Багатофакторний кореляційно-регресійний аналіз (реферат)

Багатофакторний кореляційно-регресійний аналіз У багатьох випадках на результативну ознаку впливає не один, а кілька факторів Між факторами існують складні взаємозв'язки, тому їхній вплив на результативну ознаку с комплексним, а не просто сумою ізольованих впливів Багатофакторний кореляційно-регресійний аналіз дає змогу оці­нити міру впливу на досліджуваний результативний показник кожного із введених у модель факторів при фіксованому положенні на середньому рівні інших факторів Важливою умовою с відсутність функціональ­ного зв’язку між факторами Математично завдання зводиться до знаходження аналітичного виразу, котрий якнайкраще відображував би зв’язок факторних ознак з результативною, тобто знайти функцію.

$$\widehat{Y}$$ =f (X1,X2,X3,…, Хп).

Найскладнішою проблемою є вибір форми зв’язку, аналітичного виразу зв’язку, На підставі чого за наявними факторами визначають результативну ознаку-функцію Ця функція мас краще за інші відо­бражати реальні зв’язки між досліджуваним показником і факторами. Емпіричне обгрунтування типу функції за допомогою графічного аналізу зв’язків для багатофакторних моделей майже непридатне. Форму зв’язку можна визначати добиранням функцій різних типів, але це пов’язане з великою кількістю зайвих розрахунків. Зважаючи на те, що будь-яку функцію багатьох змінних шляхом логарифмування або заміни змінних можна звести до лінійного вигляду, рівняння множинної регресії можна виразити у лінійній формі:

$$\widehat{Y}$$ = a0 + a1X1 + a2X2 + …+anXn.

Параметри рівняння обчислюють способом найменших квадратів Так, для розрахунку параметрів рівняння лінійної двофакторноі регресії.

$${\widehat{Y}}_{х}$$ = a0 + a1X1 + a2X2,.

де $${\widehat{Y}}_{х}$$ — розрахункові значення результативної ознаки-функціїХ1 і Х2 — факторні ознакиa0, al i a2 — параметри рівняння, які можна обчислити способом найменших квадратів, розв’язавши систему нор­мальних рівнянь:

$$\begin{array}{c}Y={\text{na}}_0+a_1{X}_1+a_2{X}_2-\\ {\text{YX}}_1=a_0{X}_1+a_1{X}_{1^2}+a_2{X}_1{X}_2-\\ {\text{YX}}_2=a_0{X}_2+a_1{X}_1{X}_2+a_2{X}_{2^2}\text{.}\end{array}$$.

Кожний коефіцієнт рівняння вказує на ступінь впливу відпо­відного фактора на результативний показник при фіксованому поло­женні решти факторів, тобто як зі зміною окремого фактора на одиницю змінюється результативний показник Вільний член рівнян­ня множинної регресії економічного змісту не має.

Звернемося до прикладу Стаж роботи, тарифний розряд і денна заробітна плата десяти робітників підприємства характеризуються певними даними (табл.1) Треба встановити залежність заробітної плати Y від двох факторів, стажу роботи робітників X, і тарифного розряду Х2. Заповнимо розрахункову таблицю.

Таблиця 1. Розрахункові дані до визначення рівняння зв’язку.

Підставимо знайдені дані в систему нормальних рівнянь:

106= 10а0 + 87а1 + 41 а2,.

1183 = 87а0 + 1009а1 + 416а2;

502 = 41а0 + 416а1 + 189а2.

Для розв’язання системи нормальних рівнянь поділимо всі члени рівнянь на коефіцієнти при а0:

10,6 = а0 + 8,73, + 4,1а1;

13,6 = а0 + 11,6а1 + 4,78а2;

12,244 = а0 + 10,146а1 + 4,61а2.

Віднімемо від другого рівняння перше, а від третього рівняннядруге:

3 = 2,9а1 + 0,68а2;

— 1,356 = -1,454а1−0,17а2.

Розділимо кожний член обох рівнянь на коефіцієнт при а1 і віднімемо від першого рівняння друге:

1,034 = а1 + 0,234а2.

;

0,932 = а1 +0,117а2.

0,102 = 0,117а2,.

звідки.

a2 = $$\frac{\mathrm{0,}\text{102}}{\mathrm{0,}\text{117}}$$ = 0,872.

Підставивши параметр а2 у рівняння, дістанемо а1 = 1,034−0,234 * 0,872 = 0,83;

а0 = 10,6−8,7 * 0,83−4,1 * 0,872 = - 0,196.

Рівняння зв’язку, яке визначає залежність результативної ознаки від двох факторних, .має такий вигляд:

$$\widehat{Y}$$ = -0,196 + 0,83×1+0,872×2.

Отже, зі збільшенням стажу роботи робітника на 1 рік денна заробітна плата підвищується на 0,83 грн., а при підвищенні тарифного розряду на одиницю денна заробітна плата зростає на 0,872 грн.

Підставивши в рівняння значення X1 і Х2, дістанемо відповідні зна­чення змінної середньої (остання графа табл. 1), які досить близько відтворюють фактичні рівні заробітної плати Це свідчить про правильний добір форми математичного вираження кореляційного зв’язку між трьо­ма досліджуваними ознаками.

Однак на підставі коефіцієнтів регресії не можна судити, яка з факторних ознак найбільше впливає на результативну, оскільки коефіцієнти регресії між собою непорівняльні, адже їх виражено різними одиницями 3 метою виявлення порівняльної сили впливу окремих факторів та їхніх резервів, статистика обчислює часткові коефіцієнти еластичності $${}_1$$, а також бета-коефіцієнти $${}_1$$, за форму­лами:

$${}_{і}={а}_{і}\frac{{\stackrel{}{Х}}_i}{\stackrel{}{Y}}-\begin{array}{cc}& \end{array}{}_i=a_i\frac{{}_{x_i}}{{}_y},$$.

де аі - коефіцієнт регресії при і-му факторі- $${\stackrel{}{X}}_i$$ — середнє значення і-го фактора- $$\stackrel{}{Y}$$ — середнє значення результативної ознаки- $${}_{x_i}$$ — середнє квадратичне відхилення і-го фактора- $${}_y$$ — середнє квадра­тичне відхилення результативної ознаки.

Часткові коефіцієнти еластичності є показують, на скільки про­центів у середньому зміниться результативна ознака при зміненні на 1% кожного фактора та фіксованому положенні інших факторів.

Для визначення факторів, які мають найбільші резерви поліпшен­ня досліджуваної ознаки, з урахуванням ступеня варіації факторів, закладених у рівняння множинної регресії, обчислюють часткові $$$$ -коефіцієнти, які показують, на яку частину середнього квадратич­ного відхилення змінюється результативна ознака при змінені від­повідної факторної ознаки на значення її середнього квадратичного відхилення.

На підставі даних наведеного прикладу (табл. 1) обчислимо коефіцієнти еластичності і $$$$ — коефіцієнти:

$$\begin{array}{c}{}_1={а}_1\frac{{\stackrel{}{Х}}_1}{\stackrel{}{Y}}=\mathrm{0,}\text{83}\frac{\mathrm{8,7}}{\text{10}\mathrm{,\; 6}}=\mathrm{0,}\text{681}-\\ {}_2={а}_2\frac{{\stackrel{}{Х}}_2}{\stackrel{}{Y}}=\mathrm{0,}\text{872}\frac{\mathrm{4,1}}{\text{10}\mathrm{,\; 6}}=\mathrm{0,}\text{337}\text{.}\end{array}$$.

Аналіз часткових коефіцієнтів еластичності показує, що за абсо­лютним приростом найбільший вплив на заробітну плату робітників має стаж роботи — фактор Х1, зі збільшенням якого на 1% заробіток під­вищується на 0,68%, а при збільшенні тарифного розряду на 1% заробітна плата підвищується на 0,34%.

Для розрахунку $$$$ — коефіцієнтів потрібно обчислити відповідні середи квадратичні відхилення:

$$\begin{array}{c}{}_{x_1}=\sqrt{{\stackrel{}{X}}_1^2-({\stackrel{}{X}}_1{)}^2}=\sqrt{\text{100}\mathrm{,\; 9}-{\mathrm{8,7}}^2}=\sqrt{\text{25},\text{21}}=\mathrm{5,}\text{02}-\\ {}_{x_2}=\sqrt{{\stackrel{}{X}}_2^2-({\stackrel{}{X}}_{\text{21}}{)}^2}=\sqrt{\text{18}\mathrm{,\; 9}-{\mathrm{4,1}}^2}=\sqrt{\mathrm{2,}\text{09}}=\mathrm{1,}\text{44}-\\ {}_y=\sqrt{{\stackrel{}{Y}}^2-(\stackrel{}{Y}{)}^2}=\sqrt{\text{141}\mathrm{,\; 8}-\text{10}{\mathrm{,\; 6}}^2}=\sqrt{\text{29},\text{44}}=\mathrm{5,}\text{42},\end{array}$$.

тоді.

$$\begin{array}{c}{}_1=a_1\frac{{}_{x_1}}{{}_y}=\mathrm{0,}\text{83}\frac{\mathrm{5,}\text{02}}{\mathrm{5,}\text{42}}=\mathrm{0,}\text{769}-\\ {}_2=a_2\frac{{}_{x_2}}{{}_y}=\mathrm{0,}\text{872}\frac{\mathrm{1,}\text{44}}{\mathrm{5,}\text{42}}=\mathrm{0,}\text{232}\text{.}\end{array}$$.

Аналіз $$$$ — коефіцієнтів показує, що на заробітну плату робітників найбільший вплив із двох досліджуваних факторів з урахуванням їхньої варіації мас фактор X1 — стаж роботи, бо йому відповідає найбільше значення $$$$ — коефіцієнта.

Для характеристики щільності зв’язку в множинній лінійній ко­реляції використовують множинний коефіцієнт кореляції.

$$R_{{\text{yx}}_1{x}_2}=\sqrt{\frac{r^{2_{{\text{yx}}_1}}+r^{2_{{\text{yx}}_2}}-2r_{{\text{yx}}_1}{r}_{{\text{yx}}_2}{r}_{x_1{x}_2}}{1-r^{2_{x_1{x}_2}}}},$$.

де $$r_{{\text{yx}}_1},r_{{\text{yx}}_2},r_{x_1{x}_2}$$ — парні коефіцієнти лінійної кореляції:

$$\begin{array}{c}{r}_{{\text{yx}}_1}=\frac{\stackrel{}{Y}{\stackrel{}{X}}_1-\stackrel{}{Y}{\stackrel{}{X}}_1}{{}_y{}_{x_1}}-\\ r_{{\text{yx}}_2}=\frac{\stackrel{}{Y}{\stackrel{}{X}}_2-\stackrel{}{Y}{\stackrel{}{X}}_2}{{}_y{}_{x_2}}-\\ r_{x_1{x}_2}=\frac{{\stackrel{}{X}}_1\stackrel{}{X_2}-{\stackrel{}{X}}_1{\stackrel{}{}X}_2}{{}_{x_1}{}_{x_2}}\text{.}\end{array}$$.

Множинний коефіцієнт кореляції показує, яку частину загальної кореляції складають коливання, під впливом факторів Х1, Х2, …, Хп, закладених у багатофакторну модель для дослідження.

Множинний коефіцієнт кореляції коливається в межах від 0 до ± 1 При R = 0 зв’язку між досліджуваними ознаками немає, при R = 1 — зв’язок функціональний.

Перш ніж розраховувати множинний коефіцієнт кореляції, потрібно обчислити парні коефіцієнти кореляції:

$$\begin{array}{c}{r}_{{\text{yx}}_1}=\frac{\stackrel{}{Y}{\stackrel{}{X}}_1-\stackrel{}{Y}{\stackrel{}{X}}_1}{{}_y{}_{x_1}}=\frac{\text{118}\mathrm{,\; 3}-\text{10}\mathrm{,\; 6}\mathrm{8,7}}{\mathrm{5,}\text{42}\mathrm{5,}\text{02}}=\mathrm{0,}\text{995}-\\ r_{{\text{yx}}_2}=\frac{\stackrel{}{Y}{\stackrel{}{X}}_2-\stackrel{}{Y}{\stackrel{}{X}}_2}{{}_y{}_{x_2}}=\frac{\text{50}\mathrm{,\; 2}-\text{10}\mathrm{,\; 6}\mathrm{4,1}}{\mathrm{5,}\text{42}\mathrm{1,}\text{44}}=\mathrm{0,}\text{864}-\\ r_{x_1{x}_2}=\frac{{\stackrel{}{X}}_1\stackrel{}{X_2}-{\stackrel{}{X}}_1{\stackrel{}{}X}_2}{{}_{x_1}{}_{x_2}}=\frac{\text{41}\mathrm{,\; 6}-\mathrm{8,7}\mathrm{4,1}}{\mathrm{5,}\text{02}\mathrm{1,}\text{44}}=\mathrm{0,}\text{820}\text{.}\end{array}$$.

Високі значення парних коефіцієнтів кореляції свідчать про сильний вплив (окремо) стажу роботи і тарифного розряду на заробітну плату робітників.

На основі парних коефіцієнтів кореляції можна обчислити часткові коефіцієнти кореляції першого порядку:

$$\begin{array}{c}{r}_{{\text{yx}}_1(x_2)}=\frac{r_{{\text{yx}}_1}-r_{{\text{yx}}_2}{r}_{x_1{x}_2}}{\sqrt{(1-r_{{\text{yx}}_2}^2)(1-r_{x_1{x}_2}^2)}}=\frac{\mathrm{0,}\text{995}-\mathrm{0,}\text{864}\mathrm{0,}\text{820}}{\sqrt{(1-\mathrm{0,}{\text{864}}^2)(1-\mathrm{0,}{\text{820}}^2)}}=\frac{\mathrm{0,}\text{286}}{\mathrm{0,}\text{293}}=\mathrm{0,}\text{976}-\\ r_{{\text{yx}}_2(x_1)}=\frac{r_{{\text{yx}}_2}-r_{{\text{yx}}_1}{r}_{x_1{x}_2}}{\sqrt{(1-r_{{\text{yx}}_1}^2)(1-r_{x_1{x}_2}^2)}}=\frac{\mathrm{0,}\text{864}-\mathrm{0,}\text{995}\mathrm{0,}\text{820}}{\sqrt{(1-\mathrm{0,}{\text{995}}^2)(1-\mathrm{0,}{\text{820}}^2)}}=\frac{\mathrm{0,}\text{0481}}{\mathrm{0,}\text{0572}}=\mathrm{0,}\text{841}\text{.}\end{array}$$.

Як бачимо з розрахунків часткових коефіцієнтів кореляції, зв’язок кожного фактора з досліджуваним показником за умови комплексної взаємодії факторів дещо слабший, але достатньо щільний.

Для виявлення щільності зв’язку між результативною ознакою і обома факторними ознаками водночас обчислюємо сукупний коефіцієнт множинної кореляції.

$$\begin{array}{c}{R}_{{\text{yx}}_1{x}_2}=\sqrt{\frac{r_{{\text{yx}}_1}^2+r_{{\text{yx}}_2}^2-2r_{{\text{yx}}_1}{r}_{{\text{yx}}_2}{r}_{x_1{x}_2}}{1-r_{x_1{x}_2}^2}}=\\ =\sqrt{\frac{\mathrm{0,}{\text{995}}^2+\mathrm{0,}{\text{864}}^2-2\mathrm{0,}\text{995}\mathrm{0,}\text{864}\mathrm{0,}\text{820}}{1-\mathrm{0,}{\text{820}}^2}}=\sqrt{\mathrm{0,}\text{995}}=\mathrm{0,}\text{998}\text{.}\end{array}$$.

Обчислений коефіцієнт множинної кореляції R = 0,998 показує, що між двома факторними і результативною ознаками існує достатньо щільний зв’язок.

Сукупний коефіцієнт множинної детермінації R2 = 0,995 свідчить про те, що варіація заробітної плати робітників на 99,5% зумовлюється двома факторами (стажем роботи і тарифним розрядом), уведеними в кореляційну модель. Це означає, що вибрані фактори суттєво впливають на досліджуваний показник.

Аби поглибити економічний аналіз, збільшують кількість суттєвих факторів, які вводять у модель досліджуваного показника і будують багатофакторні рівняння регресії, використовуючи сучасні методи і засоби обчислювальної техніки.