Зворотня матриця

Обратная матрица

Матрица A-1 — зворотна для матриці A, если.

AA-1=A-1A=I.

Для квадратної матриці A зворотна существует тогда і лише тоді, коли detA¹0.

.

где Aij — алгебраїчні доповнення элэментов aij.

матрицы A. Властивості: (A-1)-1=A,.

(AB)-1=B-1A-1, detA-1=1/detA.

В частности:

.

Решение квадратної системы:

Ax=b.

если |A|¹0, то x=A-1b.

Матричные уравнения.

XA=B Þ X=BA-1.

AX=B Þ X=A-1B.

Некоторые св-ва определителей:

1.* Величина означника не зміниться, якщо каждую строку замінити стовпцем з тим самим номером.

2. Якщо матриця B отримана з матриці A.

перестановкой двох будь-яких її строк.

(столбцов*), то detB=¾detA.

3. Загальний множник всіх елементів произвольной строки (шпальти*) означника можна винести за знак определителя.

4.* Визначник, у якому дві пропор;

циональные рядки (шпальти), дорівнює нулю.

5. Визначник не змінюється від додатку к какой-либо його рядку (стовпцю*) іншій — його строки.

(столбца), помноженою на довільне число.

6.* Якщо якась рядок (стовпець) определителя есть лінійна комбінація інших рядків.

(столбцов), то визначник дорівнює 0.

7. Якщо матриця має трикутний вид, то ее определитель дорівнює твору елементів на главной диагонали.

*-неизученные свойства.

Фундаментальная система решений.

Фундаментальной системою рішень называется система з (n-r) лінійно незалежних рішень, где.

n-число невідомих, r-ранг матриці системы:

ФСР: l1, l2,…, ln-r.

ФСР то, можливо нескінченне множество.

Если l1, l2,…, ln-r-ФСР однорідної системи, то.

xоо = с1l1+с2l2+…+сn-r ln-r.

xон = xоо + xчн Метод Крамера:

Если D=0 і все Dxj=0, то система несовместна.

Если D¹0, то система має єдине решение,.

.

где Dxj — визначник, отриманий заміною j-го столбца в определителе системи столбцом свободных членов.

Список литературы

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із російського сайту internet.