Порівняльна характеристика геометричних місць точок на площині і в просторі (реферат)

Геометричні місця точок.

На площині

У просторі

1

2

1. Геометричне місце точок, кожна з яких віддалена від даної точки О на відстань, рівну a, є коло радіуса a з центром у точці О.

2. Геометричне місце точок, відстань яких від даної точки О не перевищує довжини a даного відрізка, є круг з центром у точці О радіуса a.

3. Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від двох даних точок, А і В, є пряма l, яка проходить через середину С відрізка АВ перпендикулярно до нього.

4. Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від трьох неколінеарних точок А, В, С, є точка О — центр кола, описаного навколо трикутника АВС.

5. Геометричне місце точок, віддалених від даної прямої l на відстань a, є дві прямі m i n, паралельні прямій l і віддалені від неї на відстань a.

6. Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних прямих a, b, є пряма c — вісь симетрії цих прямих, якщо a||b, або дві взаємно перпендикулярні прямі m i n — бісектриси вертикальних кутів, утворених при перетині даних прямих, якщо a x b = 0.

Зауваження.

Поверхня гіперболічного параболоїда може бути описана прямою, яка при своєму русі перетинає дві мимобіжні прямі a, b і залишається весь час паралельною до $$$$ — площини їх паралелелізму.

7. Геометричне місце точок, рівновіддалених від трьох прямих a, b, c, є: точка 0, якщо a x b x с = 0 — дві точки M, N, якщо a||b, с перетинає їх (M, N — точки перетину бісектрис кутів, утворених непаралельними прямими) — чотири точки K, L, M, N — центри вписаного і зовні вписаних кіл трикутника АВС (А = b x c, B = a x c, C = a x b), або якщо прямі a, b, с паралельні.

1. Геометричне місце точок, кожна з яких віддалена від даної точки О на відстань, рівну a, є сфера радіуса a з центром у точці О.

2. Геометричне місце точок, відстань яких від даної точки О не перевищує довжини a даного відрізка, є куля з центром у точці О радіуса a.

3. Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від двох даних точок, А і В, є площина $$$$

яка проходить через середину С відрізка АВ перпендикулярно до нього.

4. Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від трьох неколінеарних точок А, В, С, є пряма, яка проходить через точку О — центр кола, описаного навколо трикутника АВС, перпендикулярно до площини $$$$ трикутника АВС.

5. Геометричне місце точок, віддалених від даної прямої l на відстань a, є кругова циліндрична поверхня радіуса a з віссю симетрії l.

6. Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних прямих a, b, є площина якщо a||b, або дві взаємно перпендикулярні щини які проходять через бісектриси вертикальних кутів, утворених прямими a і b, якщо a x b = 0, або гіперболічний параболоїд, якщо a і b мимобіжні.

7. Геометричне місце точок, рівновіддалених від трьох прямих a, b, c, які лежать в одній площині є: пряма m, яка проходить через точку 0 = a x b x с і перпендикулярна до площини дві прямі m, n, які перпендикулярні до площини і проходять через точки M, N перетину бісектрис кутів, утворених непаралельними прямимиякщо a||b, с перетинає їхчотири прямі k, l, m, n, перпендикулярні до площини точках K, L, M, N — центрах вписаного і зовні вписаних кіл трикутника АВС (А = b x c, B = a x c, C = a x b), або якщо прямі a, b, с паралельні.

На площині

У просторі

11. Геометричне місце точок, з яких даний відрізок АВ видно під прямим кутом, є коло з діаметром АВ без точок А, В.

12. Геометричне місце точок, з яких даний відрізок АВ видно під кутом є два сегменти, що містять даний кут спираються на даний відрізок АВ без точок А, В.

13. Геометричне місце точок площини, для кожної з яких сума відстаней від двох даних точок F1 і F2 цієї ж площини є величина стала, більша відстані між F1 і F2, називається еліпсом.

14. Геометричне місце точок площини, для кожної з яких абсолютна величина різниці відстаней від двох даних точок F1 і F2 цієї ж площини є величина стала, менша відстані між F1 і F2, називається гіперболою.

15. Геометричне місце точок площини, для кожної з яких відстань до даної точки F дорівнює відстані до даної прямої d, яка не проходить через точку F, називається параболою.

16. Геометричне місце точок площини, для кожної з яких різниця квадратів відстаней від двох даних точок, А та В цієї ж площини є величина стала і дорівнює квадрату довжини m даного відрізка, є перпендикуляр до відрізка АВ в точці D, віддалений від середини О відрізка АВ = a на відстань $$\frac{m^2}{2a}$$.

.

17. Геометричне місце точок площини, для кожної з яких сума квадратів відстаней від двох даних точок, А та В цієї ж площини є величина стала і дорівнює квадрату довжини m даного відрізка, є коло з центром в точці О (середина відрізка АВ = a) і.

радіусом r = $$\frac{\sqrt{2m^2-a^2}}{2}$$ .

11. Геометричне місце точок, з яких даний відрізок АВ видно під прямим кутом, є сфера з діаметром АВ без точок А, В.

12. Геометричне місце точок, з яких даний відрізок АВ видно під кутом є торова поверхня, одержана від обертання сегмента, що містить даний кут спирається на даний відрізок АВ, навколо прямої АВ без точок А, В.

13. Геометричне місце точок простору, для кожної з яких сума відстаней від двох даних точок F1 і F2 простору є величина стала, більша відстані між F1 і F2, називається еліпсоїдом обертання.

14. Геометричне місце точок простору, для кожної з яких абсолютна величина різниці відстаней від двох даних точок F1 і F2 простору є величина стала, менша відстані між F1 і F2, називається двопорожнинним гіперболоїдом обертання.

15. Геометричне місце точок простору, для кожної з яких відстань до даної точки F дорівнює відстані до даної площини яка не проходить через точку F, називається параболоїдом обертання.

16. Геометричне місце точок простору, для кожної з яких різниця квадратів відстаней від двох даних точок, А та В простору є величина стала і дорівнює квадрату довжини m даного відрізка, є площина, перпендикулярна до відрізка АВ в точці D, віддаленій від середини О відрізка АВ = a на відстань $$\frac{m^2}{2a}$$.

.

17. Геометричне місце точок простору, для кожної з яких сума квадратів відстаней від двох даних точок, А та В простору є величина стала і дорівнює квадрату довжини m даного відрізка, є сфера з центром в точці О (середина відрізка АВ = a) і.

радіусом r = $$\frac{\sqrt{2m^2-a^2}}{2}$$ .

На площині

У просторі

Точка Пряма Дві паралельні прямі.

Коло.

Пряма Площина.

Циліндрична поверхня

Сфера.

18. Геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють будь-яке рівняння 1-го степеня відносно х, у, є пряма.

18. Геометричне місце точок простору, координати яких задовольняють будь-яке рівняння 1-го степеня відносно х, у, z, є площина.

1). Рівняння прямої, заданої точкою М0 і вектором нормалі n.

a (x) + b (y — y0) = 0,.

де M0(x0- y0) $$$$ l, n (ab) $$$$ l.

2). Загальне рівняння прямої.

aх + bу +c = 0,.

де n (ab) — вектор нормалі прямої.

3). Рівняння прямої «у відрізках на осях»: $$\frac{х}{а}$$ + $$\frac{у}{b}$$ = 1, де А (а-0), В (0-b) очки перетину прямої з осями координат.

4). Нормальне рівняння прямої.

x cos sin p = 0,.

де р — відстань від початку координат до прямої,.

n0(cosіnодиничний вектор нормалі прямої.

19. Геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють рівняння $$\frac{x^2}{a^2}$$ + $$\frac{y^2}{b^2}$$ =1, є еліпс.

20. Геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють рівняння $$\frac{x^2}{a^2}$$ ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >y2b2 =1, є гіпербола.

21. Геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють рівняння $$\frac{x^2}{a^2}$$ ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >y2b2 1, є гіпербола.

22. Геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють рівняння у2 = 2рх, є парабола.

1). Рівняння площини, заданої точкою М0 і вектором нормалі n.

a (x) + b (y — y0) + c (z — z0) = 0,.

де M0(x0- y0- z0) $$$$ $$$$, n (ab, c) $$$$ $$$$ .

2). Загальне рівняння площини.

aх + bу +сz + d = 0,.

де n (a-b-c) — вектор нормалі площини.

3). Рівняння площини «у відрізках на осях»: $$\frac{х}{а}$$ + $$\frac{у}{b}$$ + $$\frac{z}{c}$$ = 1, де А (а-0−0), В (0-b-0), С (0−0-с) очки перетину площини з осями координат.

4). Нормальне рівняння площини.

x cos $$$$ + y cos cos= 0,.

де р — відстань від початку координат до площини,.

n0(cosssодиничний вектор нормалі площини.

19. Геометричне місце точок простору, координати яких задовольняють рівняння $$\frac{x^2}{a^2}$$ + $$\frac{y^2}{b^2}$$ + $$\frac{z^2}{c^2}$$ =1, є еліпсоїд.

20. Геометричне місце точок простору, координати яких задовольняють рівняння $$\frac{x^2}{a^2}$$ ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >y2b2 + $$\frac{z^2}{c^2}$$ 1, є двопорожнинний гіперболоїд.

21. Геометричне місце точок простору, координати яких задовольняють рівняння $$\frac{x^2}{a^2}$$ ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >y2b2 + $$\frac{z^2}{c^2}$$ =1, є однопорожнинний гіперболоїд.

22. Геометричне місце точок простору, координати яких задовольняють рівняння $$\frac{x^2}{a^2}$$ + $$\frac{y^2}{b^2}$$

= 2ру, є еліптичний параболоїд.

На площині

У просторі

23. Ах + Ву + С = 0. Рівняння прямої загального положення, паралельної вектору a (А).

24. $$\frac{x^2}{a^2}$$

+.

= 1. Рівняння еліпса.

25. х2 + у2 = r2. Рівняння кола радіуса r з центром у точці О (0- 0).

26. х2 + у2 = 0.

Рівняння задовольняють координати точки О (0- 0).

27. $$\frac{x^2}{a^2}$$ math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >y2b2 = 1. Рівняння гіперболи.

28. х2 2 = 0, або:

(х — у)(х + у) = 0, або:

$$[\begin{array}{c}x-y=\mathrm{0,}\\ x+y=0\text{.}\end{array}$$.

Рівняння двох прямих, що перетинаються в точці О (0−0). Бісектриси координатних кутів І і IІІ, ІІ і ІV.

29. у2 = 2рх. Рівняння параболи.

30. у2 — a2 = 0, або.

(у — a)(у + a) = 0, або:

$$[\begin{array}{c}y=a,\\ y=-a\text{.}\end{array}$$.

Рівняння двох прямих, паралельних координатній осі x.

23. Ах + Ву + С = 0. Рівняння площини, паралельної осі z.

24. $$\frac{x^2}{a^2}$$

+.

= 1. Рівняння еліптичного циліндра з твірною, паралельною до осі z, напрямною якого є еліпс: $$\{\begin{array}{c}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\mathrm{1,}\\ z=0\text{.}\end{array}$$.

25. х2 + у2 = r2. Рівняння колового циліндра з твірною, паралельною осі z, напрямною якого є коло: $$\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=r^2,\\ z=0\text{.}\end{array}$$.

26. х2 + у2 = 0. Рівняння осі z.

27. $$\frac{x^2}{a^2}$$ math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >y2b2 = 1. Рівняння гіперболічного циліндра з твірною, паралельною осі z, напрямною якого є гіпербола: $$\{\begin{array}{c}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\mathrm{1,}\\ z=0\text{.}\end{array}$$.

28. х2 2 = 0, або:

$$[\begin{array}{c}x-y=\mathrm{0,}\\ x+y=0\text{.}\end{array}$$.

Рівняння двох площин, що перетинаються по осі z. Бісекторні площини двогранних кутів, утворених координатними площинами (xz) і (yz).

29. у2 = 2рх. Рівняння параболічного циліндра з твірною, паралельною осі z, напрямною якого є парабола:

$$\{\begin{array}{c}{y}^2=2\text{px},\\ z=0\text{.}\end{array}$$.

30. у2 — a2 = 0, або:

$$[\begin{array}{c}y=a,\\ y=-a\text{.}\end{array}$$.

Рівняння двох площин, паралельних координатній площині (xz).

На площині.

У просторі.

1. Знайти геометричне місце середин відрізків, що сполучають дану точку, А з точками даної.

прямої l.

Таким ГМТ є пряма, паралельна даній і віддалена від неї на відстані $$\frac{1}{2}$$ l).

2. Знайти геометричне місце центрів кіл, які дотикаються до даної прямої в даній точці.

Таким ГМТ є пряма, перпендикулярна до даної прямої в даній точці.

3. Знайти геометричне місце центрів кіл, які дотикаються до даного кола в даній точці.

Таким ГМТ є пряма, яка проходить через центр даного кола і дану точку.

4. Знайти геометричне місце центрів кіл радіуса R, що дотикаються до даної прямої.

Таким ГМТ є дві прямі, паралельні даній і віддалені від неї на відстань R.

5. Знайти геометричне місце центрів кіл, які дотикаються до двох даних паралельних прямих.

Таким ГМТ є вісь симетрії даних прямих.

6. Знайти геометричне місце центрів кіл, які проходять через дані точки, А і В.

Таким ГМТ є серединний перпендикуляр відрізка АВ.

7. Знайти геометричне місце вершин трикутників, рівновеликих даному трикутнику АВС, які мають з ним спільну основу АВ.

Таким ГМТ є дві прямі, паралельні основі АВ і віддалені від неї на відстань hc, що дорівнює довжині висоти трикутника АВС.

8. Знайти геометричне місце центрів кіл радіуса R, що проходять через точку О.

Таким ГМТ є коло з центром О радіуса R.

9. Дано дві різні точки, А і В. Знайти геометричне місце основ перпендикулярів, опущених з точки, А на прямі, проведені через точку В.

Таким ГМТ є коло, діаметром якого є відрізок АВ.

10. Дано дві різні точки, А і В. Знайти геометричне місце точок, кожна з яких симетрична з точкою, А відносно деякої прямої, яка проходить через точку В.

Таким ГМТ є коло з центром у точці В радіуса АВ.

11. Знайти геометричне місце середин хорд кола з центром О, проведених через точку А, розташовану всередині кола.

Таким ГМТ є коло, діаметром якого є відрізок ОА.

12. Знайти геометричне місце середин хорд даного кола, паралельних даній прямій АВ.

Таким ГМТ є діаметр кола (без його кінців), перпендикулярний до прямої АВ.

13. Дано коло радіуса r. Знайти геометричне місце точок, симетричних до його центру відносно кожної точки цього кола.

Таким ГМТ є коло радіуса 2r, концентричне з даним.

14. Знайти геометричне місце точок, відстань яких до даного кола радіуса r дорівнює a.

Таким ГМТ є коло радіуса r1 = r + a, концентричне з даним.

15. Знайти геометричне місце середин рівних хорд даної довжини a, проведених в даному колі радіуса.

r (a < 2r).

Таким ГМТ є коло радіуса r1 = $$\frac{\sqrt{4r^2-a^2}}{2}$$, концентричне з даним.

16. Знайти геометричне місце центрів кіл радіуса r, що дотикаються до кола з центром О радіуса R (r < R).

Таким ГМТ є два концентричні з даним кола радіусів r1 =R + r, r2 =R-r.

17. Знайти геометричне місце точок таких, щоб відрізок дотичної, проведеної з цих точок до даного кола з центром О радіуса r, мав довжину a.

Таким ГМТ є коло радіуса r1 = $$\sqrt{r^2+a^2}$$, онцентричне з даним.

18. На колі радіуса r взято точку О, навколо якої обертається пряма, що перетинає коло у змінній точці В. На цій прямій по обидва боки від точки В відкладаються відрізки ВМ1 = ВМ2 = АВ, де, А — другий кінець діаметра, який проходить через точку О. Знайти траєкторію точок М1 і М2 при обертанні прямої ОВ.

Таким ГМТ є два кола радіуса r $$\sqrt{2}$$, які перетинаються у точцах A і О. Центри їх розміщені у діаметрально протилежних точках даного кола, симетричних відносно прямої ОА.

19. Дано точки А, В. Два кола дотикаються до прямої АВ, одне — в точці А, друге — в точці В і дотикаються одне до одного в точці М. Знайти геометричне місце точок М.

Якщо через М провести спільну дотичну до цих кіл, то вона перетне АВ у точці С, причому СА = СВ = СМ. Отже, трикутник АМВ — прямокутний з гіпотенузою АВ, тобто геометричним місцем точок М є коло діаметра АВ без точок, А та В.

20. Знайти геометричне місце центрів кіл, які проходять через дану точку, А і дотикаються до даної прямої l.

Таким ГМТ є парабола з фокусом, А і директрисою l.

21. Дано дві точки, А та В. Знайти геометричне місце точок М, для яких трикутник АМВ прямокутний.

Трикутник прямокутний, тоді виконується одна з умов: АМВ = 900, МАВ = 900, МВА = 900. Звідси слідує, що шуканим ГМТ є об'єднання трьох фігур (без точок, А та В):

— коло з діаметром АВ,.

— пряма lA, яка проходить через точку, А перпендикулярно до АВ;

— пряма lB, яка проходить через точку В перпендикулярно до АВ.

22. Дано трикутник АВС. Знайти геометричне місце точок М, для яких площа кожного з трикутників АВМ, АСМ, ВСМ менша площі трикутника АВС.

Таким ГМТ є внутрішня область трикутника АВС.

Знайти геометричне місце середин відрізків, що сполучають дану точку, А з точками даної площини p>

Таким ГМТ є площина, паралельна даній і віддалена від неї на відстані $$\frac{1}{2}$$.

2. Знайти геометричне місце центрів сфер, які дотикаються до даної площини в даній точці.

Таким ГМТ є пряма, перпендикулярна до даної площини в даній точці.

3. Знайти геометричне місце центрів сфер, які дотикаються до даної сфери в даній точці.

Таким ГМТ є пряма, яка проходить через центр даної сфери і дану точку.

4. Знайти геометричне місце центрів сфер радіуса R, що дотикаються до даної площини.

Таким ГМТ є дві площини, паралельні даній і віддалені від неї на відстань R.

4'. Знайти геометричне місце центрів сфер (кіл) радіуса R, що дотикаються до даної прямої.

Таким ГМТ є циліндрична поверхня радіуса R, віссю якої є дана пряма.

5. Знайти геометричне місце центрів сфер, які дотикаються до двох даних паралельних площин.

Таким ГМТ є площина симетрії даних площин.

6. Знайти геометричне місце центрів сфер (або кіл), які проходять через дані точки, А і В.

Таким ГМТ є площина симетрії точок, А і В.

7. Знайти геометричне місце вершин тетраедрів, рівновеликих даному тетраедру ДАВС, які мають з ним спільну основу АВС.

Таким ГМТ є дві площини, паралельні площині АВС і віддалені від неї на відстань hd, що дорівнює довжині висоти тетраедра DАВС.

8. Знайти геометричне місце центрів кіл (сфер) радіуса R, що проходять через точку О.

Таким ГМТ є сфера з центром О радіуса R.

9. Дано дві різні точки, А і В. Знайти геометричне місце основ перпендикулярів, опущених з точки, А на прямі, проведені через точку В.

Таким ГМТ є сфера, діаметром якої є відрізок АВ.

10. Дано дві різні точки, А і В. Знайти геометричне місце точок, кожна з яких симетрична з точкою, А відносно деякої прямої, яка проходить через точку В.

Таким ГМТ є сфера з центром у точці В радіуса АВ.

11. Знайти геометричне місце середин хорд сфери з центром О, проведених через точку А, розташовану всередині сфери.

Таким ГМТ є сфера, діаметром якої є відрізок ОА.

12. Знайти геометричне місце середин хорд даної сфери, паралельних даній прямій АВ.

Таким ГМТ є точки, розташовані всередині великого круга, площина якого перпендикулярна до прямої АВ.

13. Дано сферу радіуса R. Знайти геометричне місце точок, симетричних її центу відносно кожної точки цієї сфери.

Таким ГМТ є сфера радіуса 2R, концентрична з даною.

14. Знайти геометричне місце точок, відстань яких до даної сфери радіуса R дорівнює a.

Таким ГМТ є сфера радіуса R1 = R + a, концентрична з даною.

15. Знайти геометричне місце середин рівних хорд даної довжини a, проведених в даній сфері радіуса.

r (a < 2r).

Таким ГМТ є сфера радіуса r1 = $$\frac{\sqrt{4r^2-a^2}}{2}$$, концентрична з даною.

16. Знайти геометричне місце центрів сфер радіуса r, що дотикаються до сфери з центром О радіуса R (r < R).

Таким ГМТ є дві концентричні з даною сфери радіусів r1=R+r, r2=R/p>

17. Знайти геометричне місце точок таких, щоб відрізок дотичної, проведеної з цих точок до даної сфери з центром О радіуса r, мав довжину a.

Таким ГМТ є сфера радіуса r1 = $$\sqrt{r^2+a^2}$$, концентрична з даною.

18. На сфері радіуса r взято точку О, навколо якої обертається пряма, що перетинає сферу у змінній точці В. На цій прямій по обидва боки від точки В відкладаються відрізки ВМ1 = ВМ2 = АВ, де, А — другий кінець діаметра, який проходить через точку О. Знайти траєкторію точок М1 і М2 при обертанні прямої ОВ.

Таким ГМТ є поверхня тора, що описується одним із кіл радіуса r $$\sqrt{2}$$ і центрами, розміщені у діаметрально протилежних точках сфери, симетричних відносно прямої ОА, навколо прямої ОА .

19. Дано точки А, В. Два кола, розташовані в одній площині з АВ, дотикаються до прямої АВ, одне — в точці А, друге — в точці В і дотикаються одне до одного в точці М. Знайти геометричне місце точок М.

Таким ГМТ є сфера, побудована на діаметрі АВ без точок, А та В.

20. Знайти геометричне місце центрів сфер, які проходять через дану точку, А і дотикаються до даної площини p>

Таким ГМТ є параболоїд обертання з фокусом, А і директоріальною площиною p>

21. Дано дві точки, А та В. Знайти геометричне місце точок М, для яких трикутник АМВ прямокутний.

Таким ГМТ є об'єднання трьох фігур (без точок, А та В):

— сфера з діаметром АВ,.

— площина яка проходить через точку, А перпендикулярно до АВ;

— площина яка проходить через точку В перпендикулярно до АВ.

22. Дано тетраедр DАВС. Знайти геометричне місце точок М таких, що об'єм кожного з тетраедрів МАВС, МАСD, МАВD, МВСD менший об'єму тетраедра DАВС.

Таким ГМТ є внутрішня область тетраедра DАВС.