Конструювання багатомірних модальних П-регуляторів (реферат)

Реферат на тему:

Конструювання багатомірних модальних П-регуляторів

При проектуванні асимптотично стійких систем керування необхідно забезпечити перевід системи в задану точку фазового простору з бажаною якістю стійкості, тобто вибором власних значень замкнутої системи керування. В явному вигляді зазначена множина усіх зовнішніх обурень на керування системою, при яких асимптотично стійка система досягає заданої точки фазового простору.

У випадку неможливості досягнення заданої точки простору, вказується помилка досягнення. Зменшення помилки досягнення заданої точки фазового простору досягається за рахунок вибору структури розподілу керуючих сигналів. Наводиться процедура оптимального синтезу системи керування.

Розглянемо лінійну стаціонарну систему регулювання, що описується наступним співвідношенням.

$$\frac{\mathit{dx}(t)}{\text{dt}}=\text{Ax}(t)+\text{Bu}(t)$$

(7.1).

.

де $$x(t)$$ — вимірний вектор стана, $$u(t)$$ -вимірний вектор входу системи.

Будемо припускати, що система (7.1) цілком керована. За допомогою вибору зворотного зв’язку у вигляді.

$$u(t)=\text{Cx}(t)$$ (7.2).

забезпечимо (7.1) якість асимптотичної стійкості за рахунок вибору власних значень замкнутої системи. Необхідні власні значення замкнутої системи будемо забезпечувати за рахунок вибору коефіцієнтів підсилення регулятора [2, 4]. При цьому коефіцієнти характеристичного рівняння замкнутої системи.

$$\text{det}({\mathit{}}_n-A-\text{BC})={}^n-a_1{}^{n-1}-K-a_n=0$$.

будемо припускати заданими.

Приведемо один з алгоритмів визначення багатомірних модальних регуляторів [ 9 ].

Представимо (7.1) у виді.

$$\begin{array}{c}\frac{\mathit{dx}(t)}{\text{dt}}=\text{Ax}(t)+b_1{u}_1(t)+b_2{u}_2(t)+K+b_m{u}_m(t)=\\ \left(A+b_1{c}_1^T+b_2{c}_2^T+K+b_m{c}_m^T\right)x(t),\end{array}$$.

де.

$$=\left(\begin{array}{c}{}_1^T\\ {}_2^T\\ M\\ {}_m^T\end{array}\right),B=(b_1,b_2,K,b_m),u(t)=\left(\begin{array}{c}{u}_1(t)\\ u_2(t)\\ M\\ u_m(t)\end{array}\right)\text{.}$$.

Спочатку розглянемо систему.

$$\frac{\mathit{dx}(t)}{\text{dt}}=\text{Ax}(t)+b_1{u}_1(t)$$.

і визначимо коефіцієнти характеристичного рівняння.

$$\text{det}({\mathit{}}_n-A-b_1{c}_1^T)=0$$.

по формулі [ 2 ].

$$p(1)=p(0)-P(0)S^T(b_1,A(0))c_1,$$.

де.

$$p(0)=p,A(0)=A,$$.

елементами вектора p є коефіцієнти характеристичного рівняння замкнутої системи.

На наступному кроку розглядається система.

$$\frac{\mathit{dx}(t)}{\text{dt}}=(\text{Ax}(t)+b_1{c}_1^T)x(t)+b_2{u}_2(t)$$.

з коефіцієнтами характеристичного рівняння замкнутої системи.

$$p(2)=p(1)-P(1)S^T(b_2,A(1))c_2,$$.

де.

$$A(1)=A(0)+b_1{c}_1^T\text{.}$$.

На кроку m розглядається наступна система рівнянь.

$$\frac{\mathit{dx}(t)}{\text{dt}}=A(m-1)x(t)+b_m{u}_m(t),$$.

де.

$$A(m-1)=A(m-2)+b_{m-1}{u}_{m-1}(t),$$.

для замкнутої системи, якій необхідно забезпечити наступні коефіцієнти характеристичного рівняння.

$$p(m)=a=p(m-1)-P(m-1)S^T(b_m,A(m-1))c_m,$$.

обираючи відповідним чином вектор $$c_m$$ [ 2 ] .

Таким чином, завдання побудови модального регулятора зводиться до наступної задачі керування системою з дискретним аргументом.

$$\begin{array}{c}p(k+1)=p(k)-P(k)S^T(b_{k+1},A(k))c_{k+1},\\ A(k+1)=A(k)+b_{k+1}{c}_{k+1}^T,k=\mathrm{0,1,2,}K,m-1\end{array}$$.

з початкового стану.

$$p(0)=p,A(0)=A$$.

у фінальний.

$$p(m)=a=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ M\\ a_n\end{array}\right)$$ .

Тут вектор $$p^T=(p_1,p_{\mathrm{2,}}K,p_n)$$ визначається умовою.

$$\text{det}({\mathit{}}_n-A)={}^n+p_1{}^{n-1}+K+p_n,$$.

$$P(k)=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& K& 0\\ p_1(k)& 1& 0& K& 0\\ p_2(k)& p_1(k)& 1& K& 0\\ L& L& L& L& L\\ p_{n-1}(k)& p_{n-2}(k)& p_{n-3}(k)& K& 1\end{array}\right),$$.

$$S(b_{k+1},A(k))=(b_{k+1},K,A^{n-1}(k)b_{k+1})\text{.}$$.

Розглянемо керування для системи (7.1) з зовнішнім збуренням на керування.

$$u(t)=\text{Cx}(t)-\stackrel{}{u}$$, (7.4).

де $$\stackrel{}{u}$$ -вимірний вектор постійних впливів.

В результаті функціонування системи керування (7.1), вектор стану x (t) при $$t->\mathrm{yen}$$ буде прямувати до деякої точки у фазовому просторі $$\tilde{x}$$ .

Визначимо цю точку з умови, коли $$t->\mathrm{yen}$$.

$$A\tilde{x}+B(C\tilde{x}-\stackrel{}{u})=0$$ .

Тоді.

$$(A+\text{BC})\tilde{x}=B\stackrel{}{u}$$.

і шукана точка у фазовому просторі має вигляд.

$$\tilde{x}=(A+\text{BC}{)}^{-1}B\stackrel{}{u}$$, (7.5).

до якої прямує траєкторія системи (7.1) при $$t->\mathrm{yen}$$. Зворотна матриця до матриці A+BC існує відповідно до необхідної умови асимптотичної стійкості замкнутої системи (7.1), тому що коефіцієнт характеристичного рівняння замкнутої системи.

$$a_n=(-1{)}^{n-1}\text{det}(A+\text{BC})>0$$ .

При проектуванні асимптотично стійких систем керування задається точка $$\stackrel{}{x}$$ у фазовому просторі, в яку повинна перейти динамічна система з постійним впливом на керування (7.4).

Обираючи зовнішні впливи для асимптотичної стійкої системи (7.1) з множини.

$$\begin{array}{c}\stackrel{}{u}\mathrm{:}{\left[(A+\text{BC}{)}^{-1}B\right]}^{+}\stackrel{}{x}+\left(E_m-{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right)v,\text{v^IR rSup { size 8{m} } right rbrace } {}\\ \stackrel{}{u}\mathrm{^I}\\ \end{array}$$

(7.6).

.

ми прагнемо забезпечити збіжність траєкторії системи до точки $$\stackrel{}{x}$$ у фазовому просторі.

У випадку, коли.

$${\stackrel{}{x}}^{T}Z\left({\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^T\right)\stackrel{}{x}=0$$ ,.

то система (7.5) має точний розв’язок і система керування (7.1) досягає точки фазового простору $$\stackrel{}{x}$$, де.

$$Z\left({\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^T\right)=E_n-\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}$$ .

Якщо.

$${\stackrel{}{x}}^{T}Z\left({\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^T\right)\stackrel{}{x}>0$$ ,.

тоді система керування (7.1) не досягає точки фазового простору $$\stackrel{}{x}$$. У цьому випадку вектор зовнішніх збурень на керування визначається з співвідношенням.

$$\underset{\stackrel{}{u}}{\text{min}}{{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\stackrel{}{u}-\stackrel{}{x}}^2$$. (7.7).

З умови (7.7) знаходимо, що при.

$$\begin{array}{c}\stackrel{}{u}={\left[B^T{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1^T}{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}{B}^T{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1^T}\stackrel{}{}x=\\ ={\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}\stackrel{}{x}\end{array}$$.

досягається мінімум функціоналу (7.7). У цьому випадку система керування досягає точки у фазовому просторі.

$$\begin{array}{c}\stackrel{}{\widehat{x}}={\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B{\left[B^T{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1^T}{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}{B}^T{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1^T}\stackrel{}{}x=\\ ={\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}\stackrel{}{x},\end{array}$$.

а квадрат похибки досягнення системою керування (7.1) точки $$\stackrel{}{x}$$ має вигляд.

$$\begin{array}{c}{e}^2(\stackrel{}{x},B)={\left(\stackrel{}{\widehat{x}}-\stackrel{}{x}\right)}^T\left(\stackrel{}{\widehat{x}}-\stackrel{}{x}\right)=\\ {\stackrel{}{x}}^T\stackrel{}{x}-{\stackrel{}{x}}^T{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}\stackrel{}{x}=\\ {\stackrel{}{x}}^T\stackrel{}{x}-\text{tr}\left\{{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}\stackrel{}{x}{\stackrel{}{x}}^T\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]\right\}\text{.}\end{array}$$.

Величину квадрата помилки досягнення (7.10) системи можна зменшити за рахунок зміни матриці B, тобто за рахунок вибору прикладення керуючих впливів (синтезу структури керування). Змінимо матрицю B оптимальним чином. Для цього скористаємося градієнтною процедурою визначення матриці B на k+1 — му кроці.

$$B_{k+1}=B_k-{}_k{\text{grad}}_{B_k}{e}^2(\stackrel{}{x},B)$$. (7.11).

Для знаходження $${\text{grad}}_{B_k}{e}^2(\stackrel{}{x},B)$$ скористаємося наступною теоремою.

Теорема. Якщо матриця A+BC має повний ранг, то.

$$\begin{array}{c}{\text{grad}}_B\text{tr}\left\{D{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}F\right\}=\\ \{C{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}\text{FD}{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}-\\ {-{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}\text{FD}{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}\}}^T\text{.}\end{array}$$.

Доведення. Неважко показати, що для матриці Х, що має повний ранг, виконується співвідношення.

$$\frac{\P }{\P b_{\text{ij}}}{X}^{+}\text{=-}{X}^{+}\left(\frac{\P }{\P b_{\text{ij}}}X\right)X^{+}$$. (7.12).

Тоді.

$$\frac{\P }{\P b_{\text{ij}}}D{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}F=D\frac{\P }{\P b_{\text{ij}}}\left({\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}\right)F=$$.

$$\text{=-}D{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}\left(\frac{\P }{\P b_{\text{ij}}}\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]\right){\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}F$$ ,.

де $$b_{\text{ij}}$$ — елемент матриці В.

Легко отримати і наступне співвідношення.

$$\frac{\P }{\P b_{\text{ij}}}\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]\text{=-}{y}_i{c}_j^T{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B+\left(\mathrm{0,}K\mathrm{,\; 0},y_i\mathrm{,\; 0},K\mathrm{,\; 0}\right)$$ .

Вектор-стовпчик $$y_i$$ в останній матриці розташований на j — му місці. Тут прийняті наступні позначення.

$${\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}{y}_1,& y_2,& K,& y_n\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{c}{c}_1^T\\ c_2^T\\ M\\ c_m^T\end{array}\right)$$ .

Тоді.

$$\frac{\P }{\P b_{\text{ij}}}\text{tr}\left\{D{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}F\right\}=$$.

$$\text{tr}\left\{\frac{\P }{\P b_{\text{ij}}}\left(D{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}F\right)\right\}=$$.

$$=\text{tr}\{D{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}{y}_i{c}_j^T{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}F-$$.

$$-D{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{0,}K\mathrm{,\; 0},& y_i,& \mathrm{0,}K,\end{array}0\right){\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}F\}$$ .

Увівши позначення.

$$K={\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}=\left(\begin{array}{c}{k}_1^T\\ k_2^T\\ M\\ k_n^T\end{array}\right)$$ ,.

одержимо.

$$\frac{\P }{\P b_{\text{ij}}}\text{tr}\left\{D{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}F\right\}=y_i^T{K}^T{D}^T{F}^T{B}^T{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1^T}{c}_j-$$.

$$-y_i^T{K}^T{D}^T{F}^T{k}_j\text{=-}{y}_i^T{\text{Gc}}_j-y_i^T{G}_1{k}_j$$ ,.

де $$G=K^T{D}^T{F}^T{K}^T{B}^T{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1^T},G_1=K^T{D}^T{F}^T$$ .

Тоді.

$$\frac{\P }{\P B}\text{tr}\left\{D{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}F\right\}=$$.

$$\left(\begin{array}{cccc}{y}_1^T{\text{Gc}}_1& y_1^T{\text{Gc}}_2& K& y_1^T{\text{Gc}}_n\\ y_2^T{\text{Gc}}_1& y_2^T{\text{Gc}}_2& K& y_2^T{\text{Gc}}_n\\ K& K& K& K\\ y_n^T{\text{Gc}}_1& y_n^T{\text{Gc}}_2& K& y_n^T{\text{Gc}}_n\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cccc}{y}_1^T{G}_1{k}_1& y_1^T{G}_1{k}_2& K& y_1^T{G}_1{k}_n\\ y_2^T{G}_1{k}_1& y_2^T{G}_1{k}_2& K& y_2^T{G}_1{k}_n\\ K& K& K& K\\ y_n^T{G}_1{k}_1& y_n^T{G}_1{k}_2& K& y_n^T{G}_1{k}_n\end{array}\right)=$$.

$$=\left(\begin{array}{c}{y}_1^T\\ y_2^T\\ M\\ y_n^T\end{array}\right)G\left(\begin{array}{ccc}{c}_1,& c_2,K,& c_n\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{y}_1^T\\ y_2^T\\ M\\ y_n^T\end{array}\right)G_1\left(k\begin{array}{ccc}1,& k_2,K,& k_n\end{array}\right)=$$.

$$={\left(A+\text{BC}\right)}^{-1^T}\text{GC}-{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1^T}{G}_1{K}^T=$$.

$$=\{C{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}\text{FD}{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}-$$.

$$-{{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}\text{FD}{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}\}}^T$$ .

Тим самим теорема доведена.

Використовуючи цей результат одержимо в явному виді наступний вираз.

$$\begin{array}{c}{\text{grad}}_B{e}^2\left(\stackrel{}{x},B_k\right)=\\ \{\left[C{\left(A+B_{k}C\right)}^{-1}{B}_k-E_m\right]{\left[{\left(A+B_{k}C\right)}^{-1}{B}_k\right]}^{+}\stackrel{}{x}{\stackrel{}{x}}^T\text{'}\\ {\text{'}{\left[E_n-{\left(A+B_{k}C\right)}^{-1}{B}_k\right]}^{+}{\left[{\left(A+B_{k}C\right)}^{-1}{B}_k\right]}^{+}{\left(A+B_{k}C\right)}^{-1}\}}^T\text{.}\end{array}$$.

Приведемо необхідні умови оптимального вибору матриці В для функціоналу (7.10).

Запишемо приріст функціоналу (7.10) по вектор стовпчикам матриці В.

$$e^2\left(\stackrel{}{x},B+e_i{\mathit{Db}}_i{e}_i^T\right)-e^2\left(\stackrel{}{x},B\right)=$$.

$$-\text{tr}\{{\left[{\left(A+\text{BC}+e_i{\mathit{Db}}_i{c}_i^T\right)}^{-1}\left(B+e_i{\mathit{Db}}_i{e}_i^T\right)\right]}^{+}\stackrel{}{x}{\stackrel{}{x}}^{T^{+}}\text{'}$$.

$$\text{'}\left[{\left(A+\text{BC}+e_i{\mathit{Db}}_i{c}_i^T\right)}^{-1}\left(B+e_i{\mathit{Db}}_i{e}_i^T\right)\right]\}$$ +.

$$+\text{tr}\left\{{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}\stackrel{}{x}{\stackrel{}{x}}^T\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]\right\}$$ ,.

$$i=\mathrm{1,2,}K,m$$ ,.

де $$c_i^T$$ — вектор рядок матриці С, $$e_i$$ — i-й орт одиничної матриці, $${\mathit{Db}}_i$$ — приріст для $$b_i$$ вектор стовпця матриці В, $$e_i\mathrm{^30}$$. Припускаємо, що матриця A+BC має повний ранг.

Використовуючи результат робіт [7] обернену матрицю у виразі (7.13) можна записати в наступному виді.

$${\left(A+\text{BC}+e_i{\mathit{Db}}_i{c}_i^T\right)}^{-1}=\left(A+\text{BC}\right)-\frac{{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}{e}_i{\mathit{Db}}_i{c}_i^T{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}}{1+e_i{c}_i^T{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}{\mathit{Db}}_i}$$ .

Тоді формула (7.13) набуде вигляду.

$$e^2\left(\stackrel{}{x},B+e_i{\mathit{Db}}_i{e}_i^T\right)-e^2\left(\stackrel{}{x},B\right)=$$.

$$=\text{tr}\left\{{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}\stackrel{}{x}{\stackrel{}{x}}^T\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]\right\}-$$.

$$-\text{tr}\left\{{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B+f_i{g}_i^T\right]}^{+}\stackrel{}{x}{\stackrel{}{x}}^T\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B+f_i{g}_i^T\right]\right\}$$ ,.

де вектори.

$$f_i=e_i{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}{\mathit{Db}}_i$$ ,.

$$g_i^T=e_i^T-\frac{c_i^T{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B}{1-e_i{c}_i^T{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}{\mathit{Db}}_i}-\frac{c_i^T{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}{e}_i{\mathit{Db}}_i{e}_i^T}{1-e_i{c}_i^T{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}{\mathit{Db}}_i}$$ .

Псевдообернену матрицю у виразі (7.14) розпишемо використовуючи математичний апарат збурення матриць [ 8 ].

$$e^2\left(\stackrel{}{x},B+e_i{\mathit{Db}}_i{e}_i^T\right)-e^2\left(\stackrel{}{x},B\right)=$$.

$$\begin{array}{c}\text{=-}{f}_i^T\stackrel{}{x}{\stackrel{}{x}}^T{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{{+}^T{g}_i+}\\ \end{array}$$.

$$\begin{array}{c}{f}_i^T{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{{+}^T{B}^T{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1^T}\frac{\stackrel{}{x}{\stackrel{}{x}}^T{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{{+}^T}{g}_i}{1+g_i^T{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}{f}_i}}+\\ +\\ \end{array}$$.

$$\begin{array}{c}{f}_i^T\stackrel{}{x}{\stackrel{}{x}}^T{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{{+}^T{g}_i\frac{f_i^T{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{{+}^T}{g}_i}{1+g_i^T{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}{f}_i}}\\ +\\ \end{array}$$ .

Умови на вибір $$e_i$$ випливають з рівняння (7.15).

$$e_i\text{^1-}\frac{1}{c_i^T{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}{\mathit{Db}}_i}$$, $$e_i\mathrm{^1}\frac{-y\pm \sqrt{y^2+4x}}{2x}$$, (7.16).

де.

$$x=c_i^T{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}{\mathit{Db}}_i\left(e_i^T-c_i^T\right){\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}\right]}^{+}{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}{\mathit{BDb}}_i$$ ,.

$$y=\left[e_i^T{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B-c_i^T{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B-c_i^T{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}\right]{\mathit{Db}}_i$$ .

Якщо матриця В доставляє мінімум функціоналу (10) і матриця A+BC має повний ранг, то відповідно до [6, 7, 8].

$$\begin{array}{c}-f_i^T\stackrel{}{x}{\stackrel{}{x}}^T{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{{+}^T{g}_i+}\\ \end{array}$$.

$$\begin{array}{c}{f}_i^T{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{{+}^T{B}^T{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1^T}\frac{\stackrel{}{x}{\stackrel{}{x}}^T{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{{+}^T}{g}_i}{1+g_i^T{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}{f}_i}}+\\ +\\ \end{array}$$.

$$\begin{array}{c}{f}_i^T\stackrel{}{x}{\stackrel{}{x}}^T{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{{+}^T{g}_i\frac{f_i^T{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{{+}^T}{g}_i}{1+g_i^T{\left[{\left(A+\text{BC}\right)}^{-1}B\right]}^{+}{f}_i}}\mathrm{^30}\\ +\\ \end{array}$$.

для будь-яких $$e_i\mathrm{^30}$$, $$i=\mathrm{1,2,}K,m$$ і при цьому виконуються умови (7.16).

Для чисельних процедур градієнтного спуску по оптимальному вибору матриці В можна скористатися формулою (7.15).