Дослідження процесів руху електрона в полі магнітних електронних лінз

[Введите текст]

Вступ

У електронній оптиці дуже важливу роль грають магнітні поля, які володіють симетрією обертання, тобто симетричні відносно деякої осі. Будь-які магнітні аксиально-симетричні поля являються електронними лінзами і здатні створювати електронне зображення.

1. Теоретичні положення

1.1 Магнітне поле

При відсутності електростатичного поля система рівнянь, що описують рух електрона в магнітному полі, записується у вигляді:

(1−1)

Для рішення системи рівнянь (1−1) необхідно знати розподіл магнітної індукції В=В (х, у, z). У свою чергу, вектор магнітної індукції В можна представити у вигляді вихору деякого допоміжного вектора А, який носить назву векторного потенціалу магнітного поля

(1−2)

причому вектор, А при заданому розподілі в просторі струмів є функцією координат.

Оскільки в електронно-оптичних системах магнітні поля в більшості випадків створюються котушками, тобто сукупністю кругових провідників, площини яких перпендикулярні осі z, а центри лежать на цій осі, то розглянемо більш детально магнітне поле, яке має осьову симетрією. Таке поле зручно представити в циліндричній системі координат (z, r,):

Векторний магнітний потенціал визначається розподілом струмів в просторі, що розглядається, відповідно до відомої формули

(1−4)

де Jвектор щільності струму.

У випадку осісиметричного розташування витків котушки струм буде протікати тільки в азимутальному напрямі.

Мал. 1.1 — Напрям струму у витку котушки Векторний магнітний потенціал у випадку, що розглядається, має тільки одну складову А, тобто Az=Ar=0. Якщо підставити ці значення в рівняння (1−3), то отримаємо тільки два вектори індукції аксіально-симетричного магнітного поля, які пов’язані з векторним магнітним потенціалом співвідношеннями:

При цьому В=0.

Отже, магнітне поле з осьовою симетрією має тільки дві складові магнітної індукції: подовжню (1−5) і радіальну (1−6). Обидві складові індукції Br і Bz визначаються тільки однією складовою векторного магнітного потенціалу А. Розподіл векторного магнітного потенціалу в аксіально-симетричному магнітному полі може бути представлений у вигляді показникової функції, що містить члени з непарними степенями при r.

(1−7)

Отримане рівняння показує, що, знаючи значення магнітної індукції на осі симетрії магнітного поля можна визначити векторний потенціал в будь-якій точці цього поля.

Розподіл магнітної індукції в аксіально-симетричному магнітному полі В=В (z, r) однозначно визначається значенням магнітної індукції на осі цього поля.

Тепер можна у відповідності з (1−5) і (1−6) визначити складові вектора магнітної індукції для випадку аксіально-симетричного магнітного поля.

(1−8)

(1−9)

Поле на осі котушки визначається на основі закону Біо-Савара. Для окремого кругового витка радіуса R, по якому тече струм I, напруженість магнітного поля визначається співвідношенням:

(1−10)

(1−11)

Звідси видно, що напруженість поля на осі витка має найбільше значення в центрі витка і із збільшенням відстані від центра кругового витка меншає, прагнучи до нуля. Напруженість поля котушки, що складається з n витків на одиницю осьової довжини, отримуємо підсумовуванням по всіх витках.

1.2 Рух електрона в однорідному аксіально-симетричному магнітному полі

Магнітне поле взаємодіє лише з рухомою зарядженою часткою, швидкість якої не паралельна силовим лініям магнітного поля. Сила, діюча на електрон, визначається при цьому рівнянням:

(1−12)

Розглянемо довгу котушку циліндричної форми, по якій тече струм (мал. 1−2). Магнітне поле всередині котушки однорідне і має тільки одну складову Вz. Виберемо в цій області деяку точку а, і будемо вважати, що вона є джерелом електронів. Розглянемо траєкторію електрона, швидкість якого направлена під кутом б до осі z.

Мал. 1.2 — Довга магнітна лінза Складова швидкості Vz паралельна напряму силових ліній поля і вектору В. Відповідно, вона не буде викликати взаємодії електрона з полем, і електрон буде рівномірно зміщатися вздовж осі z. Компонента ж швидкості Vy перпендикулярна напряму В і буде визначати силу, з якою магнітне поле діє на електрон. Ця сила в перший момент буде направлена перпендикулярно площині креслення у напрямі до нас. Чисельно величина цієї сили може бути визначена рівнянням

(1−13)

Ця сила буде викривляти траєкторію руху електрона і, отже, є доцентровою силою, яка визначається рівнянням:

(1−14)

де R радіус кривизни траєкторії в даній точці. Отже,

(1−15)

Звідси отримуємо формулу для радіуса кривизни траєкторії електрона у вигляді

(1−16)

Радіус кривизни траєкторії, по якій рухається електрон, не залежить від координат електрона. Отже, R=const, і електрон рухається в площині, перпендикулярній осі котушки (мал. 1−2,б), по колу. Але при цьому завдяки наявності нz він зміщується з постійною швидкістю вздовж осі z, тобто рухається по гвинтовій лінії. При цьому через деякий час електрон здійснить повний оборот по колу, і знову перетне початкову силову лінію аа'. Як видно з рівняння (1−17) час Т не залежить від величини початкової швидкості електрона. Тому якщо з вибраної нами точки, а вийде одночасно декілька параксіальних електронів (мал. 1−2), то через один і той же час Т всі вони перетнуть початкову силову лінію поля аа' в точці а' розташованої на відстані VzT від точки а. Таким чином, точку а' можна вважати електронним зображенням точки а. Все сказане справедливе для будь-якої точки площини, перпендикулярної осі z і що проходить через точку а. Тому в точці а' ми отримаємо електронне зображення джерела параксіальних електронів, яке знаходиться в площині а. Таким чином, однорідне магнітне поле довгої котушки є електронною лінзою, яка дає пряме зображення з лінійним збільшенням, рівним одиниці.

1.3 Рух електрона в неоднорідному аксіально-симетричному магнітному полі

Розглянемо рух електрона в аксіально-симетричному магнітному полі, в якому вектор магнітної індукції В має відмінні від нуля складові Вr і Bz. Азимутальна складова В=0. Таке поле може бути створене круглою котушкою, по якій тече струм. Причому будемо вважати, що напруженість поля має помітну величину на деякому відрізку аб вздовж осі симетрії z.

Мал. 1.3 — Рух електрона в неоднорідному аксіально-симетричному магнітному полі

При попаданні в область поля електрон починає взаємодіяти з ним, внаслідок чого з’являються сили, що викривляють його траєкторію. Якщо розкласти швидкість н і індукцію В на радіальні і осьові складові (нr, нz і Вr, Bz), то внаслідок взаємодії електрона з полем виникне пара сил:

Напрям цих сил співпадає. Внаслідок дії сили F електрон придбає азимутальну складову швидкості V. Ця складова швидкості направлена перпендикулярно Bz, внаслідок чого виникає нова сила, направлена до осі симетрії поля і що є фокусуючою силою магнітного поля. Таким чином, можна зробити висновок:

При взаємодії електрона з неоднорідним магнітним полем виникає фокусуюча сила, направлена до осі симетрії поля.

Траєкторія електрона викривляється і принципово не може бути плоскою кривою.

Основне рівняння електронної оптики для магнітних полів, являє собою рівняння траєкторій параксіальних електронів в аксіально-симетричному магнітному полі, виражене в диференціальній формі:

(1−18)

Крім того, магнітні лінзи здійснюють поворот зображення на деякий кут, величина якого визначається виразом:

(1−19)

Рівняння (1−18) дозволяє зробити ряд важливих висновків:

1. Траекторія електронів аксіально-симетричному магнітному полі може бути отримана, якщо відомо розподіл магнітної індукції вздовж осі симетрії магнітного поля.

2. В рівняння входить як заряд, так і маса часток, звідси слідує, що в магнітному полі частки з різними відношеннями величин заряда і маси будуть рухатись по різним траекторіям.

3. Рівняння являється лінійним і однорідним рівнянням другого порадку відносно r, отже будь-яке аксіально-симетричне магнітне поле являється елнектронною лінзою і може створювати електронне зображення.

1.4 Методи, що використовуються для розв’язання задачі

1.4.1 Визначення індукції магнітного поля на основі закону Біо-Савара-Лапласа

По закону Біо-Савара-Лапласа можна визначити індукцію магнітного поля B (z) окремого кругового витка соленоїда, радіуса R, по якому тече струм I.

Для соленоїда з кількістю витків N закон Біо-Савара-Лапласа буде мати вигляд:

1.4.2 Наближений метод визначення траекторій електронів в магнітній лінзі

Знаходження траєкторій електронів, що рухаються в магнітних полях, часто виявляється більш простим завданням у порівнянні з електростатичними полями. Це пояснюється тим, що в рівняння руху електронів у магнітному полі

(1−20)

не входять похідні магнітної індукції. Тому в тих випадках, коли розподіл магнітної індукції вздовж осі осесиметричного магнітного поля задано аналітично або крива розподілу індукції досить точно апроксимується аналітичною функцією, система рівнянь (1−20) може бути вирішена строго. Рішення першого рівняння системи (1−20) дає проекцію траєкторії на меридіональну площину, що обертається, рішення другого рівняння визначає кут повороту меридіональної площині.

З наближених методів розв’язання рівнянь руху електронів в осесиметричних магнітних полях найбільш поширений метод, в основі якого лежить заміна істинної кривої розподілу магнітної індукції вздовж осі осесиметричного магнітного поля ступінчастою ламаною (мал. 1−4).

Як видно з малюнка, всередині кожного інтервалу, на які розбивається вся область поля, величина магнітної індукції на осі приймаєтьсясталою:.

Мал. 1.4 — Побудова траєкторії електронів методом ступеневої ламаної

При цьому перше рівняння системи (1−20) набуває вигляду

Рішенням такого рівняння, як відомо, є вираз

де, А і С-постійні, що визначаються початковими умовами

Проста підстановка переконує, що

З урахуванням початкових умов остаточно отримаємо

(1−21)

Вираз (1−21) є рівнянням траєкторії (точніше проекції траєкторії) у меридіональній площини в інтервалі від до. Для визначення кута повороту ц необхідно проінтегрувати друге рівняння системи (1−20):

(1−22)

Підставивши в (1−21) та (1−22) z = zп+1 отримаємо відповідно, , — значення віддалення траєкторії від осі, кута нахилу траєкторії і кута повороту навколо осі в кінці п-го інтерала. Очевидно, отримані значення будуть початковими даними для розрахунку траєкторії в наступному (п+1) інтервалі. Застосовуючи послідовно вказаний прийом, можна побудувати проекцію всієї траєкторії на меридіональну площину, що обертається, а підсумовуючи кути ц, підраховані для кожного інтервалу, визначити кінцевий кут повороту.

Похибка розглянутого методу знаходження траєкторій залежить від вибору величини і числа інтервалів, на які розбивається досліджувана область поля. При вдалому розбитті вдається побудувати траєкторію з відносною похибкою не більше 1,5 — 2%, що зазвичай припустимо при вирішенні практичних завдань.

2. Експериментальна частина

2.1 Програмне забезпечення практичних занять

Для математичного моделювання процесів рушення заряджених часток в аксіально-симетричних магнітних полях використовується спеціалізована програма Magnit25.exe. Завдання параметрів лінзи, що досліджується і параметрів влету електрона здійснюється у віконному інтерфейсі програми Magnit25. exe, що моделює процес руху параксиального електрона в однорідному і неоднорідному аксиально-симетричному магнітному полі. Вибір типу лінзи, що досліджується, здійснюється в головному меню програми.

Параметри лінзи, що моделюється, і параметри влету електрона задаються в діалогових вікнах «SETUP-B» і «SETUP-е», які можна викликати натисненням маніпулятора «миша» на відповідних кнопках головного меню програми. Розрахунок розподілу індукції магнітного поля і траєкторії руху електрона проводиться натисненням кнопки «Графік» в головному меню програми. При цьому на екран монітора виводяться результати розрахунку індукції магнітного поля і траєкторії руху електрона в заданому полі соленоіда. Оскільки траєкторія електрона в магнітному полі принципово не є плоскою кривою, то результати розрахунку відображаються в декартовій системі координат, яку можна повертати в будь-якому напрямі. Для цього в меню режиму «Графік» потрібно клацнути «мишкою» на клавіші «Нахил осей». При цьому на екран монітора виводиться вікно управління виводом результатів розрахунку. Виберіть за допомогою маніпулятора «миша» напрям повороту осей координат і натисніть ліву кнопку «миші». Протягом часу натиснення клавіші система координат буде повертатися у вибраному напрямі.

Початок системи координат можна перемістити в будь-яку точку екрана. Для цього необхідно встановити стрілку маніпулятора «миша» на кнопку «Центр» і клацнути лівою клавішею «миші». Кнопка «Центр» у вікні управління повинна утопитися. Після цього маркер маніпулятора «миша» треба перемістити на бажану ділянку поля відображення і клацнути лівою клавішею миші. Початок координат переміститися у вибрану точку.

У цьому ж вікні управління можна вибрати повільне виведення траєкторії руху електрона.

2.2 Програма роботи дослідження магнітних лінз

2.2.1 Дослідження руху електрона в однорідному аксіально-симетричному полі соленоїда

1) Задамо параметри соленоїда і занесемо їх до таблиці 2.1.

Таблиця 2.1 — Початкові параметри соленоїда

Задамо параметри влета електрона і занесемо їх до таблиці 2.2.

Таблиця 2.2 — Початкові параметри влета електрона

Мал. 2.1 — Траєкторія електрона у полі соленоїда Як видно з мал.2−1. траєкторія руху електрона в полі соленоїда являє собою циклоїду, що пояснюється тим, що магнітне поле взаємодіє лише з рухомою зарядженою часткою, вектор швидкості якої не є паралельним силовим лініям поля.

Розкладемо швидкість електрона V на Vz іVy.

Vy перпендикулярна напрямку B и буде визначати силу, діючу на електрон в перший момент.

Fm=eVyB

Ця сила буде викривляти траєкторію руху електрона і являється доцентровою силою

Виходячи з цього:

Звідси отримуємо вираження для радіуса кривизни траекторії електрона:

Отриманий вираз не залежить від координат електрона, отже він рухається в площині, що перпендикулярна до осі котушки, по колу. Але при цьому завдяки наявності Vz він зміщується з постійною швидкістю вздовж осі z, тобто рухається по гвинтовій лінії.

2) Змінимо в 2 рази кількість витків соленоїда. Кількість витків нехай буде 2000.

Мал. 2.2 — Траєкторія електрона у полі соленоїда при зміні кількості витків В результаті чого було отримано зменшення періоду руху електрона в 2 рази (мал.2−2), що видно з формули

так як зі збільшенням N в 2 рази, збільшується в 2 рази і індукція магнітного поля

3) Змінимо в 2 рази в порівнянні з початковими параметрами величину радіуса котушки. Задамо радіус 40 мм. При цьому період руху електрона зменшиться вдвічі, оскільки збільшиться індукція магнітного поля, проте дана математична модель не враховує вплив зміни радіусу котушки на траєкторію електрона, що видно з малюнку (мал. 2.3).

Мал. 2.3 — Траєкторія електрона у полі соленоїда при зміні радіуса котушки

4) Змінимо в 2 рази в порівнянні з початковими параметрами величину струму котушки. Збільшимо струм до 400 мА. В результаті отримали зменшення періоду руху электрона в 2 рази (мал. 2−4), що видно з формули так як зі збільшенням струму в 2 рази, збільшується в 2 рази також і індукція магнітного поля Мал. 2.4 — Траєкторія електрона у полі соленоїда при зміні струму котушки магнітний поле електрон соленоїд

5) Змінимо в 2 рази в порівнянні з початковими параметрами величину прискорюючого напруження. Збільшимо її до 40 В. Як видно з мал. 2−5.траекторія руху електрона змінилась, це пов’язано з тим, що при збільшенні величини прискорюючого напруження, зростає швидкість електрона

і він менше знаходиться під дією поля. Також зменшується кут повороту зображення, що видно із формули

.

Мал. 2.5 — Траєкторія електрона у полі соленоїда при зміні величини прискорюючого напруження

6) Змінимо напрям струму в соленоїді при початкових параметрах соленоїда і параметрах влету електрона (мал. 2.6). В результаті бачимо, що напрямок закручування змінився на протилежний. Це випливає з формули для повороту зображення в магнітному полі:

так як зі зміною напрямку струму змінює знак вектор магнітної індукції,

А отже і змінить знак.

Мал. 2.6 — Траєкторія електрона у полі соленоїда при зміні знаку струму котушки

2.2.2 Дослідження руху електрона в неоднорідному аксіально-симетричному полі короткої магнітної лінзи

1) Задамо параметри короткої магнітної лінзи і занесемо їх до таблиці 2.3.

Таблиця 2.3 — Початкові параметри короткої магнітної лінзи

Задамо параметри влета електрона і занесемо їх до таблиці 2.4.

Таблиця 2.4 — Початкові параметри влета електрона

Як видно з мал.2−7. траєкторія руху електрона в полі короткої магнітної лінзи являє собою фокусуючу циклоїду. Це пов’язано з виникненням у неоднорідному аксіально-симетричному полі сили, яка буде відхиляти заряджену частку до осі симетрії поля.

Мал. 2.7 — Траєкторія електрона у полі короткої магнітної лінзи

2) Змінимо в 2 рази кількість витків соленоїда. Кількість витків, нехай, буде 6000 (мал. 2−8.)

Спостерігаємо зменшення фокусної відстані короткої катушки, що підтверджується формулою

Мал. 2.8 — Траєкторія електрона у полі короткої магнітної лінзи при зміні кількості витків

3) Змінимо в 2 рази в порівнянні з початковими параметрами величину радіуса котушки. Задамо радіус 20 мм. В результаті бачимо, що фокусна відстань короткої магнітної лінзи збільшилась, що видно з формули

.

Мал. 2.9 — Траєкторія електрона у полі короткої магнітн лінзи при зміні радіусу котушки

4) Змінимо в 2 рази в порівнянні з початковими параметрами величину струму котушки. Збільшимо струм до 2000 мА (мал. 2−10.). Спостерігаємо зменшення фокусної відстані короткої котушки, що підтверджується формулою

Мал. 2.10 — Траєкторія електрона у полі короткої магнітної лінзи при зміні величини струму

5) Змінимо в 2 рази в порівнянні з початковими параметрами величину прискорюючого напруження. Збільшимо її до 50 В. В результаті бачимо за мал. 2−11, що фокусна відстань короткої магнітної лінзи збільшилась, що видно з формули

.

Мал. 2.11 — Траєкторія електрона у полі короткої магнітної лінзи при зміні величини прискорюючого напруження

6) Змінимо напрям струму в соленоїді при початкових параметрах соленоїда і параметрах влету електрона (мал. 2−12.). В результаті бачимо, що напрямок закручування змінився на протилежний. Це випливає з формули для повороту зображення в магнітному полі:

так як зі зміною напрямку струму змінює знак вектор магнітної індукції,

А отже і змінить знак.

Мал. 2.12 — Траєкторія електрона у полі короткої магнітної лінзи при зміні напрямку струму в котушці

Контрольні питання.

3.1. Чому траєкторія електрона в магнітному полі не може бути плоскою кривою?

Електрон, що влітає у магнітне поле, буде відчувати дію сил, що прагнуть вивести його з площини первинного руху і повідомляють йому прискорення в напрямку, перпендикулярному лініям магнітної індукції. У результаті електрон набуває швидкість в напрямі азимутаVф. Таким чином, завдяки виникненню швидкості Vф електрон починає закручуватися навколо осі z, і його траєкторія буде тривимірною кривою.

3.2. Яким чином можна визначити розподіл індукції на осі аксіально-симетричного магнітного поля?

Розподіл індукції на осі аксіально-симетричного магнітного поля визначається за законом Біо-Савара-Лапласса:

3.3. При якій умові соленоїд може створити однорідне аксіально-симетричне магнітне поле?

Соленоїд може створити однорідне аксіально-симетричне магнітне поле, коли його можна вважати довгою котушкою, тобто за умови, що довжина цієї котушки набагато більша її радіуса.

3.4. У чому суть розрахункового методу визначення траєкторії електрона в аксіально-симетричному магнітному полі?

Суть цього питання детально розглянуто у пункті 1.4.2.

3.5. Які параметри характеризують початкові умови влету електрона в поле магнітної лінзи, що моделюється?

Початкові умови вльоту електрона в полі характеризуються: — відстанню до осі z — кутом вльоту — прискорюючим напруженням

3.6. Від чого залежить фокусна відстань магнітної лінзи?

Фокусна відстань магнітної лінзи визначається відповідно до формули

.

Видно, що фокусна відстань залежить від значення NI, так званої величини ампер-витків, а також від геометричних розмірів котушки.

3.7. Чому магнітні електронні лінзи завжди фокусують пучок параксіальних електронів?

Суть цього питання детально розглянуто у пункті 1.3.

Висновок

У даній лабораторній роботі було досліджено рух електрона в однорідному аксіально-симетричному магнітному полі соленоїда і неоднорідному аксіально-симетричному магнітному полі короткої магнітної лінзи за допомогою математичного моделювання процесів взаємодії електрона з магнітним полем. Було досліджено вплив зміни параметрів котушки на траекторію руху електрона в магнітному полі. Для цього було послідовно змінено радіус котушки, кількість витків у котушці, величини прискорюючого напруження, величину і напрямок струму в котушці.

Видно, що в однорідному аксіально-симетричному магнітному полі соленоїда заряджена частка рухається по циклоїді, період і радіус кривизни якої визначається формулами

і ,

в які входить величина магнітної індукції, яка визначається законом Біо-Савара-Лапласа.

Траєкторія руху зарядженої частки у неоднорідному аксіально-симетричному магнітному полі короткої магнітної лінзи являє собою фокусуючу циклоїду, фокусуюча дія якої пояснюється виникненням сили, що відхиляє частку до осі симетрії поля. Фокусна відстань короткої магнітної лінзи змінюється при зміні параметрів котушки відповідно до формули

.

В обох випадках, траєкторія електрона не є плоскою кривою, що пояснюється тим, що в аксіально-симетричному магнітному полі на нього діє сила, що прагне вивести його з площини первинного руху і повідомляє йому прискорення в напрямку, перпендикулярному лініям магнітної індукції. У результаті електрон набуває швидкість в напрямі азимута.