Зведення системи диференціальних рівнянь до одного рівняння вищого порядку (реферат)

Реферат на тему:

Зведення системи диференціальних рівнянь до одного рівняння вищого порядку

Нехай маємо систему диференціальних рівнянь.

$$\begin{array}{c}\stackrel{}{x_1}=f_1(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \stackrel{}{x_2}=f_2(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ \stackrel{}{x_n}=f_n(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

і заданий її розв’язок $$x_1=x_1(t),x_2=x_2(t),\text{.}\text{.}\text{.},x_n=x_n(t)$$. Якщо цей розв’язок підставити в перше рівняння, то вийде тотожність і її можна диференціювати.

$$\frac{d^2{x}_1}{{\text{dt}}^2}=\frac{f_1}{t}+\underset{i=1}{\overset{n}{}}\frac{f_1}{x_i}\frac{{\text{dx}}_i(t)}{\text{dt}}\text{.}$$.

Підставивши замість $$\frac{{\text{dx}}_i(t)}{\text{dt}}$$ їх значення, одержимо.

$$\frac{d^2{x}_1}{{\text{dt}}^2}=\frac{f_1}{t}+\underset{i=1}{\overset{n}{}}\frac{f_1}{x_i}{f}_i=F_2(t,x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)\text{.}$$.

Знову диференціюємо це рівняння й одержимо.

$$\begin{array}{c}\frac{d^3{x}_1}{{\text{dt}}^3}=\frac{F_2}{t}+\underset{i=1}{\overset{n}{}}\frac{F_2}{x_i}\frac{{\text{dx}}_i(t)}{\text{dt}}=\frac{F_2}{t}+\underset{i=1}{\overset{n}{}}\frac{F_2}{x_i}{f}_i=\\ =F_3(t,x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)\text{.}\end{array}$$.

Продовжуючи процес далі, одержимо.

$$\frac{d^{n-1}{x}_1}{{\text{dt}}^{n-1}}=F_{n-1}(t,x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)\text{.}$$.

$$\frac{d^n{x}_1}{{\text{dt}}^n}=F_n(t,x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)\text{.}$$.

Таким чином, маємо систему.

$$\begin{array}{c}\frac{{\text{dx}}_1}{\text{dt}}=f_1(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \frac{d^2{x}_1}{{\text{dt}}^2}=F_2(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ \frac{d^{n-1}{x}_1}{{\text{dt}}^{n-1}}=F_{n-1}(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \frac{d^n{x}_1}{{\text{dt}}^n}=F_n(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Припустимо, що $$\frac{D(f_1,F_2,\text{.}\text{.}\text{.},F_{n-1})}{D(x_2,x_3,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)}/=0\text{.}$$ Тоді систему перших $$(n-1)$$ — рівнянь.

$$\begin{array}{c}\frac{{\text{dx}}_1}{\text{dt}}=f_1(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \frac{d^2{x}_1}{{\text{dt}}^2}=F_2(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ \frac{d^{n-1}{x}_1}{{\text{dt}}^{n-1}}=F_{n-1}(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

можна розв’язати відносно останніх $$(n-1)$$ змінних $$x_2,x_3,\text{.}\text{.}\text{.},x_n$$ і одержати.

$$\begin{array}{c}{x}_2={}_2(t,x_1,\frac{{\text{dx}}_1}{\text{dt}},\text{.}\text{.}\text{.},\frac{d^{n-1}{x}_1}{{\text{dt}}^{n-1}})\\ x_3={}_3(t,x_1,\frac{{\text{dx}}_1}{\text{dt}},\text{.}\text{.}\text{.},\frac{d^{n-1}{x}_1}{{\text{dt}}^{n-1}})\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ x_n={}_n(t,x_1,\frac{{\text{dx}}_1}{\text{dt}},\text{.}\text{.}\text{.},\frac{d^{n-1}{x}_1}{{\text{dt}}^{n-1}})\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Підставивши одержані вирази в останнє рівняння, запишемо.

$$\begin{array}{c}\frac{d^n{x}_1}{{\text{dt}}^n}=F_n(t,x_1,{}_2(t,x_1,\frac{{\text{dx}}_1}{\text{dt}},\text{.}\text{.}\text{.},\frac{d^{n-1}{x}_1}{{\text{dt}}^{n-1}}),\text{.}\text{.}\text{.},\\ {}_n(t,x_1,\frac{{\text{dx}}_1}{\text{dt}},\text{.}\text{.}\text{.},\frac{d^{n-1}{x}_1}{{\text{dt}}^{n-1}}))\text{.}\end{array}$$.

Або, після перетворень.

$$\frac{d^n{x}_1}{{\text{dt}}^n}=(t,x_1,\frac{{\text{dx}}_1}{\text{dt}},\text{.}\text{.}\text{.},\frac{d^{n-1}{x}_1}{{\text{dt}}^{n-1}})$$ ,.

одержимо одне диференціальне рівняння $$n$$ -го порядку.

У загальному випадку, одержимо, що система диференціальних рівнянь першого порядку.

$$\begin{array}{c}\stackrel{}{x_1}=f_1(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \stackrel{}{x_2}=f_2(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ \stackrel{}{x_n}=f_n(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

зводиться до одного рівняння $$n$$ -го порядку.

$$\frac{d^n{x}_1}{{\text{dt}}^n}=(t,x_1,\frac{{\text{dx}}_1}{\text{dt}},\text{.}\text{.}\text{.},\frac{d^{n-1}{x}_1}{{\text{dt}}^{n-1}})\text{.}$$.

і системи $$(n-1)$$ рівнянь зв’язку.

$$\begin{array}{c}{x}_2={}_2(t,x_1,\frac{{\text{dx}}_1}{\text{dt}},\text{.}\text{.}\text{.},\frac{d^{n-1}{x}_1}{{\text{dt}}^{n-1}})\\ x_3={}_3(t,x_1,\frac{{\text{dx}}_1}{\text{dt}},\text{.}\text{.}\text{.},\frac{d^{n-1}{x}_1}{{\text{dt}}^{n-1}})\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ x_n={}_n(t,x_1,\frac{{\text{dx}}_1}{\text{dt}},\text{.}\text{.}\text{.},\frac{d^{n-1}{x}_1}{{\text{dt}}^{n-1}})\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Зауваження. Було зроблене припущення, що $$\frac{D(f_1,F_2,\text{.}\text{.}\text{.},F_{n-1})}{D(x_2,x_3,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)}/=0\text{.}$$. Якщо ця умова не виконана, то можна зводити до рівняння щодо інших змінних, наприклад відносно $$x_2$$ .