Лінійна регресія (реферат)

Методичні вказівки

до розрахункових робіт з курсу «Економетрика» .

Тема № 1: Лінійна регресія.

Якщо дано сукупність показників y, що залежать від факторів х, то постає завдання знайти таку економетричну модель, яка б найкраще описувала існуючу залежність. Одним з методів є лінійна регресія. Лінійна регресія передбачає побудову такої прямої лінії, при якій значення показників, що лежать на ній будуть максимально наближені до фактичних, і продовжуючи цю пряму одержуємо значення прогнозу. Процес продовження прямої називається екстраполяцією. Відповідно до цього постає задача визначити цю пряму, тобто рівняння цієї прямої. В загальному вигляді рівняння прямої виглядає:

$$\widehat{y}$$ =а+bх, (1.1).

де $$\widehat{y}$$ ­- вирівняне значення у для відповідного значення х.

Константи, а і b — константи, які передбачають зменшення суми квадратів відхилень між фактичним значенням у і вирівняним значенням $$\widehat{y}$$ .

— $$\widehat{y}$$)2 n (1.2).

Коефіцієнт, а характеризує точку перетину прямої регресії з лінією координат.

Коефіцієнт b характеризує кут нахилу цієї прямої до осі абсцис, а також на яку величину зміниться $$\widehat{y}$$ при зміні х на одиницю.

Коефіцієнти, а і b знаходять із системи рівнянь (1.3), що випливає з формули (1.2).

$$\begin{array}{c}y=\text{an}+bx-\\ \text{xy}=ax+b{x}^2\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ (1.3).

Знайшовши значення параметрів розраховують ряд вирівняних значень для відповідних факторів і проводять дослідження знайденої економетричної моделі.

Щоб зробити висновок про доцільність використання знайденої моделі проводять аналіз за наступними напрямками:

1) Розраховують критерій Фішера та перевіряють знайдену модель на адекватність вихідним даним;

2) Розраховують і аналізують дисперсію показників;

3) Розраховують і аналізують коефіцієнт кореляції;

4) Розраховують та аналізують коефіцієнт еластичності;

5) Розраховують довірчий інтервал для прогнозованих показників.

Критерій Фішера.

Для оцінки знайденої економетричної моделі на адекватність порівнюють розрахункове значення критерію Фішера із табличним.

Розрахункове значення критерію Фішера знаходиться за формулою:

$$F_{\text{розр}}=\frac{{}_{\widehat{-}}^2}{S^2}$$, (1.4).

де $$S^2=\frac{(y_i-{\widehat{y}}_i{)}^2}{n-m-1}$$, (1.5).

$$s_{\widehat{y}}^2=\frac{({\widehat{y}}_i-{\stackrel{}{y}}_i{)}^2}{m}$$, (1.6).

n — число дослідів,.

m — число включених у регресію факторів, які чинять суттєвий вплив на показник.

Для даної надійної ймовірності р (а=1-р рівня значущості) і числа ступенів вільності k1=m, k2=n-m-1 знаходиться табличне значення F (a, k1, k2). Отримане розрахункове значення порівнюється з табличним. При цьому, якщо Fроз > F (a, k1, k2), то з надійністю р = 1-а можна вважати, що розглянута економетрична модель адекватна вихідним даним. У протилежному випадку з надійністю р розглянуту лінійну регресію не можна вважати адекватною.

Дисперсія.

Дисперсія в лінійній регресії дає можливість визначити значимість характеристик, вирахуваних в регресійному аналізі (характеристики, а і b). Для визначення цих характеристик використовують:

1) Загальна дисперсія — характеризує рівень відхилень між фактичними значеннями ряду і їх середнім значенням:

$$\text{ЗД}=({у}_{і}-\stackrel{}{y}{)}^2$$ (1.7).

2) Дисперсія, що пояснюється регресією. Чим більша доля дисперсії, що пояснюється регресією в загальній дисперсії, тим тісніший зв`язок між у і х. Чим ця доля менша, тим відповідно слабший зв`язок. Ця дисперсія визначається, як сума квадратів відхилень між вирівняним значенням ряду і середнім значенням ряду.

$$\text{ПД}=({\widehat{у}}_{і}-\stackrel{}{y}{)}^2$$. (1.8).

Якщо ПД о ЗД, то зв`язок тісний між у і t.

Якщо ПД о ЗД, то зв`язок слабшає. Изображение помощника.

3) Залишкова дисперсія — це та частина ЗД, яка не пояснюється регресією Зал. Д = ЗД — ПД,.

$$\text{ЗалД}=({у}_{і}-\widehat{y}{)}^2$$ (1.9),.

де уі - фактичне значення ряду.

Коефіцієнт кореляції.

Коефіцієнт кореляції r — міра тісноти зв`язку. Він на відміну від дисперсії характеризує міру тісноти зв`язку (дає її числове значення). Змінюється в межах від -1 до +1.

Якщо r=0, то лінія регресії паралельна осі абсцис, тобто залежності між у і t немає (регресія відсутня).

Якщо r (додатна регресія). Із збільшенням t — уt теж буде зростати.

Якщо r (від`ємна регресія). Із збільшенням t — уt буде зменшуватись.

Коефіцієнт кореляції визначається як корінь квадратний з коефіцієнта детермінації r2, що показує долю ПД в ЗД:

$$r=\sqrt{r^2}$$, (1.10).

і відповідно.

$$r^2=\frac{\text{ПД}}{\text{ЗД}}$$ (1.11).

де ПД і ЗД розраховуються відповідно за формулами 1.8 і 1.7.

Знак коефіцієнта кореляції співпадає із знаком коефіцієнта b в рівнянні регресії.

Коефіцієнт еластичності.

Розрахунок коефіцієнта еластичності розраховується для кожного із факторів і показує на скільки відсотків зміниться показник, якщо фактор зміниться на 1%.

Коефіцієнт еластичності:

$$K_x=\frac{(\text{ax}+b{)}^{\text{'}}x}{\widehat{y}}=\frac{\text{ax}}{\widehat{y}}$$ (1.12).

Довірчий інтервал.

Вихідна економетрична модель лінійної регресії передбачає наявність випадкової величини Е, яка вимірює похибку між фактичним значенням і вирівняним значенням показника. Для розрахунку цих похибок використовують поняття «стандартного відхилення» .

$$S_r=\sqrt{\frac{(y-\widehat{y}{)}^2}{n-2}}$$, (1.13).

де Sr — стандартна похибка рівняння регресії.

n-2 — число значень ряду зменшене на кількість параметрів рівняння регресії (тобто, а і b).

Розрахувавши стандартну похибку рівняння регресії знаходимо стандартну похибку прогнозу:

$$S_{\text{пр}}=S_r\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{(x-\stackrel{}{x}{)}^2}{(x-\stackrel{}{x}{)}^2}}$$ (1.14).

Для розрахунку довірчих меж потрібно знайти значення $$\mathit{}$$ .

Нижня межа довірчого інтервалу $$y_{\text{min}}=y_p-\mathit{}$$ — верхня межа довірчого інтервалу $$y_{\text{max}}=y_p+\mathit{}$$ .

Прогнозне значення ур=a+bxp буде знаходитись в межах від уmin до ymax.

$$\mathit{}=t{S}_{\text{пр}}$$ (1.15).

де t — критерій Стюдента (знаходиться з таблиць в залежності від ймовірності P і ступеня вільності n-m-1).

Питання для самоперевірки:

1.Розкрийте суть лінійної регресії.

2. Розкрийте зміст коефіцієнтів рівняння лінійної регресії.

3. Як знайти коефіцієнти лінійної регресії.

4.Що потрібно для формування висновку про доцільність використання знайденої моделі.

5. Для чого використовується критерій Фішера і як він розраховується.

6. Загальна дисперсія, її зміст та визначення.

7. Пояснювальна дисперсія, її зміст та визначення.

8. Загальна дисперсія, її зміст та визначення.

9. Яким показником характеризується міра тісноти зв’язку, метод його розрахунку.

10. Коефіцієнт еластичності, його зміст та визначення.

11. Для чого використовуються довірчі інтервали.

12. Як розрахувати стандартну похибку рівняння регресії і прогнозу.

13. Для чого використовується tкритерій Стюдента.

1

Значення фактора Х

Значення показника У.

Для формування варіанта вибирається будь-який стовпчик з таблиці № 1 в парі з будь-яким стовпчиком таблиці № 2.

Тема № 2: Аналіз індивідуального ринку.

У наш час використання ЕОМ дає можливість проводи­ти детальний аналіз індивідуальних ринків. Сама таблиця попиту та її представлення у вигляді кривої попиту не дає можливості виробнику знайти оцінку оптимальної ціни на даний вид товару та прийняти оптимальне рішення. Нехай відома таблиця попиту:

Вводимо гіпотезу, що між ціною Р та величиною попиту D існує стохастична залежність D = a0 + a1 • Р + a2 • P2.

Для регресії у вигляді многочлена другого степеня сис­тема нормальних рівнянь має такий вигляд:

Після розв’язування системи рівнянь знайдемо оцінки параметрів регресії попиту.

Вплив еластичності попиту на ринкові обороти.

Якщо відома регресія попиту на певний вид товару D = f (P), товарообіг у грошовому виразі дорівнює добутку реалізованого попиту на ціну товару Z = Р • f (P). Виробни­ка цікавлять зміни товарообігу в грошовому виразі залежно від зміни ціни на даний вид товару. Проведемо дослідження зміни товарообігу Z залежно від значень Р, тобто знайдемо проміжки зростання, спадання і точку екстремуму това­рообігу Z. Для цього знайдемо похідну від Z по Р:

$$\frac{\text{dZ}}{\text{dP}}=\frac{d(Pf(P))}{\text{dP}}=f(P)+P{f}^{\text{'}}(P)=f(P)[1+\frac{P{f}^{\text{'}}(P)}{f(P)}]=f(P)[1+K_d]$$ ;

де Kd = $$\frac{P{f}^{\text{'}}(P)}{f(P)}$$ — коефіцієнт еластичності попиту.

Звідси випливає, що товарообіг Z є функцією від ко­ефіцієнта еластичності попиту Kd. В залежності від знака Z' розрізняють три різних варіанти коефіцієнта елас­тичності попиту:

1. Якщо похідна від товарообігу по ціні додатна Z > 0, то при зростанні ціни Р зростає товарообіг Z. Оскільки з економічного змісту f{P) > 0, то Zp' буде більше нуля, як­що 1 + Kd > 0. Звідки випливає, що на проміжку, де товаро­обіг зростає, коефіцієнт еластичності попиту Kd > -1. З іншого боку, регресія попиту спадна і тому f'(P) < 0. Звідки випливає, що Kd < 0.

Таким чином, на проміжку, де товарообіг зростає, кое­фіцієнт еластичності попиту змінюється в межах від —1 до 0 (рис). В економіці прийнято називати попит нееластичним, якщо коефіцієнт еластичності попиту змінюється в межах від-1 до 0.

Економічна інтерпретація. Зміна ціни на 1% викликає зміну попиту в зворотному напрямку на |Kd| %, де О < Kd < -1, при цьому товарообіг у грошовому виразі зрос­тає.

2. Якщо Z' < 0, то з підвищенням ціни на товар відбу­вається зниження товарообігу в грошовому виразі. Оскільки f (P) • [1 + Kd] < 0, a f (P) > 0, то 1 + Kd < 0. Звідки випли­ває, що Kd < -1. Якщо значення коефіцієнта еластичності попиту для да­ної ціни Р менше -1, то попит при цій ціні еластичний.

Економічна інтерпретація. При еластичному попиті зміна ціни товару на 1% викликає зміну попиту в зворотному на­прямку на Kd%, де Kd < -1. При цьому товарообіг у грошо­вому виразі зі зростанням ціни спадає.

3. Якщо Z' = 0 для деякого проміжку цін, то на цьому проміжку товарообіг залишається сталим. Якщо в деякій точці Р0 Z' = 0, то ця точка називається критичною. Причому якщо при переході через цю точку по­хідна Z' змінює знак з плюса на мінус, то при цій ціні то­варообіг у грошовому виразі буде максимальним. Коефіцієнт еластичності в цій точці дорівнює -1.

Визначимо проміжки зростання та спадання товарообігу. Якщо регресія попиту має вигляд многочлена другого по­рядку.

D = a0 + a1 • Р + a2 • P2., то товарообіг для цієї регресії знаходиться за формулою Z = f (P) • Р = a0P + a1 • Р2 + a2 • P3.

Знайдемо похідну від товарообігу по ціні: Z' = a0 + 2a1 • Р + 3a2 • P2.

З необхідної умови екстремуму Z' = 0 знайдемо кри­тичні точки:

$$P_{\mathrm{1,2}}=(-a_1\pm \sqrt{a_1^2-3a_2{a}_0)}/(3a_2)$$.

Приведене рівняння можна отримати з умови Kd = f '(P) • Р / f (P) = -1. Знайдемо залежність еластичнос­ті попиту від ціни: Kd=f'(P) •P/f (P)=(a1•P+2a2.P2)/(a0+a1•P+a2•P2).

Визначення максимального прибутку.

Нехай собівартість продукції складається із сталих затрат С та змінних затрат, пропорційних обсягу випуску продукції V•D. У цьому випадку прибуток підприємства буде дорівню­вати різниці між товарообігом у грошовому виразі і собівар­тістю продукції, тобто F=D•P-(C+V•D)=a2•PЗ+(a1-V•a2)•P2+ (a0-V•a1)•P-C-V•a0.

Знайдемо оцінку ціни, при якій прибуток буде макси­мальним. Якщо в деякій точці р0, F досягає екстремуму, то в цій точці похідна дорівнює нулю. Знайдемо критичні точ­ки dF/dP=3•а2•P2+2•(a1-V•a2)•P+a0 — V•a1 = 0,.

тобто одержимо квадратне рівняння 3•а2•P2+2•(a1-V•a2)•P+a0 — V•a1 = 0,.

Звідки отримаємо Р3,4=(V•а2 — а1±0,5•D½)/(3•a2), де D=4•[(а1 — Vа2)2+За2•(Va1-a0)].

Точку екстремуму знаходимо, дослідивши регресію това­рообігу. Припустимо, що це буде значення p4, тоді опти­мальна кількість продукції, що випускається, визначається за формулою d1 = a0+a1•p4+a2•p42, а максимальний прибуток:

F{p4} = Z (p4} - Vf (p4) = a2•p43 + (a1-Va2)•p42 + (a0-V-a1)-p4•C-V-a0.

Залежність зміни товарообігу від коефіцієнта еластичності.

Наведену методику дослідження індивідуального ринку можна застосувати для залежності товарообігу від собіварто­сті, яка має більш складний характер. У такому випадку для знаходження екстремальних точок необхідно застосовувати чисельні методи розв’язування рівнянь.

Використання економетричної моделі

Аналіз товарообігу на основі регресії з оціненими пара­метрами і фактором — ціна товару — має важливе значення для монополіста при виборі оптимальної ціни товару за кри­терієм оптимізації «максимум прибутку».

Однак слід відмітити, що запропонована економетрична модель не може бути використана для всіх видів товарів і не враховує крайових ефектів. Так, у роботі відмічається, що для товарів першої необхідності попит не еластичний і звідси із збільшенням ціни товарообіг у вартісному виразі зростає. Для такого товару немає сенсу казати про ціну, при якій прибуток буде максимальним. Тому питанням ціноутво­рення на товари першої необхідності займається держава. Необхідно зауважити, що попит залежить не тільки від ціни, а й від рівня прибутку (криві Енгеля).

Враховуючи перехід України до ринкових відносин, слід відмітити нерівномірність розподілу прибутків, що вказано італійським економістом Вільфредом Паретго за матеріала­ми статистичних даних різних країн.

За нерівномірністю розподілу прибутків суспільство за рівнями прибутків можна умовно розділити на декілька груп, наприклад на три: з високим, середнім та низьким. Очевидно, що попит на окремий вид товару при зміні його ціни у всіх трьох групах населення зміниться по-різному. Крім того, є деякі види товарів, які користуються попитом тільки в окремих верствах населення. Враховуючи вищезазначене, стає можливим вивчати по­пит на товар у окремих верств населення (за рівнем прибут­ку, за діяльністю і т. д.).

Припустимо, що в результаті досліджень отримали три регресії попиту на даний вид товару:

D1 = f1(Р) — для першої групи населення;

D2 = f2(Р) — для другої групи населення;

D3 = f3(Р) — для третьої групи населення.

Тоді регресію попиту для всіх верств населення залежно від вартості можна запропонувати у такому вигляді:

D = D1 + D2 + D3 = f1(P) + f2(P) + f3(P).

Монополіста цікавить інтегральна залежність еластичності попиту від вартості товару. $$K_d=\frac{D^{\text{'}}(P)}{D}$$.

Інтегральний коефіцієнт еластичності попиту є середньозваженою величиною частинних коефіцієнтів еластичності попиту, де вагою виступає попит. У загальному випадку для n верств населення оцінка інтегрального коефіцієнта еластичності для ціни P знаходиться за формулою.

$$K_d=\frac{K_{\text{di}}{D}_i}{D_i}$$.

Наведену методику визначення оцінки оптимальної ціни за критерієм оптимальності «максимум прибутку» можна використовувати при вивченні попиту з розподілом населення на групи за визначеними ознаками.

Можна зробити такі висновки:

Якщо попит не еластичний, то зміна ціни товару викликає зміну товарообігу в грошовому виразі в тому ж напрямку.

Якщо попит еластичний, то зміна ціни викликає зміну товарообігу в грошовому виразі в зворотному напрямку.

Якщо в критичній точці лінія регресії попиту переходить з нееластичної в еластичну, то при цьому значенні ціни товарообіг у грошовому виразі максимальний.

Товари першої необхідності (хліб, цукор, масло, житло, газ та ін.) не еластичні, оскільки зі збільшенням ціни споживання цих товарів мало змінюється. Звідси випливає, що підвищення ціни на ці товари веде до збільшення товарообігу. Отже, ціни на товар першої необхідності повинні знаходитись під контролем держави і не можуть бути вільними.

Питання для самоперевірки:

1.Опишіть рівняння регресії попиту і систему для оцінки його параметрів.

2. Розкрийте суть коефіцієнта еластичності товарообігу.

3. Що відбувається з товарообігом при зростання ціни і коли Z'>0, дайте економічну інтерпретацію.

4. Що відбувається з товарообігом при зростання ціни і коли Z'<0, дайте економічну інтерпретацію.

5. Що відбувається з товарообігом для певного проміжку цін і коли Z'=0, дайте економічну інтерпретацію.

6. Як визначити максимальний прибуток.

7. Розкрийте поняття еластичного попиту.

8. Розкрийте поняття нееластичного попиту.

9. Як розрахувати загальну регресію попиту маючи частинні.

10. Інтегральний коефіцієнт еластичності, його визначення, суть.

Ціна і обсяг товару.

Тема № 3: Виробнича регресія.

У сфері виробництва при аналізі кількісного спів­відношення показника і факторів у ролі показника можуть виступати: обсяг випущеної продукції, прибуток, товарообіг, рентабельність, собівартість одиниці продукції, фон­довіддача й інше. Факторами для цих показників можуть бу­ти: робоча сила, основні засоби або капітал, земля та її на­дра, продуктивність суспільної праці, рівень розвитку науки, техніки, освіти та інше.

У більш вузькому смислі під виробничою регресією ро­зуміють залежність між обсягом виробництва (індексом ви­робництва) і величиною різних виробничих ресурсів. У за­гальному вигляді виробнича регресія може бути записана так:

Y= F (Х1, Х2…, Хn),.

де Y — обсяг виробленої продукції, а Х1, Х2, …, Хn — фак­тори, що визначають обсяг виробництва. Виробнича регресія може використовуватися як на мікрорівнях, так і на макрорівнях. У випадку макроекономічної виробничої рег­ресії народне господарство розглядається як єдина система, що функціонує по принципу «витрата-випуск».

При побудові і використанні моделі виробничої регресії слід пам’ятати, що результати обсягу виробництва згладжуються (усереднюються), разом з тим побудована модель дає можливість зробити якісний аналіз виробництва в цілому.

Одним з часткових випадків виробничої регресії є двофакторна виробнича регресія.

Обсяг виробленої продукції Y взагалі залежить від двох цінових факторів: чисельності робочої сили X1, та основних засобів (капіталу) даної галузі Х2.

Y= F (Х1, Х2),.

Для з’ясування форми регресійного зв’язку введемо гіпотези. Будемо вважати, що виробнича регресія неперерв­на і двічі диференційована.

Гіпотеза 1. Якщо збільшується один із факторів X1, або Х2 при незмінному значенні іншого, то випуск продукції збільшується.

Зміна обсягу виробленої продукції за рахунок зміни од­ного з факторів X1, X2 математично виражається як частинна похідна по цьому фактору.

$$\frac{\P F}{\P X_1}0-\frac{\P F}{\P X_2}0\text{.}$$.

Гіпотеза 2. Приріст виробленого продукту збільшується повільніше, ніж приріст витрат кожного із факторів. Іншими словами, приріст одного із факторів на одиницю викликає збільшення випуску продукції менше, ніж на одиницю.

Гіпотеза 3. Виробнича функція F (X1, Х2) є однорідною функцією відносно факторів X1, X2, з показником одно­рідності а. Це означає, що при одночасному збільшенні зна­чень факторів у азів (будь-яке стале число) обсяг вироб­леної продукції збільшиться у разів.

F (X1,X2)=YF (Х1,Х2,).

При виконанні гіпотези 3 згідно з теоремою Ейлера для виробничої регресії є справедливою тотожність Гіпотеза 4. На лінії постійного випуску еластичність праці та основних засобів є сталою додатною величиною.

На основі цих гіпотез отримано виробничу регресію Кобба-Дугласа:

Y=a0X1a1X2a2,.

Система нормальних рівнянь для оцінки параметрів виробничої регресії Кобба-Дугласа.

Нехай у результаті досліджень отримані такі статистичні дані Yi, X1i, X2i (і =1, п), де Yi — обсяг випуску продукції в i-му періоді (підприємстві), X1 — чисельність робочої сили в цьому періоді, Х2 — основний капітал за цей період. На ос­нові статистичних даних необхідно оцінити параметри ви­робничої регресії.

Для оцінки параметрів лінії регресії прологарифмуємо рівняння і виконаємо заміну величин:

lnY = lna0 + a1ln X1 + a2ln X2,.

a01 = lna0, Y1 = lnY, Z1 = lnX1, Z2 = lnX2.

Після цих перетворень отримаємо лінійну модель.

Y1 = a01 + a1Z1 + a2Z2.

Система нормальних рівнянь для цієї регресії має вигляд.

$$\begin{array}{c}{\text{na}}_{\text{01}}+a_1{z}_1+a_2{z}_2=y_1\\ a_{\text{01}}{z}_1+a_1{z}_1^2+a_2{z}_1{z}_2=y_1{z}_1\\ a_{\text{01}}{z}_2+a_1{z}_2{z}_1+a_2{z}_2^2=y_1{z}_2\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Для обчислення коефіцієнтів при невідомих а01, a1, a2 i вільних членів зручно використовувати електронні таблиці.

Під час економетричних досліджень отримано, що для деяких виробництв для параметрів a1 i a2 виконується при­близне рівняння a1+a2 /p>

Цей факт іноді використовується для оцінки параметрів. Якщо скористатися цим рівнянням a2=1-a1, то регресія Кобба-Дугласа буде мати вигляд:

$$Y=a_0(\frac{X_1}{X_2}{)}^{a_1}{X}_2$$ .

Після заміни величин.

$$Y_1=\frac{Y}{X_2}$$, $$Z=\frac{X_1}{X_2}$$ отримаємо рег­ресію Y1 = a0Za1, де параметри а0, а1 оцінюються із системи двох нормальних рівнянь:

$$\begin{array}{c}n\text{ln}{a}_0+a_1\underset{i=1}{\overset{n}{}}\text{ln}{Z}_i=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{Y}_{1i},\\ \text{ln}{a}_0\underset{i=1}{\overset{n}{}}{Z}_i+a_1\underset{i=1}{\overset{n}{}}{\left(\text{ln}{Z}_i\right)}^2=\underset{i=1}{\overset{n}{}}(\text{ln}{Y}_i\text{ln}{Z}_i)\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Після розв’язання системи нормальних рівнянь отрима­ємо оцінки параметрів a1, a0:

Частинні коефіцієнти еластичності виробничої регресії

Для багатофакторної регресії частинний коефіцієнт елас­тичності показує, на скільки відсотків зміниться показник, якщо один із факторів зміниться на один відсоток при не­змінних значеннях інших факторів.

Якщо лінія регресії має вигляд Y = f[X1, Х2,…Хm), то частинний коефіцієнт еластичності для фактора X, обчислюється за формулою.

$$k_{x_1}=\frac{f}{X_i}\frac{X_i}{f}$$, (i=1,m).

Знайдемо частинні коефіцієнти еластичності для вироб­ничої регресії Кобба-Дугласа:

Y=a0X1a1X2a2,.

$$k_{x_1}=\frac{f}{X_i}\frac{X_i}{f}=\frac{(a_0{X}_1^{a_1}{X}_2^{a_2})}{X_1}\frac{X_1}{a_0{X}_1^{a_1}{X}_2^{a_2}}=\frac{a_0{a}_1{X}_1^{a_1-1}{X}_2^{a_2}{X}_1}{a_0{X}_1^{a_1}{X}_2^{a_2}}=a_1$$.

Таким чином, параметр a1 є частинним коефіцієнтом еластичності фактора Х1 виробничої регресії Кобба-Дуг­ласа і показує, що показник Y змінюється на a1 відсотків, якщо фактор X1 змінюється на 1% при незмінних значен­нях фактора Х2. Оскільки коефіцієнт еластичності додат­ний, то збільшення (зменшення) фактора викликає, відпові­дно, збільшення (зменшення) показника.

Аналогічним чином знайдемо, що частинний коефіцієнт еластичності для другого фактора дорівнює другому параме­тру kx2 = a2 і, відповідно, показує, що зміна фактора Х2 на 1% викликає зміну показника на а2 відсотків при незмінних значеннях фактора Х1.

Сумарний коефіцієнт еластичності

Розглянемо гіпотезу 3 про однорідність виробничої рег­ресії з економічної точки зору. Збільшимо обсяг факторів у будь-яке стале число прослідкуємо реакцію зміни обсягу випуску продукції на такі зміни факторів.

Нехай у деякий момент часу фактори і показник мали значення x10, x20, y0, тобто Y0=a0X10a1X20a2, Після збільшення факторів у азів отримаємо:

Y=a0X1a1X2a2=a0()a1()a2=a2 a0X10a1X20a2=a2 Y0.

У даному випадку показник однорідності а дорівнює сумі частинних коефіцієнтів еластичності a1 + а2. Цей пока­зник однорідності називають загальним (сумарним) ко­ефіцієнтом еластичності. На основі отриманих формул мо­жна зробити висновки:

1. Якщо сумарний коефіцієнт еластичності а = 1, то при збільшенні факторів виробництва в стале число більше одиниці) разів, обсяг виробництва збільшиться в стільки ж разів.

2. Якщо значення загального коефіцієнта еластичності більше одиниці, то збільшення факторів виробництва в стале число більше одиниці) разів викличе збільшення об­сягу виробництва в число разів більше за тобто в a2, де a1 + а2. > 1. В даному випадку маємо економію ресурсів на масштабах виробництва.

3. Якщо значення загального коефіцієнта еластичності менше одиниці, то збільшення факторів виробництва в стале число більше одиниці) разів викличе зменшення об­сягу виробництва в число разів менше за тобто в a2, де a1 + а2. > 1. Тобто в цьому випадку при зрос­танні обсягу виробництва зростають витрати на одиницю продукції.

Ізокванти Геометричнo виробничу регресію можна зобразити як поверхню в тримірному просторі з координатами Х1, Х2, Y.

Для більш повного уявлення виробничої регресії розгля­немо її Ізокванти. В тих виробництвах, де фактори взаємозамінні, одного й того ж результату (обсягу випуску продукції) можна досягти різною комбінацією факторів ви­робництва (основних засобів і праці).

Для регресії, що розглядається, геометричне місце точок факторів Х1, Х2 (різні комбінації факторів), для яких по­казник обсягу виробництва продукції У залишається ста­лим, називається ізоквaнтою.

Нехай кінцева мета виробництва — виробити продукцію обсягом у0. Припустимо, що для даного виробництва оцінені параметри виробничої регресії. Необхідно знайти комбінацію факторів, при яких буде вироблено продукції у0, тобто необхідно знайти рівняння ізокванти.

Щоб побудувати ізокванту, необхідно виразити один з факторів виробничої регресії через інший фактор і стале значення показника регресії:

$$X_1=\frac{Y_0^{1/a_1}}{a_0^{1/a_1}{X}_2^{a_2/a_1}}$$.

Якщо сталу $${\left(\frac{Y_0}{a_0}\right)}^{\frac{1}{a_1}}$$ позначити через b, то отримаємо таку залежність $$X_1=\frac{b}{X_2^{a_2/a_1}}$$, в окремому випадку при а2=а1 отримаємо гіперболу $$X_1=\frac{b}{X_2}\text{.}$$ Сімейство ізоквант у декартовій системі координат Х10Х2 зображено на рисунку.

Згідно з рис. при різних значеннях факторів у точках P1 (х11,х21) та P2 (х12,х22) буде вироблено однаковий обсяг даного виду продукції, тобто =a0X11a1X21a2=a0X12a1X22a2=Y0.

Таким же чином можна розглянути множину комбінацію факторів, яким відповідає інший сталий обсяг виробництва продукції. Це буде інша ізокванта із сімейства ізоквант. На­приклад, на рис. ізокванта, якій відповідає сталий обсяг у1 виробництва продукції.

Темп приросту показника виробничої регресії.

Виразимо граничний приріст показника через граничні прирости факторів:

$$\frac{Y}{t}=\frac{Y}{X_1}\frac{X_1}{t}+\frac{Y}{X2}\frac{X_2}{t}$$.

Частинна похідна від загальної виробничої регресії по і-му фактору: $$\frac{Y}{X_i}=a_1\frac{Y}{X_i}(i=\stackrel{}{\mathrm{1,}m})\text{.}$$ Враховуючи формули темпу приросту, можемо записати.

$$e_y=a_1{e}_{x_1}+a_2{e}_{x_2}$$ .

Для загальної виробничої регресії темп приросту показника дорівнює зваженій сумі темпів приросту факторів цього показника, де вагами є параметри а1, а2.

Гранична продуктивність і граничний продукт.

Граничною продуктивністю праці (ГПп) називається зміна обсягу виробництва продукції за рахунок зміни працезатрат на одиницю при незмінних інших факторах, що впливають на обсяг виробництва продукції.

В загальному вигляді ГПп можна записати:

$${\text{ГП}}_{п}=\frac{Y}{X_1}=\frac{(a_0{X}_1^{a_1}{X}_2^{a_2})}{X_1}=a_1{a}_0{X}_1^{a_1-1}{X}_2^{a_2}=\frac{a_{1}Y}{X_1}$$ .

Із цього співвідношення одержимо нову економічну інтерпретацію параметра а1 виробничої регресії Кобба-Дугласа. Якщо $$\frac{Y}{X_1}$$ назвати середньою продуктивністю праці, то параметр а1 є коефіцієнтом пропорційності між граничною і середньою продуктивністю праці (для виробничої регресії Кобба-Дугласа 0< a1 <1).

Граничним продуктом праці називається додатковий продукт $${\mathit{}}_{X_1}$$, отриманий у результаті додаткових затрат праці $${\mathit{}}_1$$ при незмінних затратах решти факторів виробництва.

Введемо формулу обчислення додаткового продукту $${\mathit{}}_{X_1}$$, отриманого в результаті відносно малих додаткових порцій вкладення праці:

$${\mathit{}}_{X_1}=\frac{Y(X_1,X_2)}{X_1}{\mathit{}}_1\text{.}$$.

Для виробничої регресії Кобба-Дугласа ця формула отримає вигляд.

$${\mathit{}}_{X_1}=a_1\frac{Y}{X_1}{\mathit{}}_1\text{.}$$.

Граничною продуктивністю капіталу (ГПк) називається зміна обсягу виробництва продукції за рахунок зміни капіталу на одиницю при незмінних значеннях решти факторів виробництва.

Розглянемо ГПк для виробничої регресії Кобба-Дугласа.

Якщо $$\frac{Y}{X_2}$$ назвати середньою продуктивністю капіталу, то параметр а2 є коефіцієнтом пропорційності між граничною і середньою продуктивністю капіталу (для виробничої регресії Кобба-Дугласа 0< a1 <1).

Граничним продуктом капіталу називається додатковий обсяг продукту виробництва $${\mathit{}}_{X_2}$$, отриманий у результаті додаткових вкладень капіталу $${\mathit{}}_2$$ при незмінних затратах решти факторів виробництва.

Граничний продукт капіталу $${\mathit{}}_{X_2}$$, отриманий у результаті додаткових вкладень відносно малої порції капіталу $${\mathit{}}_2$$ при незмінних значеннях працезатрат, визначається за формулою:

$${\mathit{}}_{X_2}=\frac{Y(X_1,X_2)}{X_2}{\mathit{}}_2\text{.}$$.

Для виробничих регресії Кобба-Дугласа додатковий продукт, отриманий за рахунок приросту капіталу при незмінних значеннях працезатрат, визначається за формулою.

$${\mathit{}}_{X_2}=a_2\frac{Y}{X_2}{\mathit{}}_2\text{.}$$.

Граничний продукт $$\mathit{}$$, отриманий у результаті додаткових вкладень відносно малими порціями працезатрат $${\mathit{}}_1$$ і капіталу $${\mathit{}}_2$$, визначається за формулою:

$$\mathit{}=a_1\frac{Y}{X_1}{\mathit{}}_1+a_2\frac{Y}{X_2}{\mathit{}}_2\text{.}$$.

Закон спадання граничної продуктивності праці.

Розглянемо виробничу регресію Кобба-Дугласа.

$${\text{ГП}}_{п}=\frac{a_{1}Y}{X_1}=\frac{a_1{a}_0{X}_2^{a_2}}{X_1^{1-a_1}}$$ .

Оскільки Х2 залишається незмінною величиною, то чисельник — постійна величина. Позначимо чисельник через с1, де параметр а1, 1). Оскільки 1-а1 = а2 то маємо ГПп = $$\frac{c_1}{X_1^{a_2}}$$ .

Очевидно, що із зростанням затрат праці при незмінних значеннях капіталу гранична продуктивність праці спадає (при $$X_1->\mathrm{},{\text{ГП}}_{п}->0)$$. Це і є закон спадання граничної продуктивності праці. Зобразити графічно.

Закон спадання граничної продуктивності капіталу.

Розглянемо виробничу регресію Кобба-Дугласа.

$${\text{ГП}}_{к}=\frac{a_{2}Y}{X_2}=\frac{a_2{a}_0{X}_1^{a_1}}{X_2^{1-a_2}}$$ .

Оскільки Х1 залишається незмінною величиною, то чисельник — постійна величина. Позначимо чисельник через с2, де параметр а2, 1). Оскільки 1-а2 = а1 то маємо ГПк = $$\frac{c_2}{X_2^{a_1}}$$ .

Очевидно, що із зростанням затрат праці при незмінних значеннях капіталу гранична продуктивність праці спадає (при $$X_2->\mathrm{},{\text{ГП}}_{к}->0)$$. Це і є закон спадання граничної продуктивності праці. Зобразити графічно.

Питання для самоперевірки:

1. 1.Що таке двофакторна виробнича регресія.

2. 2.Які висуваються гіпотези для з’ясування форми регресійного зв’язку.

3. 3.Система нормальних рівнянь для оцінки параметрів виробничої регресії Кобба-Дугласа.

4. 4.Розкрийте суть частинного коефіцієнта еластичності і його економічну інтерпретацію.

5. 5.Розрахунок сумарного коефіцієнта еластичності.

6. 6.Що відбудеться з обсягом виробництва, якщо сумарний коефіцієнт еластичності рівний одиниці.

7. 7.Що відбудеться з обсягом виробництва, якщо сумарний коефіцієнт еластичності більший одиниці.

8. 8.Що відбудеться з обсягом виробництва, якщо сумарний коефіцієнт еластичності менший одиниці.

9. 9.Ізокванти, суть, методи розрахунку.

10. 10.Темп приросту показника виробничої регресії.

11. 11.Гранична продуктивність праці, граничний продукт праці.

12. 12.Гранична продуктивність капіталу, граничний продукт капіталу.

13. 13.Закон спадання граничної продуктивності праці.

14. 14.Закон спадання граничної продуктивності капіталу.