Застосування логіки предикатів

Застосування символіки логіки предикатів в математичних формулюваннях

Під час вивчення математичних дисциплін різного спрямування доволі широко використовують символіку математичної логіки для скорочення запису того чи іншого математичного твердження. Особливо це стосується символіки логіки предикатів.

Досить часто в математичних формулюваннях предметні змінні під знаком кванторів пробігають певну підмножину множини задання предикатів. Для прикладу розглянемо наступну формулу. Множиною інтерпретації оберемо множину дійсних чисел, функціональному символу поставимо у відповідність операцію відшукання квадратного кореня, а предикатному символ — предикат ««. Відмітимо, що наш предикат заданий на множині, але формула істинна лише для невід'ємних значень x та y. Тому, зі змістовної математичної точки зору це запишеться так .

Також, при вивченні математичних дисциплін дуже часто зустрічаються вирази «існує натуральне число», «для будьякого дійсного числа», «існує єдиний елемент х» і т. д.. Тому в математиці використовуються так звані обмежені квантори. Це по суті скорочені записи тих чи інших формул логіки предикатів, а точніше — їх інтерпретацій. Наприклад, формули і з використанням обмежених кванторів загальності та існування запишуться наступним чином:

і .

В подальшому будемо використовувати дещо зручнішу форму запису, а саме:

і .

Тобто, для формули з нашого прикладу в тій інтерпретації ми мали б записати наступний вираз без використання обмежених кванторів:

.

Також, при записі математичних понять використовують так званий квантор існування та єдиності, який читається: «існує єдиний елемент х, такий, що…». Наприклад, запис в розгорнутому вигляді є формулою.

.