Визначення комплексних чисел

Комплексні числа є найбільш важливою системою чисел. Дійсні числа є часткою випадку комплексних чисел.

Визначення. Число називається мнимою одиницею. Справедлива рівність і² = -1.

Визначення. Число виду:

Де:

х, у — дійсні числа, називається комплексним числом.

Число Re називається дійсною частиною числа z. Число Im називається мнимою частиною числа z.

Два комплексних числа:

— називаються рівними, якщо в них рівні відповідно дійсні і мнимі частини.

Тобто a₁ = a₂, а також b₁ = b₂.

Для комплексних чисел не визначені знаки: >, ?, <, ?.

Визначення. Числа:

— називаються комплексно сполученими.

Комплексне число зображується крапкою з координатами х = а, або у = b на площині _хО_у, що називається комплексною площиною (рис. 1).

Рис. 1:

Вісь х називається дійсною, вісь у називається мнимою віссю. Комплексно сполученого числа:

— розташовуються симетрично щодо дійсної осі.

Приклад. Вирішимо квадратне рівняння:

Дискримінант менше нуля.

Рівняння не має дійсних рішень.

Знаходимо комплексні рішення:

Ці рішення — комплексно сполучені числа.

Для визначення положення крапки:

На комплексній площині будемо використовувати полярну систему координат (с, ц) (рис. 2).

Рис. 2:

Полярний радіус с називають модулем комплексного числа z.

Полярний кут ц називають аргументом комплексного числа z.

З мал. 2 знаходимо рівності:

Приклади.

Дано комплексні числа:

Знаходимо:

Визначення. Тригонометричною формою комплексного числа:

— називається запис числа z у виді:

(2).

При цьому знаходимо рівності:

Приклади. Представимо комплексні числа в тригонометричній формі:

Застосуємо поняття модуля й аргументу комплексного числа.

1. Рівняння:

• — задає окружність одиничного радіуса з центра на початку координат.
• 2. Рівняння:

— задає окружність з центром у крапці:

Рис. 3:

3. Рівняння:

— визначає промінь, з початку складовий кут:

З віссю х.

4. Рівняння:

— визначає пряму Re.