Допомога у написанні освітніх робіт...
Допоможемо швидко та з гарантією якості!

Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння

КурсоваДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

Де р — ціле позитивне число (, z) — поліном відносно z. Якщо вибрати число р досить більшим, так, щоб R ()>-p і R (-)>-p, то аналітичне продовження кожної з функцій F (+s, +p, +2p, z) може бути виконане по формулі (1.5). Підставляючи отримані вираження в (1.7) одержимо функцію, регулярну в площині з розрізом (1,), що при <1 збігається із сумою гіпергеометричного ряду (1.1) і, отже, є шуканим… Читати ще >

Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння (реферат, курсова, диплом, контрольна)

Курсова робота з математики

«Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння»

Введення У зв’язку із широким розвитком чисельних методів і зростанням ролі чисельного експерименту у великому ступені підвищився інтерес до спеціальних функцій. Це пов’язане із двома обставинами. По-перше, при розробці математичної моделі фізичного явища для з’ясування відносної ролі окремих ефектів вихідну задачу часто доводиться спрощувати для того, щоб можна було одержати рішення в легко аналізованій аналітичній формі. По-друге, при рішенні складних задач на ЕОМ зручно використовувати спрощені задачі для вибору надійних і економічних обчислювальних алгоритмів. Дуже рідко при цьому можна обмежитися задачами, що приводять до елементарних функцій. Крім того, знання спеціальних функцій необхідно для розуміння багатьох важливих питань теоретичної й практичної фізики.

Найбільше часто вживаними функціями є так звані спеціальні функції математичної фізики: класичні ортогональні поліноми (поліноми Якоби, Лагерра, Ермита), циліндричні, сферичні й гіпергеометричні. Теорії цих функцій і їхніх додатків присвячений цілий ряд досліджень.

1. Гіпергеометричне рівняння

1.1 Визначення гіпергеометричного ряду Гіпергеометричним рядом називається статечної ряд виду де z — комплексна змінна,, , — параметри, які можуть приймати будь-які речовинні або комплексні значення (0,-1,-2,…),і символ позначає величину

= =1

Якщо й — нуль або ціле негативне число, ряд обривається на кінцевому числі членів, і сума його являє собою поліном відносно z. За винятком цього випадку, радіус збіжності гіпергеометричного ряду рівняється одиниці, у чому легко переконатися за допомогою ознаки збіжності Даламбера: думаючи

zk

маємо

= ,

коли k, тому гіпергеометричний ряд сходиться при <1 і розходиться при >1.

Сума ряду

F (,,, z) =, <1 (1.1)

називається гіпергеометричною функцією.

Дане визначення гіпергеометричної функції придатне лише для значень z, що належать колу збіжності, однак надалі буде показано, що існує функція комплексного змінного z, регулярна в площині з розрізом (1,) яка при <1 збігається з F (,,, z). Ця функція є аналітичним продовженням F (,,, z) у розрізану площину й позначається тим же символом.

Щоб виконати аналітичне продовження припустимо спочатку що R ()>R ()>0 і скористаємося інтегральним поданням

(1.2)

k=0,1,2,.

Підставляючи (1.2) в (1.1) знаходимо

F (,,, z) = = =

причому законність зміни порядку інтегрування й підсумовування випливає з абсолютної збіжності.

Дійсно, при R ()>R () >0 і <1

=

= F (, R (), R (),)

На підставі відомого біноминального розкладання

=(1-tz)-a(1.3)

0 t 1, <1

тому для F (,,, z) виходить подання

F (,,, z)= (1.4)

R ()>R () >0 і <1

Покажемо, що інтеграл у правій частині останньої рівності зберігає зміст і представляє регулярну функцію комплексного змінного z у площині з розрізом (1,).

Для z приналежні області, (R — довільно велике, і довільно малі позитивні числа), і 0 < t < 1 підінтегральне вираження є регулярна функція z і безперервна функція t; тому досить показати що інтеграл сходиться рівномірно в розглянутій області. Доказ треба з оцінки

(М — верхня границя модуля функції (1-tz)-a, безперервної в замкнутій області

, 0 t 1)

що показує, збіжність інтеграла буде при R ()>R () >0 інтеграл

сходиться Таким чином, умова <1 в (1.4) може бути відкинуто, і шукане аналітичне продовження гіпергеометричної функції в розрізану площину дається формулою

F (,,, z)= (1.5)

R ()>R () >0;

У загальному випадку, коли параметри мають довільні значення, аналітичне продовження F (,,, z) площина з розміром (1,) може бути отримане у формі контурного інтеграла, до якого приводить підсумовування ряду (1.1) за допомогою теорії відрахувань.

Більше елементарний метод продовження, що не дає, однак, можливість одержати в явній формі загальне аналітичне вираження гіпергеометричної функції, полягає у використанні рекурентного співвідношення (1.6)

F (,,, z) = +

справедливість якого може бути встановлена підстановкою в нього ряду (1.1). Після підстановки й приведення подібних членів коефіцієнт при zk у правій частині (1.6) буде

+ - = = { - - }= = (

Шляхом повторного застосування цієї тотожності можна представити функцію F (,,, z) з довільними параметрами (0,-1,-2,…)у вигляді суми

F (,,, z)= F (+s, +p, +2p, z) (1.7)

де р — ціле позитивне число (,,, z) — поліном відносно z. Якщо вибрати число р досить більшим, так, щоб R ()>-p і R (-)>-p, то аналітичне продовження кожної з функцій F (+s, +p, +2p, z) може бути виконане по формулі (1.5). Підставляючи отримані вираження в (1.7) одержимо функцію, регулярну в площині з розрізом (1,), що при <1 збігається із сумою гіпергеометричного ряду (1.1) і, отже, є шуканим аналітичним продовженням.

Гіпергеометрична функція F (,,, z) відіграє важливу роль в аналізі і його додатках. Введення цієї функції дає можливість одержати рішення багатьох цікавих проблем теоретичного й прикладного характеру, до яких, зокрема, ставиться задача конформного відображення трикутника, обмеженого пересічними прямими або дугами окружностей, різні задачі квантової механіки й так далі.

Велика кількість спеціальних функцій може бути виражене через функцію F (,,, z), що дозволяє розглядати теорію цих функцій як відповідні спеціальні випадки загальної теорії, даної в справжньому пункті.

1.2 Елементарні властивості гіпергеометричної функції

У справжньому розділі ми розглянемо деякі властивості гіпергеометричної функції, які безпосередньо випливають із її визначення за допомогою ряду (1.1).

1. Беручи до уваги, що члени ряду не змінюються при перестановці параметрів і маємо співвідношення симетрії

F (,,, z)= F (,,, z), (2.1)

2. Диференціюючи розглянутий ряд по членне, знаходимо

F (,,, z)= = =

= = F (+1, +1, +1,z)

Таким чином, F (,,, z)= F (+1, +1, +1,z) (2.2)

3. Повторне застосування цієї формули приводить до рівностей

F (,,, z)= F (+m, +m, +m, z) (2.3)

m=1,2,…

Покладемо надалі для скорочення запису

F (,,, z)= F,

F (1,,, z)= F (1),

F (, 1,, z)= F (1),

F (,, 1, z)= F (1).

Функції F (1), F (1), F (1) називаються суміжними з F.

4. Ми покажемо, що F і будь-які дві суміжні функції зв’язані між собою рекурентним співвідношенням з коефіцієнтами, що є лінійними функціями змінного z. Як основні співвідношення цього типу можуть бути обрані рівності (2.4), (2.5), (2.6) відповідно.

(- -)F+ (1-z)F (+1)-(-)F (-1)=0,

(- -1)F+ F (+1)-(- 1) F (-1)=0,

(1-z)FF (-1)+(-)F (+1)=0.

Підставляючи ряд (1.1) в (2.4) маємо (2.4)

(- -)F+ (1-z)F (+1)-(-)F (-1)=

=(- -) + (1-z) -(;

) =

= {(- -) + -(-) ;

}zk=

= {(- -)(+k-1)+(+k)(+k-1)-(-)(-1)

(-k-1)k} zk=0,

тому що

z

= =

= (+1)…(+k-1)

=(+1)…(+k-1)(+k)

=(-1) (+1)…(+k-2)

= (+1)…(+k-2)

=(+1)…(+k-2)(+k-1)

=(-1)(+1)…(+k-3)

Формули (2.5) і (2.6) доводяться аналогічним способом:

(- -)F+ F (+1)-(- 1) F (-1)=

= { (- -1) + -(- 1) =

= { - -1 + + k-(+k-1)}zk=0,

(1-z)FF (-1)+(-)zF (+1)=

= { - - +(-) }zk

= { (+ k -1)(+ k-1) — (+ k -1)k- (-1)(+ k-1)

+(-) k}zk=0,

З (2.4)-(2.6) і властивості симетрії (2.1) треба три інших рівності:

(- -)F+ (1-z)F (+1)-(-)F (-1)=0, (2.7)

(- -1)F+ F (-1)-(- 1) F (-1)=0, (2.8)

(1-z)FF (-1)+(-)zF (+1)=0. (2.9)

(- -)F+ (1-z)F (+1)-(-)F (-1)=

= {(- -) + - -(;

) } zk =

= {(- -)(+k-1)+ (+ k -1)(+k) — (+k-1)k -(-)(;

1)}zk=0,

(- -1)F+ F (-1)-(- 1) F (-1)=

= {(- -1) + -(- 1) } zk =

= { - -1+ (+ k) — (+k-1)}zk=0,

(1-z)FF (-1)+(-)zF (+1)=

= { - - +(-) } zk

= { (+k-1)(+k-1) — k (+k-1) — (+k-1)(-1)+k

(-)}zk=0.

Інші рекурентні співвідношення виходять із (2.4) — (2.9) шляхом виключення з відповідної пари формул загальної суміжної функції. Наприклад, комбінуючи (2.5) і (2.8) або (2.6) і (2.9) одержуємо

(-)FF (+1)+ F (+1)=0 (2.10)

(-)(1-z)F+(-)F (-1)-(-)F (-1)=0 (2.11)

і так далі

(-)FF (+1)+ F (+1)=

= {(-) + + } zk=

= { - - (+k)+ (+k)} zk =0.

(-)(1-z)F+(-)F (-1)-(-)F (-1)=

= {(-) -(-) +(-) -(;

) } zk=

= {(-)(+k-1)(+k-1)-(-)(+k-1)k+(-)(-1)(+k-1);

(-)(+k-1)(-1)}zk=0.

Крім розповсюджених рекурентних співвідношень існують аналогічні співвідношення, що зв’язують гіпергеометричну функцію виду F (,,, z) з який — або парою родинних функцій виду F (+1, +m, +n, z), де l, m, n — довільні цілі числа.

Найпростішими рекурентними співвідношеннями цього типу є

F (,,, z)-F (,, -1,z)= F (+1, +1, +1,z) (2.12)

F (, +1,, z) — F (,,, z)= F (+1, +1, +1,z) (2.13)

F (, +1, +1,z) — F (,,, z)= F (+1, +1, +2,z)(2.14)

F (-1, +1,, z) — F (,,, z)= F (, +1, +1,z) (2.15)

До даного класу ставляться також рівність (1.6)

Формули (2.12) і (2.15) доводяться підстановкою в них ряду (1.1) або виводяться на основі вже відомих рекурентних співвідношень для суміжних функцій.

1.3 Гіпергеометричне рівняння Помітимо, що гіпергеометрична функція u= F (,,, z) є інтегралом лінійного диференціального рівняння

z (1-z) +[ -(+ +1)] - u=0 (2.16)

регулярним в околиці крапки z=0.

Рівняння (2.16) називається гіпергеометричним і включає, як окремі випадки, багато диференціальних рівнянь, що зустрічаються в додатках.

Якщо привести це рівняння до стандартної форми, розділивши його на коефіцієнт при другій похідній, то коефіцієнти отриманого рівняння будуть регулярними функціями змінного z в області 0< <1 <1, наявними при z=0 полюс першого порядку або звичайну крапку, залежно від значень параметрів, , .

Із загальної теорії лінійних диференціальних рівнянь треба, що в такому випадку розглянуте рівняння повинне мати приватне рішення виду

u=zs zk (2.17)

де s — належне обране число, 0, статечної ряд сходиться при <1

u= zk+s

= (k+s)zk+s-1

= (k+s)(k+s-1)zk+s-2

Підставляючи (2.17) у рівняння (2.16) знаходимо

z (1-z) (zk+s +[ -(+ +1)z] (zk+s — zk+s=0,

z (1-z) (zk+s-1(k+s)(k+s-1))+[ -(+ +1)z] (zk+s-1(k+s));

zk+s=

= (zk+s-1(k+s)(k+s-1)) — (zk+s(k+s)(k+s-1))+ (zk+s-1 (k+s));

— zk+s(+ +1)(k+s)) — zk+s =

= zk+s-1(k+s)(k+s-1+) — zk+s(s+k+)(s+k+)=0,

звідки для визначення показника s і виходить система рівнянь

s (s-1-)=0,

(s+k)(s+k-1+) — (s+k-1+)(s+k-1+)=0,

k=1,2,…,

перше з яких дає s=0 або s=1;

Припустимо, що 0,-1,-2,…і виберемо s=0

Тоді для обчислення коефіцієнтів одержимо рекурентне співвідношення

= k=1,2,…,

звідки, якщо прийняти =1, треба

= k=0,1,2,…,

де для скорочення запису уведене позначення

= (+1)…(+k-1),

=1,k=1,2,…,

У такий спосіб перше приватне рішення рівняння (2.16) при 0,-1,-2,…буде

u= = F (,,, z)= zk, <1 (2.18)

Аналогічно, вибираючи s=1- одержуємо в припущенні, що 2,3,4,…

= k=1,2,…,

звідки, якщо взяти =1 знаходимо

=

k=0,1,2,…,

Таким чином, при 2,3,4,…рівняння (2.16) має друге приватне рішення

u= = = F (1- +, 1- +, 2-, z), (2.19)

<1,

Якщо не є цілим числом (0, 1, 2,…), те обоє рішення (2.18−2.19) існують одночасно й лінійно незалежні між собою, так, що загальне рішення рівняння (2.17) може бути представлене у формі

u=A F (,,, z)+B F (1- +, 1- +, 2-, z), (2.20)

де, А и В довільні постійні <1,

2. Подання різних функцій через гіпергеометричну Гіпергеометрична функція F (,,, z) приводиться до полінома, коли =0,-1,-2,…або =0,-1,-2. Наприклад,

F (, 0,, z)= zk= =1,

тому що

=0(0+1)(0+2)…(0+k-1)=0.

F (, -2,, z)= zk= z0+ z+ z2 =

=1−2 z+ z2,

тому що

=1, =-2,

=(-2)(-1)=2, =(-2)(-1)0=0, =(-2)(-1)01=0

і так далі.

Перетворення

F (,,, z)=(1-z F (- , —,, z)

— =0 =

показує, що гіпергеометрична функція при — =0,-1,-2,…або — =0,-1,-2,…виражається через алгебраїчні функції. Зокрема,

F (,,, z)= (1-z, (3.1)

Надаючи параметрам, спеціальні значення, знаходимо

(1-z)v= F (-v, 1, 1, z)

(1-z = F (, 1, 1, z (3.2)

(1-z)n= F (-n,,, z)

n=0,1,2,…

Щоб одержати подання логарифмічної функції, скористаємося розкладанням

ln (1-z)= - =-z <1

звідки треба

ln (1-z)=-zF (1,1,2,z) (3.3)

Аналогічним образом виводяться формули для зворотних кругових функцій:

arctg z=zF (, 1, ,-z2) (3.4)

arcsin z=zF (,,, z2)

arctg z= (-1)k =z =z =

=z =z =z =zF (, 1, ,-z2),

тому що =1*2*…*k=k!

arcsinz=z+ =z[1+ ]=

=z[1+ ]=z[1+ ]=z[1+ ]=

=z[1+ ]=z[1+ =zF (,,, z2)…

3. Вироджена гіпергеометрична функція Поряд з гіпергеометричною функцією F (,,, z), важливу роль у теорії спеціальних функцій грає так звана Вироджена гіпергеометрична функція F (,, z).

Щоб визначити цю функцію, помітимо, що статечної ряд де z — комплексне змінне, і - параметри, які можуть приймати будь-які речовинні або комплексні значення, крім =0,-1,-2,…і символ позначає величину

= =1

сходиться при будь-яких кінцевих z.

Тому що, якщо позначити через загальний член ряду, те

= 0, коли k .

Вироджена гіпергеометрична функція F (,, z) визначається як сума розглянутого ряду

F (,, z)=, 0,-1,-2,…,< (4.1)

З даного визначення випливає, що F (,, z) функція комплексного змінного z.

Якщо покласти

f (,, z)= F (,, z)=, (4.2)

те f (,, z) при фіксованому z буде цілою функцією від і. Дійсно, члени ряду (6.2) є цілими функціями цих змінних, і ряд сходиться рівномірно в області

Думаючи

маємо для досить більших k

=

Звідси треба, що при заданому z функція F (,, z)

представляє цілую функцію й мероморфну функцію із простими полюсами в крапках =0,-1,-2,…

Функція F (,, z) досить часто зустрічається в аналізі, причому головне її значення полягає в тому, що багато спеціальних функцій можуть розглядатися як її окремі випадки, що значною мірою полегшує побудову теорії цих функцій і надає їй загальний і компактний характер.

Зв’язок функції F (,, z) з гіпергеометричною функцією дається співвідношенням

F (,, z)=lim F (,, ,) (4.3)

З визначення виродженої гіпергеометричної функції безпосередньо випливають рівності

F (,, z)= F (+1, +1,z) (4.4)

F (,, z)= F (+m, +m, z) m=1,2,… (4.5)

і рекурентні співвідношення

(- -1)F+ F (+1)-(-1)F (-1)=0 (4.6)

FF (-1)-zF (+1)=0 (4.7)

(-1+z)F+(-)F (-1)-(-1)F (-1)=0 (4.8)

(+z)FF (+1)-(-)zF (+1)=0 (4.9)

(-)F (-1)+(2 — +z)FF (+1)=0 (4.10)

(-1)F (-1) — (-1+z)F+(-)zF (+1)=0 (4.11)

єднальну функцію F F (,, z) із двома будь-якими суміжними функціями

F (1) F (1,, z) і F (1) F (, 1, z)

Формули (4.6) і (4.7) доводяться шляхом підстановки ряду (4.1) інші рекурентні співвідношення виходять із них у результаті простих алгебраїчних операцій.

(- -1)F+ F (+1)-(-1)F (-1)=

= {(- -1) + -(-1) }zk=

= { - -1+ (+k) — (+k-1)} zk=

= { - -1+ +k- -k+1)} zk=0

FF (-1)-zF (+1)=

= { - - } zk=

= { (+k-1) — (-1)-k } zk=

= { + k- - - -k } zk=0.

Повторне застосування рекурентних формул приводить до лінійних співвідношень, що зв’язують функцію F (,, z) з родинними функціями F (+m, +n, z), де m, nзадані цілі числа. Прикладами подібних співвідношень можуть служити рівності:

F (,, z) = F (+1,, z) — F (+1, +1,z) (4.12)

F (,, z)= F (, +1,z) + F (+1, +1,z) (4.13)

4. Диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричної функції. Вироджена гіпергеометрична функція другого роду Покажемо, що вироджена гіпергеометрична функція є приватним рішенням диференціального рівняння

z +(-z) — u=0 (5.1)

де 0,-1,-2,…

u=F (,, z)= zk

= zk-1

= zk-2

Дійсно, позначаючи ліву частину рівняння l (u) і полога u= = F (,, z), маємо

l () = zk-2+(-z) zk-1— zk=

=[ - ]+ [k + -k- ] 0.

Щоб одержати друге лінійне незалежне рішення розглянутого рівняння, припустимо, що, і виконаємо підстановку .

Рівняння (5.1) перетвориться тоді в рівняння того ж виду

z +(-z) — =0

с новими значеннями параметрів =1+, =2-. Звідси треба, що при 2,3,…функція також є рішенням рівняння (5.1).

Якщо 0, 1, 2,…обоє рішення () мають сенс і лінійно незалежні між собою, тому загальний інтеграл рівняння (5.1) може бути представлений у вигляді

u= F (,, z)+B F (1+ -, 2-, z) (при =1 u=) (5.2)

0, 1, 2,…

Щоб одержати вираження загального інтеграла у формі, придатної для будь-яких значень (крім =0,-1,-2,…), краще увести вироджену гіпергеометричну функцію другого роду

G,, z)= F (,, z)+ F (1+ -, 2-, z)(5.3)

0, 1, 2,…

Формула (5.3) визначає функцію G,, z) для будь-яких, відмінних від цілого числа. Покажемо, що при n+1 (n=0,1,2,…)права частина (5.3) прагнути до певної межі. Для доказу замінимо гіпергеометричні функції відповідними рядами й скористаємося співвідношенням теорії Г-Функції. Тоді одержимо (5.4)

G,, z)= [ - ]=

= ()

Ми маємо

= =

n=0,1,2,…

= = =

= ,

тому вираження в правій частині (5.4) при n+1 приймає невизначений вид і прагне до межі, значення якого може бути знайдене за правилом Лопиталя. Відповідно до цього результату покладемо

G (,, z)= G,, z)= (-1)n+1[ ] (5.5)

n=0,1,2,…

Виконавши обчислення, знаходимо:

= [ ],

= [ ]+

+ ,

звідки для G (, n+1,z) виходить явне вираження у формі ряду (5.6)

G (, n+1,z)= [ ]+

+ ,

n=0,1,2,…, 0,-1,-2,…,

Тут — логарифмічна похідна Г-Функція, і для випадку n=0 порожня сума приймається рівної 0.

Якщо =-m (m=0,1,2,…), те граничний перехід n+1 (n=0,1,2…)у формулі (5.3) приводить до вираження

G (-m, n+1,z)= F (-m, n+1,z), (5.7)

m=0,1,2,…, n=0,1,2,…

З (5.3) безпосередньо треба, що Вироджена гіпергеометрична функція другого роду задовольняє функціональному співвідношенню

G (,, z)= G (- +1,2-, z), (5.8)

На підставі цієї формули можна визначити функцію G (,, z) при, рівному нулю або цілому негативному числу, за допомогою рівності

G (, 1-n, z)= G (,, z)= zn G (+n, n+1,z) (5.9)

n=1,2,…,

Таким чином, функція має сенс при будь-яких значеннях її параметрів. З донного визначення випливає, що G (,, z) регулярна функція від z у площині з розрізом (-, 0) і ціла функція й .

Покажемо, що функція G (,, z) є рішенням диференціального рівняння (5.1).

При 0, 1, 2,…доказ треба безпосередньо з (5.3). Для цілих необхідний результат може бути обґрунтований шляхом застосування принципу аналітичного продовження.

Якщо 0, 1, 2,…інтеграли F (,, z) і G (,, z) лінійно незалежні між собою, у чому легко переконатися, склавши вронскиан цієї пари рішень.

З (5.1) треба W{F, G}=C ez. Порівнюючи обидві частини цієї рівності при z 0, знаходимо

C=

W{ F (,, z), G (,, z)}= - ez (5.10)

0, -1, -2,…,

Загальний інтеграл рівняння (7.1) у цьому випадку може бути представлений у формі

u = AF (,, z)+BG (,, z) (5.11)

0, -1, -2,…,

Функція G (,, z) володіє рядом властивостей, аналогічних властивостям функції F (,, z). Так, наприклад, мають місце формули диференціювання:

G (,, z)= - G (+1, +1,z)

G (,, z)= (-1)m G (+m, +m, z) (5.12)

m=1,2,…

рекурентні співвідношення:

GG (+1)-G (-1)=0, (5.13)

(-)G+G (-1) -zG (+1)=0, (5.14)

(-1+z)G — G (-1)+(- +1)G (-1)=0, (5.15)

(+z)G+ (- -1)G (+1)-zG (+1)=0, (5.16)

G (-1)+(2 — +z)G + (- +1)G (+1)=0, (5.17)

(- -1)G (-1) — (-1+z)G + zG (+1)=0, (5.18)

G G (,, z), G (1) G (1,, z), G (1) G (, 1, z)

і так далі.

Справедливість цих формул випливає з визначення функції G і відповідних властивостей функції F.

5. Подання різних функцій через вироджені гіпергеометричні функції

Як ми вже відзначали, багато елементарних і спеціальних функцій, що зустрічаються в аналізі, можуть бути вироджені через функцію F (,, z).

Ми маємо, наприклад,

1) F (,, z)= =

тому що

F (1,2,z)= = ,

тому що

3) F (-2,1,z)=

Висновок Курсова робота присвячена дослідженню гіпергеометричних функцій. Можна зробити висновок:

Гіпергеометричні функції застосовуються в різних розділах математичного аналізу, зокрема, при рішенні диференціальних рівнянь і при розгляді інших спеціальних функцій.

За допомогою гіпергеометричних функцій виражаються не тільки сферичні, еліптичні, але й ряд інших, у тому числі й елементарні функції.

У роботі розглянуті визначення гіпергеометричного ряду й гіпергеометричної функції, доведені деякі елементарні властивості гіпергеометричної функції, функціональні й спеціальні функціональні співвідношення, подання різних функцій через гіпергеометричну, вироджену функція 1 і 2 роди, диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричної функції і його інтеграли, подання різних функцій через вироджені гіпергеометричні функції.

Література

1. Балк М. Б. Математичний аналіз: теорія аналітичних функцій. — К., 2000

2. Гурвиц А.І., Теорія функцій. — К., 2004

3. Евграфов М. О. Аналітичні функції. — К., 2003

4. Лебедєв І.І. Спеціальні функції і їхні додатки. — К., 2000

5. Маркушевич. М. М. Введення в теорію аналітичних функцій. — К., 1999

6. Смирнов В. И. Курс вищої математики тім 3,4. — К., 2005

7. Уиттекер І, Ватсон У. Курс сучасного аналізу тім 1,2. — К., 2000

8. Фихтенгольд К. Курс диференціального й інтегрального вирахування. — К., 2004

9. Фильчаков М. Довідник по вищій математиці. — К., 2000

Показати весь текст
Заповнити форму поточною роботою