Логіка предикатів. 
Кванторі

Реферат на тему:

Логiка предикатiв. Квантори

Як з елементарних висловлень за допомогою логiчних операцiй можна утворювати складенi висловлення, так i, використовуючи простi (елементарнi) предикати i логiчнi зв’язки (операцiї), можна будувати складенi предикати або предикатнi формули.

Як правило, основнi логiчнi операцiї означають для предикатiв, що заданi на однiй i тiй самiй предметнiй областi M i залежать вiд тих самих змiнних.

Нехай P (x1,x2,…, xn) i Q (x1,x2,…, xn) — n-мiснi предикати на множинi M.

Кон’юнкцiєю P (x1,x2,…, xn)1,x2,…, xn) називають предикат R (x1,x2,…, xn), який набуває значення 1 на тих i тiльки тих наборах значень термiв, на яких обидва предикати P (x1,x2,…, xn) i Q (x1,x2,…, xn) дорiвнюють 1.

Очевидно, що область iстинностi предиката R (x1,x2,…, xn) = P (x1,x2,…, xn)1,x2,…, xn) збiгається з теоретико-множинним перетином областей iстинностi предикатiв P (x1,x2,…, xn) i Q (x1,x2,…, xn).

Диз’юнкцiєю P (x1,x2,…, xn)1,x2,…, xn) називають предикат T (x1,x2,…, xn), який набуває значення 1 на тих i тiльки тих наборах значень термiв, на яких або предикат P (x1,x2,…, xn), або предикат Q (x1,x2,…, xn) дорiвнює 1.

Областю iстинностi предиката T (x1,x2,…, xn) буде об'єднання областей iстинностi предикатiв P (x1,x2,…, xn) i Q (x1,x2,…, xn).

Запереченням 1, x2,…, xn) предиката P (x1,x2,…, xn) називають предикат S (x1,x2,…, xn), який дорiвнює 1 на тих i лише тих значеннях термiв, на яких предикат P (x1,x2,…, xn) дорiвнює 0.

Область iстинностi предиката S (x1,x2,…, xn) = 1, x2,…, xn) — це доповнення (до множини Mn) областi iстинностi предиката P (x1,x2,…, xn).

Аналогiчним чином вводять й iншi логiчнi операцiї тощо. Як правило, кожнiй iз цих операцiй вiдповiдає певна теоретико-множинна операцiя над областями iстинностi предикатiв-операндiв. Неважко узагальнити означення всiх введених операцiй для предикатiв P (x1,x2,…, xn) i Q (y1,y2,…, ym), що залежать вiд рiзних змiнних i мають рiзну мiснiсть.

Знаючи, як виконуються окремi операцiї, можна утворювати вирази або формули, операндами яких є предикати. Наприклад розглянемо формулу P1(x)x, z) y, x, z)), що задає деякий предикат Q (x, y, z). Значення предиката Q неважко обчислити для будь-якого набору значень його термiв x, y, z, виходячи зi значень предикатiв P1, P2, P3 на цьому наборi.

Квантори

Додатково в логiцi предикатiв використовують двi спецiальнi операцiї, якi називають кванторами. За допомогою цих операцiй, по-перше, пропозицiйнi форми можна перетворювати у висловлення, i по-друге, теорiя предикатiв стає значно гнучкiшою, глибшою i багатшою, нiж теорiя висловлень. Саме тому логiку предикатiв iнодi називають теорiєю квантифiкацiї.

Найпопулярнiшими i найбiльш часто вживаними виразами у математицi є фрази або формулювання типу «для всiх» i «iснує». Вони входять до бiльшостi промiжних i остаточних тверджень, висновкiв, лем або теорем при проведеннi математичних мiркувань або доведень.

Наприклад: «для всiх дiйсних чисел x виконується рiвнiсть sin2x+cos2x = 1», «для заданих натуральних a i b завжди iснує натуральне число d, яке є бiльшим від чисел a i b», «для всiх натуральних n справедливе твердження: якщо n дiлиться нацiло на 6 i на 15, то n дiлиться на 30» тощо.

Поняття, що вiдповiдає словам «для всiх», лежить в основi квантора загальностi, який означається таким чином.

Нехай P (x) — предикат на множинi M. Тодi квантор загальностi — це операцiя, що ставить у вiдповiднiсть P (x) висловлення «для всiх x з M P (x) iстинно». Для позначення цiєї операцiї використовують знак який i називають квантором загальностi. Останнє висловлення у математичнiй логiцi записують так: x) (читається: «для всiх x P вiд x»).

Iснує й iнший квантор, що є у певному смислi двоїстим до квантора загальностi i називається квантором iснування. Позначається вiн знаком Якщо Q (x) — деякий предикат на множинi M, то висловлення «існує в множинi M елемент x такий, що Q (x) iстинно» записується у виглядi x) i читається скороченно «iснує такий x, що Q вiд x» або «є такий x, що Q вiд x».

Походження обраних позначень пояснюється тим, що символ перевернутою прописною першою лiтерою нiмецького слова «alle» або англiйського слова «all», що перекладається «усi». А символ iдповiдає першiй лiтерi слiв «existieren» (нiм.) або «exist» (англ.) — iснувати.

Вираз читають також як «всi x», «для кожного x», «для довiльного x», «для будь-якого x», а вираз як «деякий x», «для деякого x», «знайдеться такий x» тощо.

Зазначимо також, що, окрiм введених символiчних позначень кванторiв, використовують й iншi позначення. Так, замiсть нодi пишуть, (x) або, а замiсть вiдповiдно —, (Ex) або /p>

Приклад 5.4. Розглянемо два бінарні предикати на множині натуральних чисел: предикат «x менше y» і предикат «x ділить y». Перший з них будемо записувати у традиційній формі - x<y, а другий у вигляді x| y. Тоді неважко переконатись, що висловлення <y) і | y) є істинними, а висловлення <y) і - | y) хибні. Істинними будуть, наприклад, висловлення <x2-x+1), x|1)lt-x))), x<1)lt-2)), (2| x) x)) x)), а висловлення <x2-x+1), x|1)lt-x))), x<1)lt-2)), (2| x) x)) x)) — хибні.

Важливу роль у логiцi предикатiв вiдiграє поняття областi дiї квантора, пiд якою розумiтимемо той вираз, до якого вiдноситься цей квантор. Область дiї квантора позначається за допомогою дужок. Лiва дужка, що вiдповiдає початку областi дiї, записується безпосередньо пiсля кванторної змiнної даного квантора, а вiдповiдна їй права дужка означає закiнчення областi дiї цього квантора. Там, де це не викликає невизначенностi, дужки можна опускати i замiсть (x)) або (x)) писати вiдповiдно x) або x).

Приклад 5.5. В усiх нижченаведених кванторних виразах область дiї квантора пiдкреслено.

3|x)x)), |x)x), x2<9)lt-3)), 2<9)lt-3).

Перший і другий вирази, а також третій і четвертий відрізняються не лише областю дії квантора. Відмінність між ними є більш істотною, про що слід сказати окремо.

Розглянемо на унiверсальнiй множинi R всiх дiйсних чисел два вирази x2<10 i 2<10). Перший з них є предикатом, що залежить вiд змiнної x. Замiсть x у нього можна пiдставляти рiзнi дiйснi значення i отримувати певнi висловлення (iстиннi чи хибнi). Та сама предметна змiнна x входить у другий вираз iнакше. Якщо замiсть неї пiдставити будь-яке дiйсне значення, дiстанемо беззмiстовний вираз.

Нехай P (x) — деякий предикат на M. Перехiд вiд P (x) до x) або x) називається зв’язуванням змiнної x. Iншi назви — навiшування квантора на змiнну x (або на предикат P (x)), або квантифiкацiя змiнної x.

Змiнна x, на яку навiшено квантор, називається зв’язаною, у противному разi змiнна x називається вiльною.

Зв’язана змiнна, як було продемонстровано вище, вже не є змiнною у класичному розумiннi цього поняття. Вона потрiбна лише для iдентифiкацiї терма, вiд якого залежить вiдповiдна пропозицiйна форма. Вираз x) не залежить вiд x i при фiксованих P i M має певне значення. Звiдси, зокрема, випливає, що можна здiйснювати перейменування зв’язаної змiнної (тобто перехiд вiд x) до t)) i воно не змiнює значення iстинностi виразу.

Зауважимо, що розглядувана ситуацiя не є винятком і доволі часто зустрічається в інших розділах математики. Наприклад, у виразах $$\underset{a}{\overset{b}{\mathrm{`o}}}$$ f (x)dx, $$\underset{x->c}{\text{lim}}$$ x2 i $$\underset{j=k}{\overset{n}{S}}$$ dj параметри a, b, c, k i n — є змінними, замість яких можна пiдставляти певнi значення, а параметри x i j — це зв’язанi змiннi, пiдстановка замiсть яких будь-яких значень не має жодного смислу.

Навiшувати квантори можна й на багатомiснi предикати. Наприклад, застосовуючи квантори о змiнних x i y двомiсного предиката A (x, y), отримаємо чотири рiзнi одномiснi предикати x, y), x, y), x, y) i x, y). У перших двох змiнна x є зв’язаною, а змiнна y — вiльною, а у двох останнiх — навпаки.

Вираз x, y) (читається «для всiх x, A вiд x i y») є одномiсним предикатом B (y). Вiн є iстинним для тих i тiльки тих bдля яких одномiсний предикат A (x, b) є iстинним для всiх x з M.

Приклад 5.6. Розглянемо двомiсний предикат A (x, y), визначений на множинi M = {a1,a2,a3,a4} за допомогою таблицi 5.5.

Таблиця 5.5.

Таблицi iстинностi для чотирьох вiдповiдних одномiсних предикатiв, що отримуються з A (x, y) шляхом навiшування одного квантора, наведенi у таблицi 5.6.

Таблиця 5.6.

У всiх чотирьох випадках до вiльної змiнної, що залишилась, можна застосовувати один з кванторiв i, зв’язавши таким чином обидвi змiннi, перетворити вiдповiднi предикати у висловлення.

Для предиката з останнього прикладу отримаємо такi висловлення:

x, y)) = 0, x, y)) = 0,.

x, y)) = 1, x, y)) = 1,.

x, y)) = 1, x, y)) = 0,.

x, y)) = 0, x, y)) = 1.

Неважко переконатись, що висловлення, якi мiстять однаковi квантори, рiвносильнi. Обидва висловлення x, y)) і x, y)) є iстинними тодi i тiльки тодi, коли предикат A (x, y) приймає значення 1 на всiх кортежах значень (a, b) з M2. Висловлення x, y)) i x, y)) iстиннi тодi i тiльки тодi, коли iснує принаймнi одна пара (a, b) така, що A (a, b) = 1.

У той же час усi чотири висловлення з рiзнойменними кванторами є, взагалi кажучи, не рiвносильними. Особливо слiд пiдкреслити, що суттєвим є порядок слiдування рiзнойменних кванторiв. Висловлення x, y)) i x, y)), взагалi кажучи, нерiвносильнi. Наприклад, у термiнах табличного задання предиката A (x, y), iстиннiсть першого висловлення x, y)) означає, що кожен рядок таблицi iстинностi мiстить принаймнi одну одиницю. А друге висловлення x, y)), iстинне тодi i лише тодi, коли у таблицi є стовпчик, що складається тiльки з одиниць.

Неважко поширити всi наведенi вище мiркування i висновки на предикати бiльшої арностi. Навiшування одного квантора завжди зменшує число вiльних змiнних i арнiсть предиката на одиницю. Застосування кванторiв до всiх змiнних предиката перетворює його у висловлення (iнодi таку предикатну формулу називають замкненою формулою). Порядок слiдування рiзнойменних кванторiв у ф^iрмулi є суттєвим.