t}{2}\right)\\ I=\underset{0}{\overset{2}{}}\begin{array}{c}{|}^2\\ {|}_0\end{array}=4-\text{.}\end{array}$$.

3. Чи можна обчислити підстановкою x = sin t інтеграл $$\underset{0}{\overset{2}{}}x\sqrt[3]{1-x^2}\text{dx}$$ .

о Ні, тому що змінні t на проміжку ($$-\mathrm{}$$ — $$+\mathrm{}$$) відповідає змінна х не на відрізку [0−2], а на відрізку [-1−1] (|sinx| $$$$ 1). $$$$.

4. Обчислити інтеграл: $$\underset{0}{\overset{\frac{}{2}}{}}\sqrt{\text{cos}x}$$ sin xdx.

о Нехай cos x = t, — sin x dx = dt, sin x dx = -dt. Визначимо границі інтегрування для змінної t:

$$t_{н}=\text{cos}0-1-$$ $$t_{в}=\text{cos}\left(\frac{}{2}\right)=0\text{.}$$.

Виразимо підінтегральний вираз через t i dt, та перейдемо до нових границь, отримаємо:

$$\begin{array}{c}\underset{0}{\overset{\frac{}{2}}{}}\sqrt{\text{cos}x}\text{sin}\text{xdx}=\underset{1}{\overset{0}{}}\sqrt{t}(-\text{dt})=-\underset{1}{\overset{0}{}}{t}^{\frac{1}{2}}\text{dt}=\frac{t^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}{|}_0^1=\frac{t^{\frac{3}{4}}}{\frac{3}{2}}{|}_0^1=\frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}{|}_0^1=\frac{2}{3}t\sqrt{t}{|}_0^1=\frac{2}{3}(1-0)=\frac{2}{3}\text{.}\\ \end{array}$$.

5. Довести, що.

$$\underset{-a}{\overset{a}{}}f(x)\text{dx}=2\underset{0}{\overset{a}{}}f(x)\text{dx},$$ коли f (x) — парна функція;

$$\underset{0}{\overset{a}{}}f(x)\text{dx}=\mathrm{0,}$$ коли f (x) — непарна функція.

o Маємо.

$$\underset{-a}{\overset{a}{}}f(x)\text{dx}=\underset{-a}{\overset{0}{}}f(x)\text{dx}+\underset{0}{\overset{a}{}}f(x)\text{dx}\text{.}$$.

У першому інтегралі виконаємо підстановку х = - t:

$$\underset{-a}{\overset{0}{}}f(x)\text{dx}=-\underset{a}{\overset{0}{}}f(-t)\text{dt}=\underset{0}{\overset{a}{}}f(-t)\text{dt}=\underset{0}{\overset{a}{}}f(-x)\text{dx}\text{.}$$.

Далі дістаємо.

$$\underset{-a}{\overset{a}{}}f(x)\text{dx}=\underset{0}{\overset{a}{}}f(-x)\text{dx}+\underset{0}{\overset{a}{}}f(x)\text{dx}=\underset{0}{\overset{a}{}}(f(-x)+f(x))\text{dx}\text{.}$$.

Якщо функція парна, то $$f(-x)+f(x)=2$$ $$f(x)$$, а якщо непарна, то $$\begin{array}{c}f(-x)+f(x)=0\text{.}\\ \end{array}$$.

Знайдені формули дуже корисні. Можна, наприклад, зразу, не виконуючи обчислень, сказати, що.

$$\underset{-a}{\overset{a}{}}{x}^3\text{cos}\text{xdx}=0-$$ $$\underset{-}{\overset{}{}}{\text{sin}}^{5}x{\text{cos}}^4\text{xdx}=0-$$.

Метод інтегрування частинами

Теорема 2. Якщо функції $$u=u(x)$$ i $$v=v(x)$$ мається на відрізку [а-b] мають неперервні похідні, то справедлива формула.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}\text{udv}=\text{uv}{|}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{}}\text{vdu}$$ (2).

o Оскільки функція uv є первісною функції (uv)' -u'v + uv', то за формулою Ньютона-Лейбніца дістанемо.

$$\underset{a}{\overset{b}{}}(u^{\text{'}}v+u{v}^{\text{'}})\text{dx}=\text{uv}{|}_a^b$$.

Скориставшись лінійністю визначеного інтеграла, дістанемо формулу (2) $$$$ .

Формула (2) називається формулою інтегрування частинами визначеного інтеграла.

Всі зауваження відносно формули інтегрування частинами невизначеного інтеграла переносяться і на формулу (2).

Приклади:

Обчислити інтеграли:

a) $$\underset{1}{\overset{e}{}}x\text{ln}\text{xdx}-$$ б) $$\underset{0}{\overset{1}{}}\text{xarcthxdx}-$$ в) $$\underset{0}{\overset{\frac{}{2}}{}}{\text{sin}}^n\text{xdx},n=\mathrm{0,1,2,}\text{.}\text{.}\text{.}$$.

о а) $$\underset{1}{\overset{e}{}}x\text{ln}\text{xdx}=u=|\begin{array}{c}\text{ln}x,\text{dv}=\text{xdx}\\ \text{du}=\frac{1}{2}\text{dx},v=\frac{1}{2}{x}^2\end{array}|=\frac{1}{2}{x}^2\text{ln}{|}_1^e-\frac{1}{2}\underset{1}{\overset{e}{}}\text{xdx}=\frac{1}{4}(e^2+1)-$$.

б) $$\underset{0}{\overset{1}{}}\text{xarctgxdx}=|\begin{array}{c}u=\text{arctgx},\text{dv}=\text{xdx}\\ \text{du}=\frac{1}{1+x^2}\text{dx},v=\frac{x^2}{2}\end{array}|=\frac{x^2}{2}\text{arctgx}{|}_0^1-\underset{0}{\overset{1}{}}\frac{x^2}{1+x^2}\text{dx}=\frac{}{8}-\underset{0}{\overset{1}{}}\left(1-\frac{1}{1+x^2}\right)\text{dx}=$$.

$$=\frac{}{8}-(x-\text{arctgx}){|}_0^1=\frac{}{4}-\frac{1}{2}-$$.

в) $$\begin{array}{c}{I}_n=\underset{0}{\overset{\frac{}{2}}{}}{\text{sin}}^n\text{xdx}=\underset{0}{\overset{\frac{}{2}}{}}{\text{sin}}^{n-1}x\text{sin}\text{xdx}=|\begin{array}{c}u={\text{sin}}^{n-1}x\text{du}=\text{sin}\text{xdx}\\ \text{du}=(n-1){\text{sin}}^{n-2}x\text{cos}\text{xdx},v=-\text{cos}x\end{array}\\ \begin{array}{c}|\\ |\end{array}=\end{array}$$.

$$-{\text{sin}}^{n-1}x\text{cos}x{|}_{{}_O}^{\frac{}{2}}+(n-1)\underset{0}{\overset{\frac{}{2}}{}}{\text{sin}}^{n-2}x{\text{cos}}^2\text{xdx}=(n-1)\underset{0}{\overset{\frac{}{2}}{}}{\text{sin}}^{n-2}x(1-{\text{sin}}^{2}x)\text{dx}=(n-1)\underset{0}{\overset{\frac{}{2}}{}}{\text{sin}}^{n-2}\text{xdx}-$$.

$$-(n-1)\underset{0}{\overset{\frac{}{2}}{}}{\text{sin}}^{n-2}x(1-{\text{sin}}^{2}x)\text{dx}=(n-1)\underset{0}{\overset{\frac{}{2}}{}}{\text{sin}}^{n-2}\text{xdx}-(n-1)\underset{0}{\overset{\frac{}{2}}{}}{\text{sin}}^n\text{xdx}\text{.}$$.

Отже, $$I_n=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n,$$ звідки.

$$I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2},n>=2\text{.}$$.

Дістали рекурентну формулу, за якою інтеграл In послідовно зводиться до інтеграла.

$$I_0=\underset{0}{\overset{\frac{}{2}}{}}\text{sin}(x{)}^0\text{dx}=\frac{}{2},$$.

або до інтеграла.

$$I_1=\underset{0}{\overset{\frac{}{2}}{}}\text{sin}(x)\text{dx}=-\text{cos}x{|}_{{}_0}^{\frac{}{2}}=1\text{.}$$.

Методом індукції можна довести, що.

$$I_{2k}=\frac{(2k-1)\text{!!}}{2k\text{!!}}\frac{}{2}-$$ $$I_{2k+1}=\frac{(2k)\text{!!}}{(2k+1)\text{!!}}\text{.}$$.

Запитання:

1. Яка сума називається інтегральною?

2. Що називається визначеним інтегралом?

3. За яких умов функція є інтегральною?

4. Формула Ньютона — Лейбніца?

5. Властивості визначеного інтеграла?

6. Алгоритм заміни змінної у визначеному інтегралі?