Аксиоматика теорії множин

Аксиоматика теорії множеств

Введение

Значение математичної логіки у нашій і минулому столітті сильно зросла. Головною причиною цього було відкриття парадоксів теорії множин й необхідність перегляду суперечливою інтуїтивної теорії множин. Було запропоновано багато різних аксіоматичних теорій для обгрунтування теорії множин, а ніби вони не різнилися одне від друга своїми зовнішніми рисами, загальне всім них зміст становлять фундаментальні теореми, куди у своїй буденній праці спираються математики. Вибір тій чи іншій з наявних теорій в основному справою смаку; ми ж ми висуваємо до системи, якої користуватимемося, ніяких вимог, ще, щоб він служила достатньої підвалинами побудови сучасної математики.

§ 1. Система аксиом

Опишем теорію першого порядку NBG, яка складалася переважно є системою тієї самої типу, як і система, запропонована спочатку фон Нейманом [1925], [1928], та був старанно переглянута і спрощена Р. Робінсоном [1937], Бернайсом [1937—1954] і Гёделем [1940]. (Будемо переважно слідувати монографії Гёделя, хоч і з декотрими важливими відхиленнями.) Теорія NBG має єдину предикатную букву і немає жодної функціональної літери чи предметної константи. Щоб ближчі один до позначенням Бернайса [1937—1954] і Гёделя [1940], ми вживати як змінних замість x1, x2, … прописні латинські літери X1, Х2, … (Як завжди, ми використовуємо літери X, Y, Z, … для позначення довільних змінних.) Ми введемо також скорочені позначення ХY для(X, Y) і XY для (X, Y). Змістовно знак сприймається як символ відносини принадлежности.

Следующим чином визначимо равенство:

Определение. Х=Y служить скороченням для формули .

Таким чином, два об'єкта рівні тоді й тільки тоді, що вони складаються з одних тієї ж элементов.

Определение. служить скороченням для формули (включение).

Определение. XY служить скороченням для Х Y & X? Y (власне включення).

Из цих визначень легко следует Предложение 1.

(а) Х = Y (X Y & Y X);

(b) Х = Х;

©  Х = Y Y = Х;

(d) Х = Y (Y = Z Х = Z);

(е) Х = Y (ZX ZY).

Теперь приступимо до переліку власних аксіом теорії NBG, перемежовуючи формулювання самих аксіом різними наслідками також деякими додатковими визначеннями. Попередньо, проте, відзначимо, що тією «інтерпретації», що тут мається на увазі, значеннями змінних є класи. Класи — це сукупності, відповідні деяким, проте ніяк не всім, властивостями (ті властивості, які визначають класи, будуть частково зазначені у аксіомах. Ці аксіоми забезпечують нам існування необхідних у математиці класів та є, досить скромними, що з них не міг вивести протиріччя). (Ця «інтерпретація» так само не точна, як й поняття «сукупність», «властивість» тощо. д.).

Назовем клас безліччю, якщо він елементом якогось класу. Клас, не є безліччю, назвемо власним классом.

Определение. M (X) служить скороченням для Y (XY) (X є множество).

Определение. Pr (X) служить скороченням для M (X) (X є свій класс).

В подальшому побачимо, що це звичайні способи виведення парадоксів наводять сьогодні вже не до протиріччю, а до результату, що складається у цьому, деякі класи є множинами. Сили-силенної призначені бути тими надійними, зручними класами, якими математики мають своєму повсякденному діяльності; тоді як власні класи мисляться як дивовижно неосяжні зборів, які, якщо дозволити їм здалося бути множинами (т. е. бути елементами інших класів), породжують противоречия.

Система NBG задумана як теорія, трактующая про класах, та не предметах. Мотивом в користь цього послужило та обставина, що математика — не потребує об'єктах, які є класами, на кшталт корів чи молекул. Усі математичні об'єкти й стосунку можуть бути виражені в термінах самих лише класів. Якщо ж заради додатків у інші науки виникла потреба залучення «неклассов», то незначна модифікація системи NBG дозволяє застосувати її так само як до класам, і до «неклассам» (Мостовский [1939]).

Мы введемо рядкові латинські літери x1, x2, … як спеціальних, обмежених множинами, змінних. Інакше кажучи, x1 A (x1) служитиме скороченням для X (M (X)A (X)), що змістовно має наступний сенс: «A істинно всім безлічі, і x1 A (x1) служитиме скороченням для X (M (X)A (X)), що змістовно можна буде: «A істинно для деякого безлічі». Зауважимо, що вжита у тому визначенні змінна X мусить бути відмінній від змінних, які входять у A (x1). (Як багато і зазвичай, літери x, y, z, … будуть вживатися для позначення довільних змінних для множеств.).

П р і м е р. Вислів ХхyZA (X, x, y, Z) служить скороченням для.

ХXj (М (Xj)Y (M (Y)&ZA (X, Xj, Y, Z))).

А до сек. і про м, а Т. (Аксіома об'ємності.) Х = Y (XZYZ).

Предложение 2. Система NBG є теорією першого порядку з равенством.

А до сек. і про м, а Р. (Аксіома пари.) xyzu (u z u = xu = y), т. е. для будь-яких множин x і в є безліч z таке, що x і в є єдиними його элементами.

А до сек. і про м, а N. (Аксіома порожнього безлічі.) x y (у x), т. е. є безліч, не що містить ніяких элементов.

Из аксіоми N і аксіоми об'ємності слід, існує лише єдине безліч, не що містить ніяких елементів, т. е.

1x y (у x). Тому ми можемо запровадити предметну константу 0, подчиняв її наступному условию.

Определение. y (y 0).

Так як виконано умова одиничності для неупорядкованою пари, то можемо запровадити нову функціональну букву g (х, y) для позначення неупорядкованою пари x і в. Втім замість g (х, y) ми писати {x, у}. Зауважимо, які можна однозначно визначити пару {X, Y} для будь-яких двох класів Х і Y, Не тільки для множин x і в. Поклавши {X, Y} = 0, якщо з класів X, Y перестав бути безліччю. Можна довести, що.

NBG 1Z ((M (X)&M (Y)&u (u Z u = X u = Y)) .

(( M (X) M (Y))&Z=0)).

Этим виправдано запровадження пари {X, Y}:

Определение. (М (Х) & М (Y) & u (і {X, Y} u = X u = Y)) .

(( M (X) M (Y)) & {X, Y} = 0).

Можно довести, що NBG x y u (u {x, у} u = x u = y) і NBG x y (M ({х, у})).

Определение. = {{Х}, {X, Y}}. називається упорядкованим парою класів Х і Y.

Никакого внутрішнього інтуїтивного сенсу визначення немає. Воно є лише деяким зручним способом (його запропонував Ку-ратовский) визначити впорядковані пари в такий спосіб, щоб було довести таке пропозицію, лист про характеристичне властивість упорядкованих пар.

Предложение 3.

NBG x y u v ().

Доказательство. Нехай = . Це означає, що {{x}, {x, y}} = {{u}, {u, v}}. Оскільки {x} {{x}, {x, y}}, то {x} {{u}, {u, v}}. Тому {x} = ={u} чи {x} = {u, v}. У обох випадках x = і. З іншого боку, {u, v} {{u}, {u, v}} і, отже, {u, v} {{x}, {x, y}}. Звідси {u, v} = {x} чи {u, v} = ={x, y}. У такий спосіб {x, y} = {u} чи {x, у}={и, v}. Якщо чи {u, v} = ={x} і {x, y} = {u}, то x = і = у = v, в іншому разі {і, v} = {x, у} і, отже, {і, v} = {u, у}. Якщо за цьому v? u, то y = v, Якщо ж v = u, то теж y = v. Отже, у разі, y = v.

Мы тепер узагальнимо поняття упорядкованим пари поняття упорядкованим n-ки.

Определение.

= Х,.

.

Так, например,.

і .

В подальшому індекс NBG у запису NBG опускается.

Нетрудно довести таке узагальнення пропозиції 3:

.

Аксиомы існування класів.

Эти аксіоми стверджують, що з деяких властивостей, виражених формулами, існують відповідні класи всіх множин, які мають цими свойствами.

А до сек. і про м, а В1. X u v (X u v) (— ставлення).

А до сек. і про м, а В2. X Y Z u (u Z u X & u Y).

(пересечение).

А до сек. і про м, а В3. X Z u (u Z u X) (доповнення).

А до сек. і про м, а В4. X Z u (u Z v (X)) (область.

определения).

А до сек. і про м, а В5. X Z u v ( Z u X).

А до сек. і про м, а В6. X Z u v w ( Z X).

А до сек. і про м, а В7. X Z u v w ( Z X).

С допомогою аксіом В2—В4 можна доказать.

X Y 1Z u (u Z u X & u Y),.

X 1Zu (u Z u x),.

X 1Zu (u Z v ( X)).

Эти результати виправдовують запровадження нових функціональних літер ?, ?, D.

Определения.

u (u X? Y u X & u Y) (те що класів Х і Y).

u (u u X) (доповнення до класу X).

u (u D (X) v ( X)) (область визначення класу X).

(об'єднання класів Х і Y).

V = (універсальний класс).

X? Y = X? .

Общая теорема про існування классов.

Предложение 4. Нехай? (X1,…, Xn, Y1,…, Ym) — формула, перемінні якої беруться лише у складі X1,…, Xn, Y1,…, Ym. Назвемо таку формулу предикативной, тоді як ній зв’язковими є лише перемінні для множин (тобто. якщо може бути приведено до такого виду з допомогою прийнятих скорочень). Для будь-якої предикативной формули? (X1,…, Xn, Y1,…, Ym).

Zx1 …xn ( Z ? (x1,…, xn, Y1,…, Ym)).

Доказательство. Ми можемо обмежитися розглядом лише таких формул ?, які містять подформул виду Yi W, оскільки всяка така подформула то, можливо замінено x (x = Yi & x W), що у своє чергу еквівалентно формулі x (z (z x z Yi) & x W). Можна ще припускати, що у? не містяться подформулы виду XX, які можуть бути на u (u = X & u X), останнє ж еквівалентно u (z (z u z X) & u X). Доказ проведемо тепер індукцією за кількістю k логічних зв’язок і кванторів, які входять у формулу? (записану з обмеженими перемінними для множеств).

1. Нехай k = 0. Формула? має вигляд xi xj, чи xj xi, чи xi Yi, де 1? і < j? n. У першому разі, по аксіомі В1, існує певний клас W1 такий, що.

xixj (W1 xi xj).

Во другий випадок, за тією ж аксіомі, існує клас W2 такий, что.

xixj (W2 xj xi),.

и тоді, з.

XZ u v ( Z X),.

существует клас W3 такий, що.

xixj (W3 xj xi).

Итак, у будь-якій з у перших двох випадків існує клас W3 такий, что.

xixj (W ? (x1,…, xn, Y1,…, Ym)).

Тогда, замінивши в.

XZ v1…vkuw ( Z X).

X на W, одержимо, що є певний клас Z1 такий, что.

x1… xi-1xixj (Z1 ? (x1,…, xn, Y1,…, Ym)).

Далее, виходячи з.

XZ v1…vmx1…xn ( .

ZX).

там навіть за Z1 = X, укладаємо, що є клас Z2 такий, что.

x1 … xi xi+1 … xj ( Z2 ? (x1,…, xn, Y1,…, Ym)).

Наконец, застосовуючи.

XZ v1…vmx1…xn ( Z X).

(1).

там навіть за Z2 = Х, отримуємо, що є клас Z такий, что.

x1…xn ( Z ? (x1,…, xn, Y1,…, Ym)).

Для що залишається випадку xi Yi теорема випливає з (1) і.

XZ x v1…vm ( Z x X).

2. Припустимо, що теорема доведено нічого для будь-якого k < p. s І що? містить p. s логічних зв’язок і кванторов.

(a)? є ?. По індуктивному припущенню, існує клас W такий, что.

x1…xn ( W ? (x1,…, xn, Y1,…, Ym)).

Теперь залишається покласти Z = .

(b)? є? ?. По індуктивному припущенню, існують широкі класи Z1 і Z2 такі, что.

x1…xn ( Z1 ? (x1,…, xn, Y1,…, Ym)) и.

x1…xn ( Z2 ? (x1,…, xn, Y1,…, Ym)).

Искомым класом Z у разі буде клас .

©? є x ?. По індуктивному припущенню, існує клас W такий, что.

x1…xnx ( W ? (x1,…, xn, x, Y1,…, Ym)).

Применим сперва.

XZ x1 … xn ( Z y ( X)).

при X = й одержимо клас Z1 такий, что.

x1 … xn ( Z1x? (x1,…, xn, x, Y1,…, Ym)).

Теперь між іншим остаточно Z = , помічаючи, що x? еквівалентно.

x ?.

Примеры. 1. Нехай? (X, Y1, Y2) є формулою uv (X = & u Y1 & v Y2). Тут кванторы пов’язують лише перемінні для множин. Тому, з теореми про існування класів, Z x (x Z uv (x = & u Y1 & v Y2)), але в підставі аксіоми об'ємності, 1Z x (x Z uv (x = & u Y1 & v Y2)). Тому можливо таке визначення, яка вводить нову функціональну букву :

Определение. x (x Y1 Y2 uv (x = & u Y1 & v Y2)). (Декартово твір класів Y1 і Y2).

Определения.

X2 позначає X X (зокрема, V2 позначає клас всіх упорядкованих пар).

…

Xn позначає Xn-1 X (зокрема, Vn позначає клас всіх упорядкованих n-ок).

Rel (X) служить скороченням для Х V2 (X є отношение).

2. Нехай? (X, Y) позначає Х Y. По теоремі про існування класів та виходячи з аксіоми об'ємності, 1Zx (x Z x Y). Таким чином, існує клас Z, елементами якого є всі підмножини класу Y.

Определение. x (x P (Y) x Y). (P (Y): клас всіх підмножин класу Y.).

3. Розглянемо як? (X, Y) формулу v (X v & v Y).

По теоремі про існування класів та виходячи з аксіоми об'ємності, 1Zx (x Z v (x v & v Y)), тобто. існує єдиний клас Z, елементами якого є всі елементи елементів класу Y і лише они.

Определение. x (x (Y) v (x v & v Y)). ((Y): об'єднання всіх елементів класу Y).

4. Нехай? (X) є u (X = ). По теоремі про існування класів та виходячи з аксіоми об'ємності, існує єдиний клас Z такий, що x (x Z u (x = )).

Определение. x (x I u (x = )). (Ставлення тождества.).

Следствие. Для будь-якої предикативной формули? (X1,…, Xn, Y1,… …, Ym).

1W (W Vn & x1…xn ( W .

? (x1,…, xn, Y1,…, Ym)).

Доказательство. З огляду на пропозиції 4, існує клас Z, котрій x1…xn ( Z ? (x1,…, xn, Y1,…, Ym)). Вочевидь, потрібним класом W є клас W = Z? Vn; його одиничність випливає з аксіоми объемности.

Определение. Для будь-якої предикативной формули? (X1,…, Xn, Y1,… …, Ym) через ? (x1,…, xn, Y1,…, Ym)) позначається клас всіх n-ок , які відповідають формулі? (x1,…, xn, Y1,…, Ym)), т. е. u (u ? (x1,…, xn, Y1,…, Ym) x1…xn (u = &? (x1,…, xn, Y1,… …, Ym))). Слідство виправдовує таке визначення. Зокрема, при n = 1 одержимо u (u ? (x, Y1, …, Ym) ? (u, Y1,…, Ym)) (іноді замість ? (x1,…, xn, Y1,…, Ym) застосовують запис {|? (x1,…, xn, Y1,…, Ym)}).

Примеры. 1. Нехай? є Y. Означимо ( Y) скорочено через , тоді V2 & x1x2( Y Y). Назвемо зворотним ставленням класу Y.

2. Нехай? є v ( Y). Означимо через R (Y) вираз (v ( Y)). Тоді u (u R (Y) v ( Y)). Клас R (Y) називається областю значень класу Y. Вочевидь, R (Y) = D ().

Заметим, що аксіоми В1 — В7 є приватними випадками теореми про існування класів, т. е. пропозиції 4. Інакше кажучи, натомість, щоб висувати пропозицію 4 як схеми аксіом, з тим самим результатом обмежитися лише небагатьом кінцевим числом його окремі випадки. Разом про те, хоча пропозицію 4 і дозволяє доводити існування значної частини найрізноманітніших класів, нам, проте, нічого невідомо про існування будь-яких множин, крім найпростіших множин як-от 0, {0}, {0, {0}}, {{0}} тощо. буд. Щоб забезпечити існування множин складнішою структури, введемо подальші аксиомы.

А до сек. і про м, а U. (Аксіома объединения.).

xyu (u y v (u v & v x)).

Эта аксіома стверджує, що (x) всіх елементів безлічі x є й безліччю, т. е. x (M ((x))). Безліч і (x) позначають також через і v.

Средством породження нових множин з вже наявних є освіту безлічі всіх підмножин даного безлічі.

А до сек. і про м, а W. (Аксіома безлічі всіх подмножеств.).

xyu (u y u x).

Эта аксіома стверджує, що клас всіх підмножин безлічі x є й безліч; його називатимемо безліччю всіх підмножин безлічі x. З огляду на цієї аксіоми, x (M (P (х))).

Примеры.

P (0) = {0}.

P ({0}) = {0, {0}}.

P ({0, {0}}) = {0, {0}, {0, {0}}, {{0}}}.

Значительно більш загальним засобом побудови нових множин є така аксіома выделения.

А до сек. і про м, а S.

xY zu (u z u x & u Y).

Таким чином, нічого для будь-якого безлічі x й у будь-якого класу Y є безліч, що складається з елементів, загальних для x і Y. Отже, xY (M (x? Y)), т. е. те що безлічі з класом є множество.

Предложение 5. xY (Y x M (Y)) (т. е. підклас безлічі є множество).

Доказательство. x (Y x Y? x = Y) і x (M (Y? x)).

Так як всяка предикативная формула A (у) породжує відповідний клас (пропозицію 4), те з аксіоми P. S слід, що з будь-якого безлічі x клас всіх його елементів, які відповідають даної предикативной формулі A (у), є множество.

Однако до повного розвитку теорії множин знадобиться аксіома, сильніша, ніж аксіома P. S. Введемо попередньо кілька определений.

Определения.

Un (X) означає xyz ( X & X y = z).

(X однозначен.).

Fnc (X) означає X V2 & Un (X). (X є функция.).

Y 1 X означає X? (Y V). (Обмеження Х областю Y.).

Un1 (X) означає Un (X) & Un (). (X взаємно однозначен.).

X‘Y .

Если існує єдине z таке, що X, то z = X‘y; інакше X‘y = 0. Якщо Х є функція, а й у — безліч в галузі визначення X, то X‘y є значення цієї функції, застосованої до у (Надалі будемо з мері необхідності вводити нові функціональні букви і предметні константи, як тільки ясно, що відповідну ухвалу то, можливо обгрунтоване теоремою про одиничності. У цьому разі відбувається запровадження деякою нової функціональної літери h зі скороченою позначенням Х‘Y замість h (X, Y)).

X‘‘Y = R (Y 1 X). (Якщо Х є функція, то X‘‘Y є сфера значень класу X, обмеженого областю Y.).

А до сек. і про м, а R. (Аксіома замещения.).

x (Un (X) yu (u y v ( X & v X))).

Аксиома заміщення стверджує, що й клас Х однозначний, то клас других компонент тих пар з X, перші компоненти яких належати, є безліччю (еквівалентну твердження: M (R (x 1X))) З цієї аксіоми слід, що й Х є функція, то область значень результату обмеження Х у вигляді будь-якої області, що є безліччю, також є множество.

Следующая аксіома забезпечує існування нескінченних множеств.

А до сек. і про м, а I. (Аксіома бесконечности.).

x (0 x & u (u x u {u} x)).

Аксиома нескінченності стверджує, що є б таку силу-силенну x, що 0 x, і як і x, те й {і} також належить x. Для так багато x, очевидно, {0} x, {0, {0}} x, {0, {0}, {0, {0}}} x тощо. буд. Якщо тепер між іншим 1 = {0}, 2 = {0, 1}, …, n = {0, 1, …, n — 1}, то тут для будь-якого цілого п? 0 буде виконано п x, і навіть 0? 1, 0? 2, 1? 2, 0? 3, 1? ? 3, 2? 3, …

Список аксіом теорії NBG завершено. Очевидно, що NBG має лише кінцеве число аксіом, а саме: аксіому Т (об'ємності), аксіому Р (пари), аксіому N (порожнього безлічі), аксіому P. S (виділення), аксіому U (об'єднання), аксіому W (безлічі всіх підмножин), аксіому R (заміщення), аксіому I (нескінченності) і сім аксіом існування класів В1—В7.

Убедимся нині у тому, що парадокс Рассела невыводим в NBG. Нехай Y = (x x), т. е. x (x Y x x). (Такий клас Y існує, з теореми про існування класів (пропозицію 4), оскільки формула x x предикативна.) У початковій, т. е. не скороченою, символіці ця остання формула записується так: X (M (X) (X Y X X)). Припустимо M (Y). Тоді Y Y Y Y, що, з тавтології (A A) A & & A, тягне Y Y Y Y. Звідси по теоремі дедукції отримуємо M (Y)(Y Y Y Y), та був, з тавтології (B (A & A)) B, отримуємо і М (Y). Отже, міркування, з допомогою які зазвичай виводиться парадокс Рассела, теоретично NBG наводять лише до тому результату, що Y є свій клас, т. е. не безліч. Тут маємо працювати з типовим для теорії NBG способом звільнення від звичайних парадоксів (наприклад, парадоксів Кантора і Бурали-Форти).

Определения.

X Irr Y означає y (y Y X) & Rel (X).

(X є иррефлексивное ставлення на Y.).

X Tr Y означає Rel (X) & uvw (uY & vY & wY &.

& X &X & X X).

(X є транзитивное ставлення на Y.).

X Part Y означає (X Irr Y) & (X Tr Y).

(X частково впорядковує Y.).

X Con Y означає Rel (X) & uv (uY & vY & u? v .

X X).

X Tot Y означає (X Irr Y) & (X Tr Y) & (X Con Y).

(X впорядковує Y.).

X We Y служить позначенням для Rel (X) & (X Irr Y) & Z (ZY &.

& Z? 0 y (y Z & v (v Z & v? y X &.

& X))).

(X цілком впорядковує Y, т. е. ставлення Х иррефлексивно на Y, і кожен непорожній підклас класу Y має найменший себто відносини Х элемент.).

§ 2. Аксіома вибору. Лема Цорна.

Аксиома вибору одна із найзнаменитіших і найбільш оскаржуваних тверджень теорії множеств.

Следующие формули эквивалентны:

А до сек. і про м, а и б про р, а (АС): Для будь-якого безлічі x існує функція f така, що з будь-якого непорожнього підмножини в багатьох x f‘ y y (така функція називається в и б і р, а ю щ е і ф у зв до ц і е і для х).

М у л т т і п л і до, а т й у зв, а я, а до сек. і про м, а (Mult): Для будь-якого безлічі x непорожніх і попарно непересічних множин, є безліч у (що у и б і р, а ю щ і м м зв про ж е з тонн на про м. для x), яке містить у точності за одним елементу з кожного безлічі, що є елементом х.

u (u x u? 0 & v (v x & v? u v? u = 0)).

yu (u x 1w (w u? y)).

П р і зв ц і п в п про л зв е у п про р я буд про год е зв і це (W. O.): Будь-яке безліч може бути упорядковано. x y (y We x).

Т р і x от про метрів і я (Trich): xy (x y y x).

Л м м, а Ц про р зв, а (Zorn): Якщо частково упорядкованому безлічі x всяка ланцюг (т. е. всяке упорядкований підмножина) має верхню грань, то x існує максимальний элемент.

xy ((y Part x) & u (u x & y Tot u v (v x &w (w u w =.

= v y))) v (v x &w (w x y))).

Доказательство.

1. (W. O.) Trich. Нехай дано безлічі x і в. Відповідно до (W. O.), x і в можуть цілком упорядковані. Тому є такі порядкові числа? і ?, що x ? і y ?. Та оскільки? ? чи? ?, то або x y, або y x.

2. Trich (W. O.). Нехай дано безліч x. Відповідно до теоремі Хартогса, існує порядковое число ?, яке равномощно ніякому подмножеству безлічі x. Тоді, з Trich, x равномощно деякому подмножеству у порядкового числа ?, і геть впорядкування Еу безлічі у породжує деяке цілком впорядкування безлічі х.

3. (W. O.) Mult. Нехай x є певна безліч непорожніх, попарно непересічних множин. Відповідно до (W. O.), існує ставлення R, цілком упорядочивающее безліч (x). Отже, є така певна на x функція f, що f‘u нічого для будь-якого і x є найменший щодо R елемент і. (Зауважимо, як і (х).).

4. Mult AC. Для будь-якого безлічі x існує функція g така, що й є непорожнє підмножина x, то g‘и = u {і}. Нехай х1 —область значенні функції g. Легко бачити, що х1 є безліччю непорожніх попарно непересічних множин. З Mult, для х1 існує яке вибирає безліч у. Звідси, якщо 0? u і u x, те й {і} х1 і в містить до того ж єдиний элемент зі США й {і}. Функція f‘ u = v є шуканої котра вибирає функцією для х.

5. АС Zorn. Нехай у частково впорядковує непорожнє безліч x в такий спосіб, що кожна y-цепь в x має у x верхню грань. З АС, для x існує выбирающая функція f. Розглянемо довільний елемент b безлічі x, і з трансфинитной індукції визначимо функцію F таку, щоб виконувалося F‘0 = b і F‘? = f‘u для будь-якого ?, де u є чимало всіх таких верхніх граней v безлічі F‘‘? щодо впорядкування у, що v x і v F‘‘ ?. Нехай? є найменше порядковое число, якому відповідав би порожній безліч верхніх граней v безлічі F‘‘? щодо впорядкування v, що належать x і що належать F‘‘ ?. (Порядкові числа, які мають таким властивістю, існують; інакше функція F було б взаємно однозначної із ділянкою визначення Раз і з певним підмножиною безлічі x як області значень, звідки по аксіомі заміщення R було б, що Раз є чимало.) Нехай g =? 1 F. Функція g взаємно однозначна і якщо ?