Деякі типи задач на подільність цілих чисел та способи їх розв'язування

Курсова робота з методики навчання математики

" Деякі типи задач на подільність цілих чисел та способи їх розв’язування"

Чернігів — 2011

Вступ

Говорячи про важливу роль теорії подільності чисел в математичному вихованні, А.І. Маркушевич зауважив, що ця теорія є одним з небагатьох розділів математичної науки в (даному випадку теорія чисел), з яким можна без будь-яких скорочень і пропусків, зі всіма необхідними кінцевими визначеннями і доведеннями ознайомити учнів. Цей розділ — логічно стрункий і завершений, розвертаючись ланцюжком невеликої кількості достатньо простих теорем, дає можливість підвести учнів до розуміння теореми Евкліда про існування як завгодно великих простих чисел, алгоритму Ератосфена побудови таблиці простих чисел, алгоритму Евкліда для відшукання найбільшого спільного дільника і застосування цих знань до розв’язування в цілих числах лінійних рівнянь, і нарешті, до розуміння теореми про єдність розкладу цілого числа на прості множники. Вказані твердження і методи є фундаментом теорії чисел і в той же ж самий час є найпростішими доступними учню прикладами теорем існування і єдності і прикладами найпростіших алгоритмів без чого немислимо створити правильне уявлення про математичну науку.

Як бачимо, вивчення теоретико-числового матеріалу в школі має широкі і важливі задачі і тому дослідження питань методики його вивчення є актуальним.

Історія вітчизняної і зарубіжної методики навчання математики свідчить про те, що проблеми вивчення питань подільності чисел завжди розроблялися вчителями і методистами. В певному об'ємі ці питання входили у всі відомі програми і посібники з арифметики. Проблеми змісту і методики вивчення питань подільності чисел в середній школі розглядалися у ряді педагогічних досліджень.

На сучасному етапі перебудови шкільної математики освіти перед методистами і вчителями стоїть складне завдання надання поєднання нових понять і методів навчання з традиційним навчанням матеріалу, що включає і питання теорії подільності чисел. В нових навчальних посібниках для 6 класів (Возняк, Мерзляк, Бевз, Янченко) застосовується теоретико-множинний підхід до викладу питань подільності чисел. На прикладах простих і очевидних тверджень про подільність чисел можна ввести поняття «теорема» і «доведення теореми», а також сформувати уявлення про необхідні і достатні умови. У 7 класі в темі «Тотожні перетворення многочленів» учням пропонується розглянути значне число тверджень пов’язаних з подільністю чисел.

Основними методами дослідження є:

· теоретичний аналіз психолого-педагогічної, навчально-методичної та науково-дослідної літератури з проблеми дослідження;

· аналіз діючих програм, підручників і навчальних посібників;

· вивчення реального стану знань і умінь учнів на протязі роботи;

· аналіз результатів контрольних робіт, тощо;

· педагогічне спостереження;

· бесіди з учнями, вчителями.

Значущість роботи полягає у розробці уроків на тему «Подільність чисел», підборі системи задач та прикладів для проведення відповідних уроків, вимог до засвоєння учнями відповідного матеріалу.

На основі цього можна сформувати проблему дослідження і обґрунтування методики викладання теми «Подільність чисел».

Об'єктом дослідження даної роботи є процес навчання математики в основній школі.

Предметом дослідження є вивчення подільності та її застосування у загальноосвітній школі.

Мета дослідження полягає у обґрунтуванні вимог до математичної підготовки учнів, розробці методики викладу матеріалу теми «Подільність чисел».

Для досягнення мети необхідно:

ь на основі аналізу психолого-педагогічної, науково-методичної літератури та педагогічного досвіду з’ясувати стан методики викладання теми «Подільність чисел»;

ь виявити психолого-педагогічні особливості вивчення теми.

Моя курсова робота складається з двох розділів:

1 розділ — теоретична частина, в якій викладено шкільний матеріал по темі «Подільність чисел».

2 розділ — практична частина, в якій представлено приклади розв’язування вправ, а також задачі без розв’язання для самостійного розв’язування.

1. Теоретичні основи дослідження

1.1 Із історії розвитку подільності

Протягом більше 25 століть задачі теорії чисел були улюбленою областю дослідження визначних математиків і багатьох тисяч дилетантів. В теорії чисел значне місце відводиться теорії подільності цілих чисел, зокрема цілих додатних натуральних чисел, висновки і результати вивчення якої поширюються і на цілі від'ємні числа.

Ще в Стародавній Греції, в так званій піфагорійській школі (6 ст. до н.е.), вивчалась подільність цілих чисел. Були відокремлені окремі підкласи цілих чисел, як наприклад, прості числа, складені, квадратні і тому подібні; вивчалася структура так званих досконалих (число а, рівне сумі своїх істинних дільників, тобто натуральних дільників, відмінних від самого а, називається досконалим) і дружніх чисел (якщо для двох чисел, а і b сума істинних дільників кожного з них дорівнює іншому, то такі числа називаються дружніми). Було дано розвиток у цілих числах невизначеного рівняння (іншими словами, був вказаний рецепт побудови прямокутних трикутників з цілочисельними сторонами).

Евклід у своїх «Началах» чи «Елементах» дав систематичну побудову теорії подільності. Він вперше запропонував теорему про однозначність розкладу натурального числа на прості множники, яка відіграє основну роль у теорії подільності цілих чисел, і з її допомогою побудував арифметику раціональних чисел. Евкліду були відомі чотири досконалі числа: 6,28,496,8128. Він довів теорему, що N= є досконалим, якщо є простим.

Математики приділяють багато уваги простим числам. Були спроби дізнатися по зовнішньому вигляду просте чи складене це число, а далі вже розглядалась і їх подільність.

Які ж підстави для того, щоб так цікавитись ним?

Насамперед це тому, що будь-яке натуральне число, А можна подати у вигляді:

де прості числа, — натуральні числа.

Для кожного числа таке подання єдине.

Це твердження називається основною теоремою арифметики.

Прості числа можна назвати «елементарними цеглинами», з яких «будуються» інші числа.

Розглянемо деякі проблеми, що стосуються простих чисел.

Ще у 3 ст. до н.е. видатний давньогрецький учений Евклід довів, що простих чисел безліч. Інший давньогрецький учений Ератосфен винайшов спосіб, користуючись яким можна знаходити прості числа.

Цей спосіб назвали «решето Ератосфена» турбує запитання: чи існує загальна формула для знаходження усіх простих чисел? Остаточної відповіді вчені ще не мають. Але цікаві пошуки в цьому напрямі велися, і варто назвати прізвища математиків, які займалися даною проблемою.

Великий французький учений Марен Мерсенн (1588−1648) цікавився числами виду:. Прості числа, які можна знайти за допомогою цієї формули, називаються числами Мерсенна. Наприклад, такими числами є 3,7,31,127… Проте для n=11 маємо: — складне число, тобто формула Мерсенна описує не тільки прості, а й складні числа.

Леонардо Ейлеру (1707−1783) вдалося довести, що числу — просте.

У 1852 р. Пафнутій Чебишов (1821−1894) довів, що для будь-якого натурального числа n>3 між числами n і 2n-2 завжди міститься просте число.

Наприклад, між числами n=11, 2n-2=20 знаходяться такі прості числа: 13,17,19.

1.2 Основні поняття, теореми, ознаки подільності натуральних чисел

подільність число розв’язання методика

1.2.1 Означення і властивості подільності чисел

У курсі «Алгебри і теорії чисел» вищих навчальних закладів вивчається розділ про подільність цілих чисел. Всі теореми, означення для легшого вигляду теорій сформульовано для цілих додатних натуральних чисел і переносяться на цілі від'ємні числа. Всі теореми доводяться, але деякі доведення громіздкі і вимагають багато часу і місця для їх відтворення. Тому у курсі математики середньої школи, а далі алгебри використовують багато тверджень, або зі спрощеним доведенням, або взагалі без нього (у класах без поглибленого вивчення математики).

Введемо означення подільності і деякі властивості подільності.

Якщо з двох цілих натуральних чисел одне ділиться на інше, то говорять, що для цих чисел виконується відношення подільності.

Означення 1. Говорять, що ціле невід'ємне число ділиться на ціле невід'ємне b, якщо існує таке ціле невід ємне число q, що [17]

Якщо для чисел невід'ємних і b виконується рівність, то b є дільником числа — кратне числу b.

1) Якщо, то ««=1, бо згідно означення існує таке число q, що (причому q — довільне ціле невід'ємне число). Але «» не має смислу, бо в такому разі однозначно визначити частку неможна.

2) Якщо, то ««=0

Справді не існує такого числа q, щоб виконувалась рівність, бо, але .

3) Якщо, то ««=1, бо існує, що

Отже, нуль ділиться на будь-яке ціле невід'ємне число.

Множина D всіх дільників числа скінченна:

і

Множина К усіх кратних числа нескінченна:

Властивості відношення подільності:

1) Рефлексивність :

бо, тобто [3]

2) Антисиметричність :

і. Тому Зауваження: якщо [3]

3) Транзитивність

. Тому

[3]

Подільність суми, різниці та добутку

Теорема 1 (достатня умова подільності суми). Якщо кожний додаток ділиться на натуральне число n, то й його сума ділиться на це число.

Доведення. [25]

Тому

Теорему доведено.

Зауваження. Обернене твердження невірне!

Тому подільність суми не є достатньою умовою для подільності доданків.

Теорема 2 (достатня умова подільності різниці). Якщо ділиться на n і, то теж ділиться на n. [14]

Теорема 3 (необхідна й достатня умова подільності суми). Якщо однин з двох доданків ділиться на дане число, то щоб його сума ділилася на це число необхідно й достатньо, щоб і другий доданок ділився на це число. [17]

Доведення.

1) Достатність.

.Тому

2) Необхідність.

Теорему доведено.

Теорема 4 (достатня умова подільності добутку)..Якщо один з множників ділиться на натуральне число n, то й добуток ділиться на це число. [17]

Доведення.

Теорему доведено.

Наслідок: якщо і то

1.2.2 Ознаки подільності чисел

Ознаки подільності на 2 і 5

Для того, щоб число ділилося на 2 (на 5), необхідно й достатньо, щоб на 2 (на 5) ділилося число його одиниць. [15]

Доведення.

Запишемо число? у вигляді:

У кожному з цих доданків є множник 10, який ділиться на 2 і на 5, отже і кожен доданок ділиться на 2 і на 5 (теорема 4). Тоді й сума буде ділитися на 2 і на 5 (теорема 1). Отже, щоб сума ділилася на 2 або на 5, необхідно й достатньо, щоб і другий доданок ділився відповідно на 2 або на 5 (теорема 3).

Ознаку доведено.

Наслідок: для того щоб число? ділилося на 2 (на 5) необхідно й достатньо, щоб воно закінчувалося однією з цифр 0, 2, 4, 6, 8 (0, 5).

Ознаки подільності на 4 і 25

Для того щоб число ділилося на 4 (на 25) необхідно й достатньо, щоб на 4 (на 25) ділилося число, утворене його двома останніми цифрами. [15]

Доведення.

Число запишемо у вигляді суми двох доданків:. Перший доданок ділиться як на 4, так і на 25. Отже, число? як сума двох доданків ділиться на 4 (на 25) тоді і тільки тоді, коли на 4 (на 25) ділиться число утворене двома останніми цифрами числа .

Ознаку доведено.

Ознака подільності на 3 і 9

Для того щоб число ділилося на 3 (на 9) необхідно й достатньо, щоб на 3 (на 9) ділилося сума цифр цього числа. [15]

Доведення.

Запишемо число у вигляді: Оскільки то

Перші доданки суми діляться як на 3, так і на 9. Отже, для того щоб число? ділилося на 3 або на 9, необхідно й достатньо, щоб сума однозначних чисел, виражених його цифрами (сума цифр) ділилася на 3 або 9.

Ознаку доведено.

Ознака подільності на 6

Для того щоб число ділилося на 6 необхідно й достатньо, щоб воно ділилося на 2 і на 3. [15]

Доведення.

1. Необхідність. Дано:

Довести:

1)

2) (транзитивність відношення подільності)

2. Достатність. Дано:

Довести:

— спільне кратне чисел 2 і 3 Але. Отже .

Ознаку доведено.

Ознака подільності на 11

Число ділиться на 11 тоді й тільки тоді, коли різниця між сумою цифр цього числа, які розміщені на парних місцях і сумою цифр, що розміщені на непарних місцях, ділиться на 11. [15]

Доведення.

Покажемо, що при довільному натуральному ѕ

(1)

Справді, при де .

Припустимо, що при Тоді при

тобто де. Отже, на основі принципу математичної індукції, рівність (1) справедлива при довільному натуральному ѕ. Тому

де

Отже, Ѕ дорівнює різниці між сумою цифр числа ?, які стоять на непарних місцях і сумою цифр цього самого числа, що стоять на парних місцях.

Отже робимо висновок: число? ділиться на 11 тоді й тільки тоді, коли різниця між сумою цифр цього числа, які розміщені на парних місцях і сумою цифр, що розміщені на непарних місцях, ділиться на 11.

Ознаку доведено.

Ознака подільності на 7

Міркуючи як і раніше, встановлюємо:

Ці рівність можна дістати в результаті безпосередніх обчислень або комбінуючи вже відомі результати. Іноді роблять інакше: якщо відомо, що, то для того щоб знайти подають у вигляді отже,, де Тоді? можна записати так: де Звідси випливає висновок: число ділиться на 7 тоді і тільки тоді, коли на 7 ділиться число:

Ознаку доведено.

1.2.3 Основні теореми про прості числа

Спостерігаючи за подільністю натуральних чисел, було помічено, що різні числа мають різну кількість дільників.

Означення 2. Натуральне число, яке ділиться на одиницю і само на себе називається простим. Натуральне число, яке має більше двох дільників, називається складеним. [17]

Теорема 5. Найменший відмінний від 1 дільник числа є простим числом. [25]

Доведення.

Нехай — найменший дільник

Припустимо, що р — складене, тоді тобто Маємо, А це суперечить умові, що р — найменший дільник. Отже, р — просте число.

Теорему доведено.

Теорема 6. Будь-яке натуральне число ділиться принаймні на одне просте число. [25]

Теорема 7. Якщо число складне, то найменший простий дільник числа не перевищує [25]

Доведення. Нехай р — найменший простий дільник числа. Тоді де

Теорему доведено.

Ця теорема допомагає виявити прості і складені числа: якщо число? не ділиться на жодне просте число, то — просте число.

Теорема Евкліда. Не існує найбільшого натурального простого числа (множина простих чисел нескінченна). [3]

Доведення.

Припустимо, що існує найбільше просте число р, тобто множина усіх простих чисел скінченна:. Розглянемо число. Це число не ділиться на жодне з чисел 2,3,5,…, р (теорема про подільність суми — необхідна й достатня умова). Тоді n або само просте, або ділиться на просте число, яке не належить множині. Отже, існують прості числа, більші за р.

Теорему доведено.

Основна теорема арифметики натуральних чисел. Будь-яке натуральне число більше одиниці може бути представлене у вигляді добутку простих чисел і таке представлення є єдиним з точністю до порядку множників. [3]

Доведення.

Якщо n — просте, то твердження теореми виконується.

1) Існування розкладу.

Можливість існування розкладу натурального числа може бути доведена від супротивного. Припустимо, що існують натуральні числа, які не можуть бути розкладені лише на прості множники. Тоді повинно існувати найменше з таких чисел, позначимо його n. Це число не може бути одиницею в зв’язку з представленням одиниці як порожнього добутку, а також не може бути простим числом, бо просте число вже є результатом добутку одного простого числа, самого себе. Таким чином, n повинно бути складеним числом, яке, в свою чергу, можна представити у вигляді n = ab, де обидва a та b є натуральними числами меншими за n. Далі, тому що n є найменшим з чисел, яке не можна розкласти на прості множники, доходимо висновку, що множники a та b мають розкладатись в добутки простих чисел. Але, n = ab і в такому разі само повинно бути добутком виключно простих чисел. Отримуємо протиріччя.

2) Єдність розкладу.

Існує багато доведень єдності розкладу натуральних чисел, які відрізняються рівнями складності та загальності, але і тут можна скористатись доведенням від протилежного. Припустимо, що існують два розклади числа n на прості множники: .

Оскільки p₁ є дільником лівої частини рівності, то він також повинен бути і дільником одного з множників q_k в правій частині. Але q_k є простим числом, а отже повинна бути справедливою тотожність p₁ = q_k. Скоротивши рівність на спільний множник p₁ = q_k, проведемо аналогічне зіставлення для множника p₂, який теж буде дорівнювати одному з q_k, що залишились після спрощення. В результаті, після скорочення всіх множників p_і в лівій стороні рівності отримуємо 1. З іншого боку, через те що всі q_k також є простими числами, праворуч також отримаємо одиницю. Отже, числа p_і та q_k попарно рівні, що доводить тотожність двох розкладів.

Теорему доведено.

1.2.4 Найбільший спільний дільник і способи його знаходження

Означення 3. Дільником числа називають таке число, на яке дане число ділиться без остачі (націло). [17]

Наприклад, число 9 є дільником числа 81, а число 13 — дільником числа 26.

Означення 4. Найбільшим спільним дільником (НСД) декількох чисел називають найбільше число, на яке кожне з даних чисел ділиться без остачі. [17]

Для знаходження найбільшого спільного дільника чисел, а і b (НСД (а; b)) потрібно:

1. Знайти всі дільники числа, а і всі дільники числа b

2. Знайти спільні дільники чисел, а і b, тобто дільники, які є дільниками кожного з чисел, а і b

3. Обчислити добуток всіх спільних дільників, беручи кожен з множників з найменшим показником.

Результат записати у вигляді НСД (а; b)

Означення 5. Взаємно простими числами називаються числа, які не мають інших спільних дільників крім одиниці. [17]

Другий спосіб знаходження НСД пов’язаний з давньогрецьким математиком Евклідом, який виклав у 7 книзі своїх «Начал». Цей спосіб легший, доступніший і більше подобається дітям.

Знаходження НСД чисел розкладанням на прості множники нерідко буває занадто громіздким. Існує спосіб, який дозволяє з меншими труднощами знаходити НСД.

Теорема 8. Якщо, то НСД ([3]

Теорема 9. Якщо то НСД (НСД (. [3]

Доведення.

Нехай — множина спільних дільників і b. B-множина спільних дільників b і r.

1)

Отже, (теорема про подільність різниці).

Отже,

2)

. Отже, (теорема про подільність суми).

. Отже, .

(1), (2) (означення рівних множин), тобто, множини спільних дільників співпадають, отже, рівними є їх найбільші елементи:

НСД ()=НСД ().

Теорему доведено.

Доведення твердження дозволяє знаходження НСД () замінити на знаходження НСД менших чисел, що спрощує обчислення. Причому таку заміну можна здійснювати неодноразово.

Алгоритм Евкліда:

Алгоритм Евкліда ітеративний, тобто, пошук розв’язку відбувається за декілька кроків; вихідні дані попереднього кроку служать вхідними для наступного. Нехай k — ціле число, що дорівнює кількості виконаних кроків, починаючи з 0. Кожен крок починається з двома невід'ємними залишками r_k?1 та r_k?2. Оскільки алгоритм гарантує, що залишки постійно зменшуватимуться на кожному кроці, r_k?1 менше за попердній залишок r_k?2. Задачею кроку k є пошук частки q_k та залишку r_k, що задовільняють рівнянню:

r_k?2 = q_k r_k?1 + r_k

де r_k <� r_k?1. Іншими словами, добутки меншого числа r_k?1 віднімають від більшого числа r_k?2 доки залишок буде менше за r_k?1. На початковому кроці (k = 0), залишки r_?2 та r_?1 дорівнюють a та b, числам, для яких шукають НСД. На наступному кроці (k = 1), залишки дорівнюють b та залишку r₀ першого кроку, і так далі. Таким чином, алгоритм можна записати як послідовність рівнянь

a = q₀ b + r₀

b = q₁ r₀ + r₁

r₀ = q₂ r₁ + r₂

r₁ = q₃ r₂ + r₃

…

Якщо a менше за b, першим кроком алгоритм переставляє числа. Наприклад, якщо a <� b, початкова частка q₀ дорівнює нулю, а залишок r₀ дорівнює a. Тому r_k менше за попередній залишок r_k?1 для всіх k? 0. Оскільки залишки зменшуються на кожному кроці але не можуть бути від'ємними, деякий залишок r_N дорівнюватиме нулю, і тоді алгоритм зупиняється Останній ненульовий залишок r_N?1 і є найбільшим спільним дільником чисел a та b. Число N має бути скінченним, оскільки існує лише скінченна кількість цілих чисел між початковим залишком r₀ та нулем.

Доведення.

Вірність алгоритму Евкліда можна довести за два кроки. На першому кроці доводять, що останній ненульовий залишок r_N?1 ділить a та b. Оскільки він є спільним дільником, він має бути не більше або дорівнювати найбільшому спільному дільникові g. На другому кроці, доводять, що будь-який спільний дільник a та b, включаючи g, має ділити r_N?1; таким чином, g має бути менше або дорівнювати r_N?1. Обидва припущення можуть бути дійсними водночас якщо r_N?1 = g. Аби показати, що r_N?1 ділить a та b (перший крок), r_N?1 ділить попередника r_N?2

r_N?2 = q_N r_N?1

оскільки останній залишок r_N дорівнює нулю. r_N?1 також ділить наступного попередника r_N?3 r_N?3 = q_N?1 r_N?2 + r_N?1

оскільки ділить обидва значення з правої частини рівняння. Аналогічно, r_N?1 ділить всі попередні залишки, разом з a та b. Жоден з попередніх залишків r_N?2, r_N?3, і далі, не ділить a та b, оскільки лишається залишок від ділення. Оскільки r_N?1 спільний дільник a та b, r_N?1? g. На наступному кроці, довільне натуральне число c, що ділить a та b (іншими словами, будь-який спільний дільник a та b) ділить залишки r_k. За визначенням, a та b можна записати як добутки c: a = mc та b = nc, де m та n — натуральні числа. Таким чином, c ділить початковий залишок r₀, оскільки r₀ = a? q₀b = mc? q₀nc = (m? q₀n) c. Аналогічно, можна показати, що c також ділить наступні залишки r₁, r₂, і так далі. Таким чином, найбільший спільний дільник g має ділити r_N?1, звідки випливає, що g? r_N?1. Оскільки на першому кроці було показано зворотнє (r_N?1? g), виходить, що g = r_N?1. Звідси, g найбільший спільний дільник для всіх наступних пар: g = НСД (a, b) = НСД (b, r₀) = НСД (r₀, r₁) = … = НСД (r_N?2, r_N?1) = r_N?1, що й треба було довести. Теорему доведено.

Властивості НСД

1. Для будь-яких натуральних чисел і b існує єдиний НСД.

2. Якщо

3. Якщо, то НСД (, b)=b.

4. Частки від ділення чисел і b на їх НСД — числа взаємно прості.

Доведення.

Нехай НСД (, b)= b і .

Доведемо, що НСД (=1.

Припустимо супротивне, тобто НСД (=m>1. Тоді

Але d — найбільший спільний дільник. Одержали суперечність.

Властивість доведено.

1.2.5 Найменше спільне кратне чисел і способи його знаходження

Означення 6. Найменше спільне кратне. НСК двох цілих чисел a, b називаємо найменше натуральне число, яке є кратним обох цих чисел. Позначаємо НСК (a, b). Отже НСК (a, b) є найменшим натуральним числом, яке ділиться без залишку на обидва числа a, b.

Є різні способи знаходження спільного кратного кількох чисел.

У школі дається такий спосіб:

Для знаходження спільного кратного двох чисел треба:

1) розкласти дані числа на прості множники;

2) доповнити розклад одного з них тими множниками розкладу другого числа, яких немає в розкладі першого;

3) обчислити добуток знайдених множників.

Для доведення другого способу будуть потрібні такі теореми:

Теорема 10. Частки від ділення чисел a і b на їх найбільший спільний дільник d взаємно прості. [3]

Теорема 11. Якщо добуток ab ділиться на с, причому b і c взаємно прості, то? ділиться на с. [3]

Теорема 12. Найменше спільне кратне натуральних чисел a, b дорівнюють добутку цих чисел, поділеному на їх найбільший спільний дільник, тобто

[3]

Доведення.

Нехай? — будь-яке спільне кратне натуральне чисел a і b. Оскільки М ділиться на ?, то, де — деяке натуральне число. Але М ділиться також і на b. Тому також є деяке натуральне число.

Позначимо найбільший спільний дільник НСД (?, b) чисел a і b через d.

Тоді, Оскільки є натуральне число і за теоремою 1 НСД ()=1, то за теоремою 2 k ділиться на, тобто де t — деяке натуральне число. З викладеного вище випливає, що Отже, доведено, що будь-яке спільне кратне M чисел і можна записати у цій формі, тобто його можна дістати з цієї формули при певному значенні t. Очевидно, що й, навпаки, кожне число M цього виду є спільним кратним чисел і. Отже, ця формула дає загальний вигляд усіх спільних кратних чисел і .

Найменше спільне кратне чисел НСК () чисел і дістанемо, очевидно, при

Отже, Що й треба було довести.

Теорему доведено.

Властивості НСК

1. Для будь-яких натуральних чисел і існує єдине НСК.

2. Якщо, то НСК () (НСК не менше більшого з даних чисел).

3. Якщо то НСК ()=

4. Кожне спільне кратне даних чисел і ділиться на НСК ()

Доведення Нехай НСК ()=, — довільне спільне кратне і .

(за теоремою про ділення з остачею).

(теорема про подільність різниці). Тобто — спільне кратне чисел і. Отже, і, тобто .

Властивість доведено.

5. НСД () є найменшим спільним кратним усіх спільних дільників чисел і .

2. Методика вивчення подільності цілих чисел в загальноосвітній школі

2.1 Місце теми «Подільність чисел» в шкільному курсі математики. Загальна характеристика методики викладання подільності цілих чисел

За чинною програмою цю тему передбачено вивчати в 6 класі безпосередньо перед її застосуванням під час вивчення звичайних дробів. Орієнтовно на її вивчення відводиться 14 годин.

За чинною програмою цю тему передбачено вивчати в 6 класі безпосередньо перед її застосуванням під час вивчення звичайних дробів. Це новий за змістом навчальний матеріал, оскільки містить деякі невідомі раніше учням поняття, багато з яких означають.

Першими вводять поняття «дільник числа» і «кратне числу». Слід мати на увазі, що термін «дільник» учні вже знають із початкової школи і він позначав компонент дії ділення. Потрібно наголосити, що терміни «дільник» і «дільник числа» мають зовсім різний зміст, вони позначають різні поняття.

Поняття «дільник числа» і «кратне числу» учні найкраще засвоюють, розв’язуючи вправи. Потрібно вимагати від них уміння чітко формулювати відповідні означення. Слід звернути увагу на те, що будь-яке натуральне число має скінченну кількість дільників, з яких є найбільший і найменший, і нескінченну кількість кратних, серед яких є найменше і немає найбільшого.

Запроваджуючи поняття «просте число», «складене число», потрібно звертати увагу на те, щоб учні правильно формулювали означення і в разі наявності помилки у сформульованому означення відразу наводили контр приклад. Практика свідчить, що в означені простого числа деякі учні забувають слово «лише» і формулюють означення так: натуральне число називають простим, якщо воно має два різних дільники. Контрприклад: число 6 має два різких дільники 2 і З, але не є простим. Під час введення понять «просте число», «складне число» зручно, щоб учні попередньо склали таблицю (табл. 1) і, аналізуючи її, помітили, що числа, які мають лише два різні дільники, а е й такі, в яких дільників більше ніж два.

Таблиця 1. Прості та складені числа

У зв’язку з вивченням питання «Таблиця простих чисел» є нагода розповісти учням цікаві факти з історії розвитку теорії чисел, згадати про видатних математиків, які зробили відкриття в цій галузі.

Відомо, що ознака подільності виражають необхідні й достатні умови. Тому природно було б під час їх формулювання вживати словосполучення «ті і тільки ті», або «тоді і тільки тоді», або «необхідно і достатньо». Проте з дидактичних міркувань доцільно ці ознаки сформулювати так, як це зроблено в підручнику, де відповідні твердження вказують на те, які числа діляться на певне число і які не діляться на це число.

Доцільно повідомити учням, що кожне складене число можна розкласти на прості множники. Цей факт і ознаки подільності чітко доводяться в теорії чисел.

2.2 Системи задач на подільність цілих чисел та методика навчання учнів їх розв’язувати

2.2.1 Задачі при розв’язуванні яких використовуються ознаки подільності чисел. Самостійна робота 1

Для розв’язування задач ми використаємо вивчені ознаки подільності чисел.

Рівень А

1) Знайдіть найбільше парне трицифрове число.

Розв’язання.

Найбільше трицифрове число 999 — непарне. Йому передує парне число 998. Отже, найбільше парне трицифрове число 998.

Відповідь. 998.

Покажіть, що сума двох непарний чисел — число парне.

2) Якщо число? і b непарні, то і, де n і m — деякі натуральні числа. Тоді, а це число парне.

3) Які з чисел 2,4,12,15,20,30,35,40,110 є дільниками числа 180?

Рівень В

4) Запишіть найбільше чотирицифрове число, яке кратне 3, але не кратне 9.

Розв’язання.

Найбільше чотирицифрове число 9999 — непарне. Воно ділиться і на 3 і на 9. Якщо це число зменшити на 3, то воно стане 9996 і буде кратне числу 3, але не кратне 9.

Відповідь. 9996.

5) Знайдіть серед чисел виду три числа, кратні 5.

Розв’язання.

Для того, щоб число виду ділилося на 5, необхідно, щоб остання цифра в записі цього числа була 0 або 5. Нехай ці числа закінчуються 0, тоді числу виду повинні закінчуватися на 9 і ділитися на 3.

Розглянемо деякі з них, що задовольняють першу вимогу.

9,19,29,39,40,59,69,…

Виберемо з них ті, що задовольняють і другу вимогу.

9,39,69,…

Отже, серед чисел виду на 5 діляться числа:

9+1=10, 39+1=40, 69+1=70.

Відповідь. 10; 40; 70.

6) Знайти найбільше число, дільниками якого є числа 3,5, і 7.

Рівень С

7) Маємо 7 жетонів з цифрами 1,2,3,4,5,6,7. Довести, що жодне з семизначних чисел, складених з тих жетонів, не діляться на інше.

Розв’язання.

Нехай? і b — семизначні числа, складені з жетонів. Припустимо, що? ділиться на b і. Отже, також ділиться на b. Зрозуміло, що. З іншого боку, ділиться на 9, а b не ділиться на 9. Тому ділиться на 9. Отримали протиріччя.

8) Знайдіть три числа, які мають тільки три дільника.

9) Знайдіть три числа, які мають тільки чотири дільника.

Самостійна робота 1

Рівень А

1. Запишіть по два тризначні числа, які:

а) діляться на 2; б) діляться на 5; в) діляться на 10;

г) діляться на 2, але не діляться на 5;

д) діляться на 5, але не діляться на 10;

е) діляться і на 2, і на 5.

2. Із чисел 34, 150, 727, 864, 8800, 1000, 3205, 23 158, 753 435 випишіть ті, які діляться на 2; на 5; на 10.

3. Допишіть праворуч до числа 28 таку цифру, щоб утворене число ділилося на 2; на 5; на 10.

4. Замість зірочки запишіть таку цифру, щоб число 127* було парним; непарним; ділилося на 5; на 10.

5. Чи ділиться добуток 518 375 * 436 833 * 385 144 на 2; на 5; на 10?

6. Чи ділиться сума 2126 + 3578 + 731 на 2; на 5; на 10?

7. Використовуючи цифри 0, 1,4, 5, 7, запишіть шість чотирицифрових чисел, кожне з яких не містить однакових цифр і два з яких діляться на 2, два — на 5, два — на 10.

8. Використовуючи цифри 0, 2, 6, 9, запишіть три чотирицифрових числа, кожне з яких не містить однакових цифр і перше з яких ділиться на 2, друге — на 5, третє - на 10.

Рівень В

1. Використовуючи кожну з цифр один раз, запишіть найменше натуральне число, яке ділиться на 2; на 5; на 10.

2. Використовуючи кожну з цифр один раз, запишіть найбільше натуральне число, яке:

а) ділиться на 2, але не ділиться на 10;

б) ділиться на 5, але не ділиться на 2.

3. Запишіть найменше чотирицифрове число, яке ділиться на 10 і сума цифр якого дорівнює 10.

4. Запишіть найбільше чотирицифрове число, яке ділиться на 10 і сума цифр якого дорівнює 11.

5. Випишіть усі натуральні числа, розміщені між числами 179 і 205, які діляться на 2, але не діляться на 5.

6. Дано ряд чисел 1, 2, 3,…, 99, 100. Скільки серед них є парних і скільки непарних? Скільки чисел ділиться на 5 і скільки на 10?

7. Чи правильне твердження:

а) якщо число ділиться на 10, то воно ділиться і на 2, і на 5;

б) якщо число ділиться на 5, то воно ділиться на 10;

8. Серед чисел 93, 105, 172, 308, 400, 1511, 2005, 31 510, 113 575, 5 347 300 назвіть ті, що діляться на 2; на 5; на 10.

2.2.2 Розкладання цілих чисел на прості множники

Щоб розв’язувати задачі з цього розділу, ми повинні вміти розкладати цілі числа на множники.

Рівень А

1) Розкласти число 210 на прості множники.

210 2 Проведемо праворуч від даного числа вертикальну риску і

105 3 знайдемо перший його найменший дільник. Це буде 2.

35 5 Поділимо 210 на 2 і запишемо частку 105 ліворуч від риски

7 7 під даним числом. Знайдемо тепер найменший дільник для

1 105, поділимо на нього це число, а частку 35 запишемо знову ліворуч. Наступні дії виконуємо так само. Отже, ми розклали наше число на прості множники.

2) Чи можна розкласти на прості множники число 1?

Розв’язання.

Не можна, бо кожне просте число більше від 1, а добуток чисел, кожне з них більше за 1, не може дорівнювати 1.

Відповідь. Не можна.

3) Яке найменше трицифрове число можна розкласти на два однакові прості множники?

Розв’язання.

7*7=49-число не трицифрове, 11*11=121-трицифрове. Отже, шукане число дорівнює 121.

Відповідь. 121.

Рівень В

4) Знайти всі дільники числа 126

Розв’язання.

Розкладемо число 126 на прості множники:

126=2*3*3*7

Дільниками числа 126 є: 1, прості числа 2,3,7 в одержаному розкладі та всі можливі добутки цих чисел, тобто:

1; 2; 3; 7; 2*3; 2*7; 3*3; 3*7; 2*3*3; 2*3*7; 3*3*7; 2*3*3*7.

Отже, дільниками числа 126 є: 1,2,3,7,6,14,9,21,18,42,63,126.

Відповідь. 1,2,3,7,6,14,9,21,18,42,63,126.

5) Розкласти на прості множники: 65 і 84.

Розв’язання.

65 5 84 2

13 13 42 2

1 21 3

65=5*13 7 7

6) На скільки одиниць те число, яке розкладається на множники 2,5,9 і 11, більше від того числа, що розкладається на доданки 2,5,9 і 11?

Рівень С

7) Чи може периметр прямокутника, довжини сторін якого виражається натуральними числами, бути простим числом? Чому?

Розв’язання.

Периметр прямокутника знаходиться за формулою, де? і b довжини сторін прямокутника. Отже, периметр прямокутника — парне число, тому він не може бути простим числом. Єдине пране просте число — це 2.

Відповідь. Не може.

7) Із цифр 3,4,5,6 складіть усі трицифрові числа, які діляться на 15.

8) Замініть зірочки такими цифрами, щоб рівність була правильною:

а); б)

Самостійна робота № 2

Рівень А

1. Розкладіть на прості множники числа:

а) 28,35,56,64,67; 6) 120,165,459,2000,17 787.

2. Чи ділиться число c= 23 — 3 * 163 на 2; на 6; на 12?

3. Чи ділиться число c = 23 * З3 * 52 на 7 на 5; на 6; на 16; на 35?

4. Знайдіть усі дільники числа n, якщо:

а) n = 3−7 11; б) n = 22−17.

5. Знайдіть усі дільники чисел:

113. а) 42, 106, 110; б) 44, 54, 140.

Рівень Б

1. Знайдіть усі дільники числа n = 23 * 41.

2. Знайдіть усі дільники числа 3144.

3. Знайдіть усі двоцифрові числа, розклад яких на прості множники складається із двох однакових множників.

4. Знайдіть усі двоцифрові числа, розклад яких на прості множники складається з двох множників, одним з яких є 17.

2.2.3 Задачі на знаходження НСД. Самостійна робота 3.

Щоб розв’язувати задачі на знаходження НСД ми повинні знати алгоритм знаходження найбільшого спільного дільника.

Рівень А

1) Знайдіть НСД чисел 72,108.

Щоб знайти НСД (72,108), треба числа 72 і 108 розкласти на прості множники.

Спільними множниками цих чисел є: 2,2,3,3.

Отже, використовуючи алгоритм знаходження НСД маємо: НСД (72,108)=

Відповідь. 36

2) Яку найбільшу кількість однакових букетів можна скласти із 6 волошок і 9 ромашок?

Розв’язання.

Треба знайти найбільше число, на яке ділиться 6 і 9, тобто найбільший спільний дільник цих чисел. НСД (6,9)=3. Отже, можна скласти 3 букета.

Відповідь. 3 букета.

3) Випишіть усі дільники чисел 18 і 24 і підкресліть їх спільні дільники.

Розв’язання.

число 18 його дільники: 1, 2, 3, 6, 9, 18

число 24 його дільники: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Спільними дільниками (вони підкреслені) чисел 18 і 24 є числа 1, 2, 3, 6, найбільшим з них є 6. Число 6 є найбільшим натуральним числом, на яке діляться і 18, і 24.

Найбільше натуральне число, на яке ділиться кожне з даних чисел, називають найбільшим спільним дільником цих чисел.

Отже, найбільшим спільним дільником чисел 18 і 24 є число 6.

НСД (18; 24) = 6.

Відповідь. 6.

Рівень В

4) Знайти найбільший спільний дільник чисел 210 і 294.

Розв’язання.

Розглянемо ще один спосіб знаходження найбільшого спільного дільника, взявши числа 210 і 294. Розкладемо кожне із цих чисел на прості множники:

210 = 2 * 3 * 5 * 7; 294 = 2*3*7*7.

Підкреслимо всі спільні прості множники в розкладах даних чисел: 2, 3, 7. Числа 210 і 294 діляться на кожне із чисел 2, 3, 7 і на їх добуток: 2*3*7 = 42. Число42 є найбільшим спільним дільником чисел 210 і 294:

НСД (210; 294) = 42.

Відповідь. 42.

5) Яку найбільшу кількість однакових букетів можна скласти із 24 волошок і 32 ромашок, використавши всі квіти?

Розв’язання.

3 даних квітів можна, наприклад, скласти 2 букети, у кожному з яких буде 12 волошок і 16 ромашок. Не можна скласти три букети, бо 32 ромашки не можна розділити на 3 однакові частини. Можна скласти чотири однакові букети, бо і 24 волошки, і 32 ромашки можна розділити на 4 однакові частини. Очевидно, що для розв’язання задачі потрібно знайти найбільше число, на яке можна розділити 24 волошки і 32 ромашки, тобто знайти найбільший спільний дільник чисел 24 і 32. Оскільки НСД (24; 32) = 8, то найбільше можна скласти 8 однакових букетів. Кожний такий букет складатиметься із 24: 8 = 3 волошок і 32: 8 = 4 ромашок.

Відповідь. 8.

Рівень С

6) Натуральні числа? і b — взаємно прості. Довести, що НСД (?+b,)=1 або 2.

Доведення.

Припустимо, що числа діляться на d.

Тоді число також діляться на d. Тому числа також діляться на d. За умовою числа? і b — взаємно прості, тому числа також взаємно прості.

Отже, d=1 або 2.

Відповідь. 1 або 2.

7) Аркуш паперу, що має форму прямокутника зі сторонами 60 см і 48 см, розрізали на найбільші з усіх можливих квадратів. Скільки утворилося таких квадратів?

8) Прямокутний паралелепіпед, що має довжину 42 см, ширину 30 см і висоту 18 см, розрізали на однакові найбільші куби. Скільки утворилося таких кубів?

Самостійна робота 3

Рівень А

1. Знайдіть найбільший спільний дільник чисел, якщо:

а) = 2 * 2 * 3 * 5 * 5, = 2 * 5 * 5 * 7;

б) = 3 * 7 * 7 * 7 * 11, = 2*7*7*41.

2. Знайдіть найбільший спільний дільник чисел:

а) 12 і 8; б) 36 і 48; в) 50 і 175; г) 100 і 81;

д) 308 і 324; е) 210 і 330; є) 2, 6 і 18; ж) 24, 36 і 42.

3. Знайдіть найбільший спільний дільник чисельника і знаменника дробу:;; в; г

4. Чи є взаємно простими числа:

а) 3 і 1000; б) 49 і 240; в) 154 і 165; г) 14 332 і 8156?

5. Запишіть усі числа, менші за 12 і взаємно прості із числом 12.

6. Запишіть усі правильні дроби зі знаменником 8, у яких чисельник і знаменник є взаємно простими числами.

7. Запишіть усі неправильні дроби із чисельником 6, у яких чисельник і знаменник є взаємно простими числами.

Рівень Б

1. Знайдіть хоча б три значення а, за яких найбільшим спільним дільником чисел 18 і а є число 6.

2. Яку найбільшу кількість однакових подарунків можна скласти із 48 цукерок і 36 яблук, якщо використати всі цукерки й усі яблука?

3. Прямокутний аркуш паперу завдовжки 56 см і завширшки 48 см потрібно розрізати без відходів на найменшу кількість рівних квадратів. Скільки квадратів одержимо?

4. Дерев’яний брусок завдовжки 48 см, завширшки 30 см і заввишки 24 см потрібно розрізати без відходів на найменшу кількість рівних кубів. Скільки кубів одержимо?

5. Яку найбільшу кількість однакових подарунків можна скласти з 90 мандаринів, 405 цукерок і 135 пряників, якщо потрібно використати всі мандарини, цукерки і пряники?

6. Між усіма учнями класу розділили порівну 58 зошитів у лінійку і 87 зошитів у клітинку. Скільки учнів у класі? Скільки зошитів у лінійку і скільки у клітинку отримав кожен учень?

7. У кімнаті завдовжки 625 см і завширшки 475 см вирішили викласти долівку однаковими декоративними плитками квадратної форми, не розрізуючи їх. Який найбільший можливий розмір такої плитки? Скільки плиток найбільшого розміру потрібно, щоб викласти ними долівку?

2.2.4 Олімпіадні задачі на подільність чисел і методи їх розв’язання

Одним з ефективних засобів розвитку мислення є розв’язування задач, що пропонувалися на математичних олімпіадах. Розв’язування таких задач розвивають кмітливість, логічність, винахідливість, гнучкість і критичність розуму. Серед олімпіадних задач, а також на вступних іспитах до вищих навчальних закладів, часто зустрічаються задачі на подільність. Щоб їх розв’язати, потрібно глибокі знання з математики.

Запропоновані завдання допоможуть виробити вміння використовувати ознаки подільності, теореми і означення, робити правильні висновки та узагальнення.

Застосування доведення від супротивного

1. Два різних 100-цифрових числа записано за допомогою 40 одиниць, 30 двійок, 20 трійок і 10 четвірок. Довести, що ці числа не діляться одне на одне.

Доведення.

Позначимо дані числа? і ?. Сума цифр кожного з них дорівнює. Оскільки кожне число при діленні на 9 дає таку саму остачу, яку дає при діленні на 9 сума його цифр, то число? і? при діленні на 9 дають остачу 2.

Нехай. Припустимо, що число? ділиться на ?. Тоді де — ціле число, причому. Щоб число? при діленні на 9 давало остачу 2, потрібно щоб число при діленні на 9 також давало остачу 2. Але для цілих з проміжку це неможливо. Оскільки кожне число при діленні на 9 дає таку саму остачу, яку дає при діленні на 9 суму його цифр, то числа? і? при діленні на 9 дають остачу 2.

Отже припущення, що число? ділиться на ?, неправильне.

Твердження не правильне.

2. цілі числа задовольняють рівняння. Довести, що принаймні одне з них діляться на 3.

3. Довести, що існують нескінченна кількість простих чисел таких, що рівняння розв’язане в цілих числах .

Застосування методу математичної індукції

Нагадаємо, у чому полягає суть методу математичної індукції.

ь Перевіряємо, що дане твердження правильне, коли або будь-якому іншому фіксованому числу;

ь Припустимо, що дане твердження правильне, коли ;

ь Доводимо, що твердження правильне, коли, тобто з

ь Доведемо, що твердження правильне для будь-якого натурального .

1. Довести, що

Доведення.

Нехай, а — твердження .

ь — правильно.

ь Нехай — твердження правильне і .

ь Доведемо, що ділиться на 6.

ь Отже, правильне

2. Довести, що

Висновки

В ході написання курсової роботи була проглянуто достатня кількість літературних джерел з метою ознайомлення з теорією подільності чисел та з методикою даної тематики в загальноосвітній школі.

Зроблена спроба узагальнити і систематизувати навчальний матеріал, вибрати найкращий педагогічний досвід з урахуванням особистісно орієнтованої теорії навчання. В результаті виділився цикл задач, що їх можна використовувати на уроках, дано методичні рекомендації щодо викладу матеріалу теми «Подільність чисел» у 6-му класі. Відомо, що нестандартні задачі розширюють уявлення школярів про різноманітні ідеї, методи, які забезпечують їх розв’язування. Проте важливо й інше: підібрані задачі спонукають школярів до висування й обґрунтування певних гіпотез, пошуку та відсіювання неправильних припущень, побудови фрагментарних теоретичних узагальнень, сприяючи у такий спосіб формуванню у школярів творчого, евристичного мислення, а також прагнення до дослідницької діяльності.

Саме до таких задач і відносять різноманітні задачі з теорії чисел. Задачі такого типу приваблюють юних математиків. Їхні умови часто зрозумілі навіть учням молодших класів, проте розв’язування цих задач потребує глибоких знань та винахідливості. Їх пропонують майже на кожній олімпіаді юних математиків.

Тема «Подільність чисел» є цікавою для учнів і однією з таких тем, за допомогою яких можна зацікавити учнів навчанням і математикою зокрема. Недарма задачі на подільність зустрічаються на олімпіадах різних рівнів. У роботі наведено ряд задач для самостійного розв’язування, при розв’язані, яких використовується теорія подільності чисел.

Використана література

1. Антошенко В. Поділимося досвідом з колегами. Вивчення теми: «Подільність чисел» у 6 класі // Математика. — 2001 — № 33 (вересень) — С. 6

2. Бевз Г. П. Математика: 6 кл.: Підручник для загальноосвіт. навч. закл. /Г.П. Бевз, В. Г. Бевз. — К.: Генеза, 2006. — 415 с.

3. Бевз Г. П. Методика викладання математики: Навчальний посібник для студентів фізико-математичного факультету педагогічних інститутів. 3-тє вид.-К.:вища школа, 1989.-367 с.

4. Бевз Г. П. Методика розв’язування алгебраїчних задач у 6−8 класах. Посібник для вчителів.-К.:Рад. школа, 1975.-240 с.

5. Біленко М.М. Фізкультхвилинка чи цікава задача? // Математика. — 2004. — № 14 (266) квітень.-С. 21−23

6. Бірюкова І. Подільність натуральних чисел. Урок-гра у 6-му класі // Математика. — 2002 — № 41-С. 20−23

7. Гаврилюк С. Добуток двох послідовних натуральних чисел. Рекомендація вчителям математики, які працюють з обдарованими дітьми. // Математика. — 2001. — № 36 (вересень). — С. 2−3

8. Гаврилюк С. подільність чисел // Математика. — 2001 — № 44 (листопад).-С. 6−7

9. Завало С. Т., Костарчук В. М., Хацет Б.І. Алгебра теорія чисел Ч. 2.:Підручник для студентів фізико-математичних факультетів педагогічних інститутів.-К.:Вища школа. Головне видавництво, 1974. — 236 с.

10. Калужнін Л. А. Основна теорема арифметики і цілі Гаусові числа // У світі математики. — 1970.-вип. 2.-С. 7−39

11. Каплук А. НОД і НОК в задачах // Математика. — 1999. — № 4.-С. 37−40

12. Кравченко А. Ознаки подільності чисел. Нетрадиційний урок. // Математика. — 2001. — № 45.-С. 9

13. Лимаренко О. М., Ушаков Р. П. Подільність чисел. // У світі математики.-К.:1991, вип. 20.-С. 219−221

14. Литвиненко Г. М., Возняк Г. М. Математика: Пробний підручник для 6 класів середньої школи.-К.:Освіта, 1995.-287 с.

15. Мерзляк А. Г., Полянський В. Б., Якір М. С. Математика: Підручник для 6 класу. — Х.: Гімназія, 2006. — 487 с.

16. Муратова Е. Прості числа. Так чи проста їх історія? // Математика. — 2002. — № 13 (квітень).-С. 17−20

17. Нурк Е. Р., Тельгма А. Е. Математика: Підручник для 6 класів серед. шк.-К.:Освіта, 1992.-224 с.

18. Розв’язуємо разом.-Х.:Вид. група «Основа», 2003.-144 с.

19. Рубан О. В. Задачі на подільність. // Математика. — 2004. — № 13 (265) квітень.-С. 20−23

20. Савельєва В. А. Подорож у ознак подільності натуральних чисел. Урок-гра. // Математика. — 2000. — № 11.-С. 3

21. Слєпкань З.І. Методика навчання математики: Підруч. для студ. мат. спеціальностей пед. навч. закладів.-К.:Зодіак-ЕКО, 2000. — 512 с.

22. Стрельченко Н. Н. Лишки // Математика. — 2002. — № 21 (171) червень.-с. 4−5

23. Хмара Т. М. Наступність у формуванні уявлень про подільність чисел // Початкова школа. — 1995. — № 6.-С. 43−47

24. Шевченко Є. Прості числа. // Математика. — 2001. — № 36 (вересень).-С. 8

25. Янченко Галина, Кравчук Василь. Математика: Підручник для 6 класу. — Тернопіль: Підручники і посібники, 2006. — 340 с.