Наближення сплайнами третього ступеня

Реферат на тему:

Наближення сплайнами третього степеня.

. При використанні многочленів високих степенів їх графіки, як правило, мають осциляції. Цієї загальної залежності можна запобігти, якщо використовувати кусково апроксимуючі функції. При цьому необхідно ставити умови достатньої гладкості спряження графіків многочленів. Під цим розуміють вимогу, щоб в точці з'єднання сусідніх ділянок многочлени, які належать лівій та правій ділянкам і похідні від них до певного порядку співпадали.

введемо сітку.

. (1).

на [a, b], якщо виконуються умови:

має на [a, b] неперервні похідні до порядку m-k включно;

.

Простим прикладом сплайна є залишковий член інтерполяції.

— вузлами інтерполяції.

Лінійний інтерполяційний сплайн записують у вигляді.

(2).

.

де.

.

а кубічний (дефекту 1) у вигляді.

(3).

.

В (2) і (3) вузли сплайна і вузли інтерполяції співпадають.

— лінійна функція, то з (3) одержуємо.

. (4).

скористаємося умовою неперервності перших похідних сплайна в точках розбиття.

дає.

(4 ").

. (4 «»).

приводить до співвідношень.

(5).

. Тому задаються ще дві умови, а потім розв’язують методом прогонки відповідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь.

у вигляді.

(6).

де введені такі позначення для різницевих похідних на нерівномірній сітці.

Із (6) випливають наближені формули.

(7).

. (8).

Із (7) і (8) випливає, що без розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь можна наближено обчислити параметри сплайна. Якщо використовується (7), то одержуємо так званий локальний дискретний кубічний сплайн, а якщо (8) — більш точний.

треба знати зовні відрізка [a, b] значення f-2, f-1, fn+1, fn+2, які визначаються кубічною інтерполяцією з використанням умов.

(9).

відомі, як правило, з деякою похибкою.

Іноді зручно використовувати таку форму запису кубічного сплайна.

(10).

При побудові кубічного інтерполяційного сплайна дефекту 1 попутно знаходяться значення похідних першого та другого порядків.

визначаються формулами (4), (4 ").

з крайовими умовами.

(11).

мінімізує функціонал.

. (12).

і мінімізує функціонал (12).

. Якщо в кінцевих точках відрізка відома перша похідна, то додаткові співвідношення можна одержати, використовуючи (4 "), (4 «»).

маємо.

(13).

і покладається.

(14).

одержуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь з трьохдіагональною матрицею. Матриця системи симетрична з діагональним переважанням і, отже, з визначником відмінним від нуля.

візьмемо у вигляді.

(15).

.

. Перепишемо (15) у вигляді.

(16).

.

+1,.

— сплайн 1-го степеня.

.

.

:

(17).

одержимо.

=.

.

Звідки.

.

де.

.

.

.

.

(18).

.

Тому.

. (19).

і скористаємося теоремою про середнє. Тоді.

(20).

.

взяти лінійну комбінацію.

.

то тоді.

.

де.

.

.

і теоремою про середнє. Одержимо.

.

Звідси одержуємо.

.

маємо.

.

Використовуючи нерівність трикутника, одержуємо.

.

Остаточно маємо.

. (21).

Зазначимо, що в [4, ст.115] одержана оцінка для класичного сплайна.

.

Вона вдвічі менша за (21). Але в нашому випадку ми можемо, не розв’язуючи систему, зразу записати сплайн.

.

При цьому точність по порядку збігається.

була б більш гладкою. Розглянемо задачу про побудову такої функції.

знайти таку, яка б мінімізувала функціонал.

(22).

тим більший вклад у функціонал вносять інтегральні умови, тим ближче до заданих значень проходить згладжувальна функція.

яка задовольняє умовам:

Для побудови зладжувального сплайна як і для інтерполяційного застосовуємо моментний метод. Необхідна умова мінімуму функціонала записується у такому вигляді.

.

(23).

.

Із умови неперервності перших похідних при стикуванні кусково-кубічних функцій одержимо крайову задачу.

(24).

.

.

(25).

.

Використовуючи формули підсумовування частинами, можна показати, що оператор задачі (25) самоспряжений та додатньо визначений. Тому ця задача має єдиний розв’язок.

визначимо за формулами (23), а потім можемо обчислити сплайн, використовуючи зображення.

тобто.

.

задовольняв умовам.

. (26).

для яких виконувались би умови (26).

Введемо позначення.

. (27).

Перепишемо системи (23) та (25) у вигляді.

(28).

Умову (26) запишемо у вигляді.

(29).

використаємо ітераційний процес.

(30).

— це розв’язок задачі.

.

маємо.

.

із міркувань більшої гладкості. Це свідчить на користь вибраного ітераційного процесу.

не попадуть у вказаний коридор.

Як приклад розглянемо застосування базисних сплайнів для наближеного обчислення похідних та при побудові різницевих схем високого порядку апроксимації. Базисні сплайни першої та другої степені відповідно мають вигляд.

— вузли сплайна.

Розглянемо крайову задачу.

.

Приймаючи до уваги співвідношення.

то похибка апроксимації буде мати той же порядок.

Дискретні аналоги крайових умов одержуються після проектування рівняння на відповідні локальні сплайни біля границі області.

ВПРАВИ.

Побудувати сплайн-поліном, що мінімізує функціонал.

.

.