Японська храмова геометрія — васан

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ УПРАВЛІННЯ ОСВІТИ І НАУКИ МИКОЛАЇВСЬКОЇ ОБЛДЕРЖАДМІНІСТРАЦІЇ

МИКОЛАЇВСЬКЕ ТЕРИТОРІАЛЬНЕ ВІДДІЛЕННЯ МАЛОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ

ІІ етап Всеукраїнського конкурсу-захисту науково-дослідницьких робіт

Відділення: математика

Секція: прикладної математики

Японська храмова геометрія — васан Роботу виконала: Закірова Діана Ільгамівна, учениця 10 класу Миколаївської МСШ «Академія дитячої творчості»

Науковий керівник: Гозян Наталя Іванівна керівник гуртка

" Математика. Позашкільний компонент" ,

Левченко Олена Євгенівна вчитель-методист МСШ «Академія дитячої творчості» .

Миколаїв — 2011

Зміст

• Вступ
• 1. Історичні аспекти японської храмової математики та сангаку
• 2. Японська математика — васан
• 2.1 Sungaku
• 2.2 Задачі сангаку
• 2.3 Сучасні завдання сангаку
• 3. Теореми японської храмової геометрії
• Висновки
• Використана література

Вступ

Актуальність. Серед великої кількості світових звичаїв та традицій, можливо, жодна не зрівняється по красі та елегантності з традицією сангаку — японської храмової геометрії.

У період Едо (з 1639 по 1854 рік) Японія знаходилась у жорсткій самоізоляції від країн Заходу. Доступ до усіх форм західної культури був заборонений, і приплив наукових ідей із заходу був практично неможливий. Книг з математики, якщо вони взагалі і потрапляли в Японію, було дуже мало, проте увесь цей тривалий період ізоляції люди усіх соціальних шарів, від селян до самураїв, відкривали теореми по геометрії Евкліда, що яскраво відрізнялися від тих, які відкривалися на заході у віки схизми, а часто і випереджали їх на багато років. Саме у цей період ізоляції і досяг розквіту національний різновид математики.

Теореми не публікувалися в книгах, а з’являлися у вигляді прекрасних кольорових малюнків на дерев’яних дощечках, які підвішувалися під дахом в притворах святилищ і храмів.

Прихильники математики, зазвичай самураї, могли вирішувати численні геометричні завдання, оформлювати свої рішення на тонко розфарбованих дерев’яних дощечках і вивішувати ці вироби під дахами релігійних будівель. Виготовлення цих сангаку, що дослівно означає математичну дощечку, могли бути проявами поваги — вдячності до керівного духу — або ж кидання виклику іншим прихильникам: «Виріши це, якщо зможеш!» Загалом, сангаку мали справу зі звичайною геометрією Евкліда. Але завдання ці різко відрізнялися від тих що можна зустріти в типовому курсі геометрію у вищій школі. Кола і еліпси грали в них набагато більшу роль, ніж у західних завданнях: кола, вписані в еліпси, і еліпси в колах. Деякі з них дуже прості і можуть бути вирішені студентами першого курсу. Інші ж практично неймовірні, і сучасні геометри продовжують шукати їх розв’язки за допомогою новітніх методів.

Метою роботи є дослідження традицій японської храмової геометрії у період Едо.

Відповідно до поставленої мети визначені завдання, спрямовані на її досягнення:

— розглянути японську геометрію з історичного ракурсу;

— дізнатись про математичні відкриття у період Едо;

— дослідити традицію сангаку, причини її виникнення та сучасне застосування;

— проаналізувати та запропонувати декілька задач та їх розв’язків для використання на заняттях математичного гуртка Миколаївського територіального відділення МАН.

Об'єктом дослідження є період васан у японській храмовій геометрії, сангаку та теореми епохи Едо.

1. Історичні аспекти японської храмової математики та сангаку

Як і в західній математиці, увага японської математики цього періоду була прикута до розрахунків з алгебри. І навіть геометричні завдання часто розглядалися, як додаток до алгебри. Особливістю періоду Едо є те, що було прийнято застосовувати теорему Піфагора і вирішувати усе за допомогою алгебри.

Найцікавішими відкриттями японської математики того часу можна назвати:

Необхідна і достатня умова того, що у двох поліномів є загальний корінь. R (f, g) = 0, де R — результанта. Цей результат був незалежно отриманий Секі Кова (Токіо) і Ісекі (Осака).

Методи прискорення обчислень — такі, як Д-процес Айткена (Секі) і екстраполяція Ромберга (Такэбэ) (Обидва вони передбачили результати, отримані західними математиками):

1) Численні методи для вирішення лінійних і нелінійних рівнянь багатьох змінних.

2) Вивчення числа позитивних і негативних коренів.

3) Розвиток нескінченних рядів і нескінченних дробів для arctan², мотивованих обчисленням числа (Такэбэ).

4) Аналогічні результати для декількох (зворотних) тригонометричних функцій.

5) Різні формули для інтеграції.

6) Відкриття інверсії, мотивоване спрощенням теорем на кшталт сангаку.

Завдяки ефекту наочності, геометричним завданням вважають за краще сангаку. Існує думка, що сангаку слугували не для демонстрації новітніх результатів (принаймні, не в основному), багато з них були створені студентами для реклами того, як сильно вони розвинулися.

японська храмова геометрія сангаку Розвиток сангаку почався лише після середини епохи Едо. До цього ввезення книг із заходу було жорстко заборонене внаслідок антихристианскої політики. Вказують, що японці займалися вивченням традиційної цивілізації Китаю і не особливо потребували більш просунутих наук/технологій. Тому більшість дослідників згодні, що не було західного впливу на японську математику. Фактично немає причин припускати впливи із заходу — таким безперервним був розвиток від традиційної китайської математики до японської. До того ж, практично ніхто з японських математиків не міг читати голландську мову. З іншого боку вплив традиційної китайської математики і астрономії був істотним, тоді як у Китаї вони були практично заміщені західною математикою і астрономією того часу.

Цей розрив стався внаслідок того, що Китай був окупований варварами (маньчжурами), і Японія у той час підтримувала династію Цинь. Приміром, японські астрономи спочатку не приділяли уваги тогочасним китайським астрономічним документам, а цікавилися древніми китайськими календарями. Зміна сталася після смерті Сэки Кова. Наканэ, лідер школи Сэки, запропонував сегуну зняти заборону на ввезення книг із заходу. Особливо, він правильно вказав на розвиток західної астрономії. В результаті почали ввозитися китайські переклади західних робіт по астрономії. В цей час в Японію ввійшли тригонометрія, сферична тригонометрія і логарифми.

Але навіть тоді японські науковці майже нічому не навчилися. Однією з причин було те, що вони (математики/астрономи) не могли читати голландську мову. Ті ж, хто міг читати, не знали математики. Наприклад, провідний японський астроном (Еситокі Такахасі) переклав книгу Лаландэ з астрономії. Але говорять, що його переклад був практично подібний до опису, що супроводжується рівнянню і малюнками. (Дуже важко побачити відповідність, пропозиції за пропозицією.) Звичайно ж, навіть на початку ери Мэйдзі багато важливих проектів (будівництва, подорожей) ґрунтувалися на традиційній японській математиці, оскільки провідні інженери тих часів навчалися в епоху Едо, і це була єдина математика, яку вони могли правильно використовувати.

Круг класів, що цікавились та займались математикою звичайно ж, був обмежений відносно заможними людьми.

Учителя математики подорожували по всій країні. Вони, загалом, вчили селян і купців. Завдання, які вони розглядали, не були потрібні для практичного застосування. Деякі з них були задля розваги. В цілому культура та наука Японії того часу дуже багато в чому залежала від підтримки заможних купців і селян. Приміром, астрономія другої половини епохи Едо в основному просувалася школою, яка підтримувалася купцями з м. Осака (з неї вийшли деякі важливі учені наприклад — Сигетомі Хадзама).

2. Японська математика — васан

Японська математика, що розвивалась у період Едо (1603−1867), має назву — васан. Вона заснована на китайських математичних книгах з’явившихся в Японії в кінці 16-го століття, коли Хідейосі, правитель Японії, завоював Корейський півострів. Такакадзу (чи Кова) Секі (1642−1708) покращив китайський спосіб алгебраїчний розрахунків визначників, зробивши реальним рішення систем з великою кількістю невідомих. Після цього японська математика почала активно розвиватись за власним оригінальним та відмінним шляхом.

Феодальне правління Японії закрило країну у період Едо. Проте на початку ери Мэйдзі (1868−1912) нове правління відчинила країну і прийняло у якості шкільної програми західну математику. Результатом став захід періоду васан у японській математиці.

Васан вміщує у собі частину аналізу, теорії чисел, комбінаторики та геометрії. Популярні у васан теми — площі кіл, довжини дуг, об'єми перерізів об'ємних тіл та магічні квадрати. Поряд з цим, математики васан вивчали астрономію, геодезію та багато аспектів мистецтва пророцтва. Хоча вони глибоко пізнали аспекти певних речей, не створили теоретичних систем. Наприклад, еліпси вивчались часто. А гіперболи та параболи — майже ніколи. Також часто розглядались ромби, та не паралелограми (окрім декількох виключень). Оскільки більшість книг по васан були написані у вигляді збірників задач, наслідуючи традиції китайських математичних книг, не було необхідності розробляти окремі теми. З іншого боку залишились книги по васан, що розробляли окремі теми. Основна маса геометричних завдань була направлена на знаходження певних параметрів геометричних фігур — таких, як радіус кола, більша (або мала) вісь еліпса, сторона квадрата та подібні визначення.

Наявні дві причини, що прискорили розвиток васан. Перше — ідаі: задачі-виклики в кінці книжки васан. Коли математики васан публікували книгу, вони пропонували у кінці книжки невирішені завдання. Розв’язавши їх читач міг опублікували розв’язок приводячи у кінці книги інші невирішені завдання-виклики. Спроба Секі Кова покращити алгебраїчні розрахунки також була зроблена у ході вирішення подібної задачі-виклику. Друга обставина — це сангаку: дерев’яні таблички математиків. Коли люди знаходили цікаві властивості, чи розв’язували складні завдання, вони записували їх у вигляді задач записаних на дерев’яних дощечках та присвячували їх храмам. Там дощечки вивішувались під стелею. Більшість з цих задач були геометричні та були виконані у вигляді чудових кольорових малюнків. Це був один з методів публікації відкриттів та пропонування нових задач.

Розглянемо деякі приклади. На малюнку 1 зображений магічне коло, аналогічне магічному квадрату. Коло складається з n концентричних кіл та n прямих, що проходять крізь центр. Натуральні числа від 1 до 2n²+1 розташовані на їх перетинах так, що сума чисел, розташованих на будь якому колі та у центрі, дорівнює сумі чисел розташованих на будь-якій з цих прямих. Ця ідея узята з попередніх китайських книг. Секі Кова приводить загальну конструкцію магічних кіл.

На ранніх етапах розвитку васан популярними були задачі на знаходження кола та довжини дуги кола. На наступному етапі частіше розглядались об'єми перетинів трьохвимірних фігур. На малюнку 2 зображена задача Вівіані в васан: сфера радіуса r перетинається двома циліндрами радіуса так, як зображено. Знайти об'єм та площу поверхні частини, що залишилась.

Більшість книг з васан написана на китайській мові, що робить їх читання украй складним для рядового сучасного японця. На додаток, книги з васан мають досить велику цінність, що робить їх украй дорогими, а можливість знайти їх в книжковому магазині - украй складною. Навіть якщо ми і в змозі знайти бібліотеку, в якій зібрані деякі матеріали по васан, то все одно читати їх набагато складніше, ніж інші математичні книги. Перед отриманням бажаних книг ми вимушені проходити певні бюрократичні процедури. Тому більшість японців книг з васан просто не бачили. Вони знайомі із словом васан, але не знають, до яких завдань воно відноситься, навіть якщо вони — учителі математики. Нажаль васан дуже непопулярна в Японії, і мало використовується в шкільних заняттях.

Існує маса завдань васан; деякі з них цікаві, а деякі - ні. Нещодавно Фукагава опублікував книги із завдань васан на японському і англійському з співавторами. У цих книгах можна знайти цікаві завдання. Але складність зі здобиччю джерел васан все ще не здолана. Лише той, хто має доступ до матеріалів васан, може займатися васан впродовж тривалого періоду. Тепер дістати матеріали васан легше завдяки можливостям Інтернету. Знайти завдання можна набравши у будь-якій пошуковій системі ключове слово sangaku. Але багато аспектів васан все одно вимагають вивчення — як історичних, так і математичних.

2.1 Sungaku

Сангаку — це, часто кольорові, дерев’яні дощечки, що виставляються у святилищах синто (а іноді і у буддійських храмах) в Японії, зображуючі математичні завдання. Перші сангаку декількома роками старші за епоху Едо (1603−1867) — часу самоізоляції Японії від країн Заходу.

Цей дивний звичай вивішувати завдання перед храмами брав витік в XVII столітті, і тривав більше двох століть. Можливо, він виник з бажання молитви або схвалення богів, або з того, що це був зручний метод публікації відкриття або з бажання кинути іншим виклик вирішити завдання, на кшталт тому, як студенти в середньовічній Європі вивішували тези на дверях церкви.

В середині XVIII століття населення Едо — майбутнього Токіо — досягало 1.000.000 чоловік. Населення Кіото і Осака складало приблизно по 400.000 чоловік. Найбільше число тих, що дійшли до наших днів сангаку рівне 880. Деякі із завдань ледве помітні. Той, хто не знає їх достатньо добре, може помилитися, дивлячись на плоску дерев’яну дощечку. Число усіх сангаку, створених в період ізоляції, складає приблизно 5000. Виходить, що в середньому, за 250 років сакоку створювалося приблизно 20 сангаку в рік. Але все одно це можна вважати діяльністю невеликого числа шкіл мандруючих математиків.

Багато хто з тих, що дожили до наших днів сангаку укладається в групи пов’язаних завдань. Пов’язані завдання з’являлися не лише в різних святилищах, але і в різних префектурах. Це вказує, що кількість сангаку була пов’язана з подорожами — або мандруючої школи, або окремих людей.

Ці думки не слід тлумачити, як недостатньо високу оцінку феномену сангаку або окремих завдань. Багато хто з цих завдань чарує своєю елегантністю. Їх можна повністю оцінити за те чим вони є. Сангаку було величезним феноменом, але не могло бути так популярно. Числа цього просто не підтверджують.

У цей період математичні ентузіасти втілювали найпрекрасніші геометричні рішення у відмінно ілюстровані дерев’яні дощечки, які прикрашали стіни японських храмів і святилищ.

Багато дослідників епохи Едо відмічають якість та красу. Традиція сангаку була дуже поширена серед математиків, на неї сильно вплинула атмосфера ізоляції. Обмеження припливу інтелектуальних стимулів в цей період самоізоляції - могло породити ріст концентрації на розвитку самобутності.

Завдання сангаку писалися на канбун — китайській писемності для японської аудиторії. Хоча Японія відзначалась високим рівнем грамотності навіть в епоху Едо, канбун залишався японським аналогом латині з очевидними з цього наслідками. Канбун в змозі читати лише невелике число сучасних японців.

Сангаку писалися мовою званому канбун, що використовувала китайські ієрогліфи і переважно китайську граматику, але включала примітні відмітки, що мали японські сенс. Канбун грав роль, схожу з роллю латині на заході, і його вживання в сангаку вказувало на те, що вирішуючий завдання мав високу вченість. Більшість авторів належали до класу самураїв чи до іншої добре освіченої частини населення.

Традиція сангаку з’явилась понад 400 років назад. У Європі в перше століття васан спостерігався розвиток обчислень, але не геометрія, за винятком, можливо, невеликого числа результатів Ейлера. У другу половину васан в Європі залишилося багато документованих прикладів (наприклад, вклад Весселя в комплексні числа) того, як важливі математичні результати математичним співтовариством не помічалися, або ж незалежно відкривалися в різних куточках континенту. У будь-якому випадку, родючість сангаку демонструє ефективність популяризації. Досягаючи широких мас через прекрасні і таємничі дерев’яні дощечки вивішені в місцях богослужінь і скупчень народу, математики отримували базу в японській культурі. Але навіть і це не тривало довго. У XX столітті традиція сангаку була майже повністю забута, оскільки з’явилась змога видавати друковану літературу для широких мас населення.

У епоху самоізоляції Японія прогресивно вивчала західні науки (рангаку, що називалися, дослівно — 'голландські науки') за інформацією і книгами отримуваним через голландських торговців в Дэхима. Основними областями, що вивчалися, були: географія, медицина, природні науки, астрономія, мистецтво, мови, фізичні науки (такі, як вивчення феномену електрики) і механічні науки (прикладом яких може служити розвиток японського годинника — вадокэй, натхненне західними технологіями).

2.2 Задачі сангаку

Завдання сангаку можуть бути дуже корисні та цікаві на шкільних заняттях. Але схоже, що завдання сангаку залишаються привабливими і для сучасних математиків, оскільки вони досить складні і оригінальні.

Подані нижче задачі можна вважати класичними для японської геометрії. Розв’язки інших спираються на доведення саме цих задач.

Завдання 1.5 кіл трьох різних розмірів стикаються так, як показано на малюнку 3. Знаючи радіус найбільшого кола, знайти радіус середньою.

Відповідь полягає в тому, що радіус середнього кола дорівнює половині радіусу великою.

Завдання 2. У квадраті PQRS два кола дотикаються до SP і до кола, вписаному в цей квадрат, причому одна з них торкається PQ, а інша торкається RS.

Нехай A — точка дотику QR і вписаному колу і нехай що проходять через A дотичні двох цих малих кіл перетинають сегмент SP в точках B і C, як показано на малюнку 4. Знаючи радіус великого кола, знайти радіус кола, вписаного в трикутник ABC.

Відповідь полягає в тому що радіус середнього кола тут теж дорівнює половині радіусу великою.

Дано прямокутний трикутник ABC, CD - перпендикуляр, проведений із вершини прямого кута C на AB. Коло з центром у точці O₁ та радіусом r₁ та коло з центром у точці O₂ та радіусом r₂ вписані в трикутники BCD і ACD відповідно (мал.5).

Задача 3. Виразіть BC = x та AC = y через r₁ та r₂.

Розв’язання

AB =

CD =

AD =

BD =

У трикутнику BCD: 2r₁ = x + +

(2r₁ + x) = x (x + y) (1)

Аналогічно в трикутнику ACD:

(2r₂ + x) = x (x + y) (2)

Знайдемо (1): (2): =, звідки y = x (3)

Замінимо y на x:

(2r₁ + x) = x,

звідки x =, (x 0) (4)

Замінимо в (3) x на (4):

y =

Відповідь: x =; y =

2.3 Сучасні завдання сангаку

Більшість задач пропонуються, як задачі з відомою відповіддю. При цьому немає пояснення, як до цього прийти. Тому потрібні певні зусилля, аби вирішити задачу, знайти процес, що приводить до потрібної відповіді. Іноді виходячи з фігур сангаку можна знайти цікаві властивості та конфігурації.

Звернемось до задачі 1 в минулому розділі. Задача каже, що відношення радіусів двох найбільших кіл дорівнює 2. Розглядаючи цю задачу можна помітити цікавий факт: якщо дані 2 зовнішні дотичні кола різних радіусів та дві їх спільні дотичні прямі, та якщо дані 4n рівних малих кола, n з яких лежить у криволінійному трикутнику, створеному цими дотичними і середнім колом, а інші 3n лежать у одному з криволінійних трикутників, створеному двома великими колами та однією дотичною, як це зображено на малюнку 5 (для випадків n=1, n=2), то відношення радіусів великих кіл дорівнює 2 для будь-якого натурального n.

У задачі 2 PQRS — квадрат. Проте якщо PQRS — ромб (див. малюнок 6), то все одно можна зробити певний висновок, а саме: що радіус кола, вписаного у трикутник ABC, дорівнює половині радіуса кола, вписаного у PQRS.

Інший цікавий результат цього завдання — це фрактал (див. малюнок 7), створення якого засноване на тому факті, що відношення радіусів двох вищезгаданих кіл дорівнює 2. Це — приклад рекурсивного комп’ютерного програмування.

3. Теореми японської храмової геометрії

Японська теорема стверджує, що незалежно від того як ми розіб'єм на трикутники вписаний в коло многокутник, сума радіусів вписаних в трикутники кіл величина стала.

Сума радіусів зелених кіл дорівнює сумі радіусів червоних кіл.

І навпаки, якщо сума радіусів вписаних в трикутники кіл не залежить від способу тріангуляції, то многокутник можна вписати в коло. Японська теорема випливає з теореми Карно, це є одною із задач сангаку.

Формула Карно, називається на честь Лазаря Карно. Нижче наведено її формулювання. Нехай ABC вписаний в коло трикутник, тоді сума відстаней від центра описаного кола D до сторін трикутника ABC дорівнює:

де r — радіус вписаного кола, а R — радіус описаного кола. Тут знак відстаней береться негативним тоді і тільки тоді, якщо відрізок DX (X = F, G, H) лежить повністю за межами трикутника. На даному рисунку DF — зі знаком мінус, а DG і DH — зі знаком плюс.

Теорема 1. AB - хорда, CD - діаметр кола з центром у точці O, радіусом r, M - середина AB. Якщо AB = a, CM= b, то:

a² = 4b (2r — b)

Теорема 2. Якщо коло з центром у точці O₁ і радіусом r₁, коло з центром у точці O₂ і радіусом r₂ та коло з центром у точці O₃ і радіусом r₃ дотикаються і вписані в коло з центром O і радіусом R, то

R =

або = 2

Теорема 3. Якщо коло з центром у точці O₁ і радіусом r₁, коло з центром у точці O₂ і радіусом r₂ та коло з центром у точці O₃ і радіусом r₃ дотикаються одне до одного і дотикаються до прямої l, то

r₃ = або =

Доведемо спочатку допоміжне твердження. Нехай два кола з центрами в точках O₁ і O₂ і радіусами r₁ і r₂ дотикаються між собою в точці A і дотикаються до прямої l у точках B і C

Тоді BC =

Доведення. Точка A є точкою дотику, тому вона лежить на прямій O O 1 2. Проведемо діаметри BD і CE; вони будуть паралельними як перпендикулярні до однієї прямої BC. Сполучимо точку A з кінцями відрізків BD і CE. Трикутники DO₁A і AO₂C — рівнобедрені. DO₁A = AO₂C як внутрішньо різносторонні. Звідси O₁AD = O₂AC і точки D, A, C лежать на одній прямій. Аналогічно й точки B, A, E лежать на одній прямій. ACB = AEC, оскільки в сумі з ACE обидва ці кута дають 90. Тому прямокутні трикутники DCB і BEC подібні. З їх подібності маємо 2r_1: x = x: 2r_2, звідки x = 2. Використаємо доведене твердження для подальшого доведення теореми. Оскільки C₁C₂ = C₁C₃ + C₂C₃, тоді. Поділивши на, дістанемо: .

Теорема 4. Якщо коло з центром у точці O₁ і радіусом r₁, дотикається до кіл із центрами O₂, O₃, O₄ та радіусами r₂, r₃, r₄ відповідно, коло з центром у точці O₂ і радіусом r₂ дотикається до кіл із центрами в точках O₃, O₅, та радіусами r₃, r₅, кола с центрами в точках O₅, O₃, O₄ та відповідними радіусами r₅, r₃, r₄ дотикаються між собою, кола з центрами в точках O₁, O₂, O₃, O₄ та відповідними радіусами r₁, r₂, r₃, r₄ дотикаються до прямої l, то

r₄ =, r₅ = .

Теорема 5. Якщо коло з центром у точці O₁ і радіусом r₁ дотикається до кіл із центрами O₂, O₃, O₄ та радіусами r₂, r₃, r₄ відповідно, коло з центром у точці O₃ і радіусом r₃ дотикається до кіл із центрами в точках O₂, O₄ та радіусами r₂, r₄ відповідно, кола з центрами в точках O₂, O₃, O₄ та відповідними радіусами r₂, r₃, r₄ дотикаються до прямої l, то

4r₁ = .

Теорема 6. Якщо коло з центром у точці O₁ і радіусом r₁, дотикається до кіл із центрами O₂, O₃, O₄, O₅ та радіусами r₂, r₃, r₄, r₅ відповідно, коло з центром у точці O₃ і радіусом r₃, дотикається до кіл з центрами в точках O₂, O₄ та радіусами r₂, r₄ відповідно, коло з центром у точці O₄ і радіусом r₄ дотикається до кола з центром в точці O₅ і радіусом r₅, кола з центрами в точках O₂, O₃, O₄ та відповідними радіусами r₂, r₃, r₄ дотикаються до прямої l, то

= .

Теорема 7. Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, ділить його на 2 трикутники. Доведіть, що сума радіусів кіл, вписаних у цей трикутник і у два одержаних, дорівнює висоті даного трикутника.

Доведення. Спочатку згадаємо лему. Якщо катети прямокутного трикутника a і b, а гіпотенуза c, то радіус вписаного кола r = (a + b — c).

Нехай дано довільний трикутник ABC зі сторонами a, b, c, висотою CH = h, а радіуси кіл, вписаних у трикутники ABC, ACH, BCH, дорівнюють r, r₁, r₂. Згідно з лемою,

r + r₁ + r₂ = (a + b — a_{1 -} b₁) + (a₁ + h — a) + (b₁ + h — b) = h

Отже, r + r₁ + r₂ = h.

Висновки

У роботі розглянуто задачі і базові теореми японської храмової геометрії. Розв’язуючи ці задачі, доводячи теореми, відчуваєш велике задоволення: настільки вони гарні й несподівані. А ще починаєш розуміти те, про що раніше й не здогадувався. У ті часи, коли у східній Європі спеціалісти нерідко не вміли правильно обчислити площу трикутника, не мали геть найпростіших геометричних знань, японські геометри відкривали заховані таємниці геометрії кіл. Ще й демонстрували ці відкриття в японських храмах. Уже з моєї невеликої добірки можна зробити висновок про високий естетичний рівень задач Японської храмової геометрії. Впадає в очі також те, що в кожній з них головною дійовою особою є коло. І це не випадково. Практично вся Японська храмова геометрія є своєрідним «численням кіл». Тим самим підтверджується ідея: «коло — це душа геометрії; найкрасивіші, важкі і змістовні геометричні задачі стосуються геометрії кіл» .

Розв’язування задач японської храмової геометрії позитивно впливає на розвиток думки, а також просторової та графічної уяви. Більш того, задачі про кола запропоновані на багатьох математичних конкурсах та олімпіадах, тому знання поданих теорем є невід'ємною частиною вашого успіху на різноманітних математичних конкурсах.

Використана література

1. H. Fukagawa, D. Pedoe, Japanese Temple Geometry Problems, The Charles Babbage Research Center, Winnipeg, 1989

2. http://webmath. exponenta.ru/

3. H. Fukagawa, A. Rothman, Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry, Princeton University Press, 2008

4. J. Konhauser, D. Velleman, S. Wagon, Which Way Did the Bicycle Go?, MAA, 1996, #50

5. S. Roberts, King of Infinite Space, Walker & Company, 2006

6. D. E. Smith and Yoshi

7. Fukagawa, Sokolowsky, 1994

8. Okumura, proc. 1999.