Лінійні рівняння першого порядку (реферат)

Реферат на тему:

Лінійні рівняння першого порядку

1. Загальна теорія

Рівняння, що є лінійним відносно невідомої функції та її похідної, називається лінійним диференціальним рівнянням. Його загальний вигляд такий:

$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}+p(x)y=q(x)$$ .

Якщо $$q(x)0$$, тобто рівняння має вигляд.

$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}+p(x)y=0$$ ,.

то воно зветься однорідним. Однорідне рівняння є рівнянням зі змінними, що розділяються і розв’язується таким чином:

$$\frac{\text{dy}}{y}=-p(x)\text{dx},\frac{\text{dy}}{y}=-p(x)\text{dx}+\text{ln}C,\text{ln}y=-p(x)\text{dx}+\text{ln}C\text{.}$$.

Нарешті $$y={\text{Ce}}^{-p(x)\text{dx}}$$ .

Розв’язок неоднорідного рівняння будемо шукати методом варіації довільних сталих (методом невизначених множників Лагранжа). Він складається в тому, що розв’язок неоднорідного рівняння шукається в такому ж вигляді, як і розв’язок однорідного, але $$C$$ вважається невідомою функцією від $$x$$, тобто $$C=C(x)$$ і $$y=C(x)e^{-p(x)\text{dx}}$$. Для знаходження $$C(x)$$ підставимо $$y$$ у рівняння.

$$\frac{\text{dC}(x)}{\text{dx}}{e}^{-p(x)\text{dx}}-C(x)p(x)e^{-p(x)\text{dx}}+p(x)C(x)e^{-p(x)\text{dx}}=q(x)$$ .

Звідси.

$$\text{dC}(x)=q(x)e^{p(x)\text{dx}}\text{dx}\text{.}$$.

Проінтегрувавши, одержимо.

$$C(x)=q(x)e^{p(x)\text{dx}}\text{dx}+C$$ .

І загальний розв’язок неоднорідного рівняння має вигляд.

$$y=e^{-p(x)\text{dx}}\left[q(x)e^{p(x)\text{dx}}\text{dx}+C\right]\text{.}$$.

Якщо використовувати початкові умови $$y(x_0)=y_0$$, то розв’язок можна записати у формі Коші:

$$y(x,x_0,y_0)=e^{-{}_{x_0}^{x}p(t)\text{dt}}{y}_0+{}_{x_0}^x{e}^{-{}_t^{x}p()\mathit{d}}q(t)\text{dt}$$ .

2. Рівняння Бернуллі

Рівняння вигляду.

$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}+p(x)y=q(x)y^m,m/=1$$.

називається рівнянням Бернуллі. Розділимо на $$y^m$$ і одержимо.

$$y^{-m}\frac{\text{dy}}{\text{dx}}+p(x)y^{1-m}=q(x)\text{.}$$.

Зробимо заміну: $$y^{1-m}=z,(1-m)y^{-m}\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=\text{dz}$$ .

Підставивши в рівняння, отримаємо.

$$\frac{1}{1-m}\frac{\text{dz}}{\text{dx}}+p(x)z=q(x)\text{.}$$.

Одержали лінійне диференціальне рівняння. Його розв’язок має вигляд.

$$z=e^{-(1-m)p(x)\text{dx}}\left[(1-m)q(x)e^{(1-m)p(x)\text{dx}}\text{dx}+C\right]\text{.}$$.

3. Рівняння Рікатті

Рівняння вигляду

$$\frac{\text{dy}}{\text{dx}}+p(x)y+r(x)y^2=q(x)$$.

називається рівнянням Рікатті. В загальному випадку рівняння Рікатті не інтегрується. Відомі лише деякі частинні випадки рівнянь Рікатті, що інтегруються в квадратурах. Розглянемо один з них. Нехай відомий один частинний розв’язок $$y=y_1(x)$$. Робимо заміну $$y=y_1(x)+z$$ і одержуємо.

$$\frac{{\text{dy}}_1(x)}{\text{dx}}+\frac{\text{dz}}{\text{dx}}+p(x)\left[y_1(x)+z\right]+r(x){\left[y_1(x)+z\right]}^2=q(x)\text{.}$$.

Оскільки $$y_1(x)$$ — частинний розв’язок, то.

$$\frac{{\text{dy}}_1}{\text{dx}}+p(x)y_1+r(x)y_{1^2}q(x)$$ .

Розкривши скобки і використовуючи вказану тотожність, одержуємо.

$$\frac{\text{dz}}{\text{dx}}+p(x)z+2r(x)y_1(x)z+r(x)z^2=0\text{.}$$.

Перепишемо одержане рівняння у вигляді.

$$\frac{\text{dz}}{\text{dx}}+\left[p(x)+2r(x)y_1(x)\right]z=-r(x)z^2$$ ,.

це рівняння Бернуллі з $$m=2$$ .