Знакозмінні ряди. 
Абсолютна та умовна збіжність (реферат)

Реферат

з дисципліни «Вища математика» .

на тему:

Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність.

Розділ: Ряди.

Тема: Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність.

1. 1.Навчальна мета: розширити поняття студентів про знакозмінні ряди, абсолютну та умовну збіжність.

2. 2.Міжпредметна інтеграція: математика:

3. 3.Зміст: а). Опрацювати навчальний матеріал.

б). Дати відповіді на питання.

в). Опрацювати приклади.

1. 4.План: а). Знакозмінні ряди.

б). Абсолютна та умовна збіжність.

1. 5.Контрольні питання:

а). Охарактеризувати загальні поняття.

б). Розказати про деякі властивості числових рядів.

в). Яку ви знаєте необхідну ознаку збіжності ряду?

г). Наведіть приклади достатньої ознаки збіжності додатних числових рядів.

д). Що ви знаєте про закопочережні числові ряди.

1. 6.Література: Вища математика для економістів. — Київ: ЦУЛ 2002.-400с.-серія: Матем. науки.

Барковський В.В.

Барковська Н.В.

1. 1.Загальні поняття.

Нехай задана нескінчена послідовність чисел а1, а2, а3, …, аn…

Вираз а1+а2+а3+…+аn+… називається нескінченним числовим рядом, числа а1, а2, а3, …, аn — членами ряду, аn — загальним членом ряду.

Отже, від послідовності ми перейшли до ряду.

За допомогою значка суми ряд можна записати так:

$$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{a}_n$$.

де n приймає значення від 1 до $$\mathrm{}$$

.

.

Що задати числовий ряд, треба задати його загальний член аn у вигляді формули.

$$a_n=f(n)$$.

за якою для будь-якого n можна знайти відповідний член ряду.

Наприклад, нехай загальний член ряду $$a_n=\frac{n}{n^2+1},$$

тоді відповідний ряд буде:

.

$$\frac{1}{2}+\frac{2}{5}+\frac{3}{\text{10}}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{n}{n^2+1}+\text{.}\text{.}\text{.}\begin{array}{cc}\text{або}& \underset{n-1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{n}{n^2+1}\end{array}$$.

Іноді задають декілька перших членів ряду і треба записати увесь ряд, тобто знайти його загальний член.

При цьому треба знаходити загальний член ряду по можливості простішого вигляду.

Наприклад, знайти загальний член ряду.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{22^2}+\frac{1}{32^3}+\frac{1}{42^4}+\text{.}\text{.}\text{.}$$.

Маємо: перший член ряду $$a_1=\frac{1}{2},$$

другий член ряду.

$$a_2=\frac{1}{22^2},a_3=\frac{1}{32^2},$$.

$$a_n=\frac{1}{n{2}^n},$$.

а ряд має вигляд.

$$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{1}{n{2}^n}$$.

Означення 1. Частковою сумою числового ряду (1) називають суму Sm перших т членів цього ряду, тобто.

$$S_2=a_1+a_2\begin{array}{cc}-& S_3=a_1+a_2+a_3\end{array}\begin{array}{cc}-& \begin{array}{cc}\text{.}\text{.}\text{.}-& S_m=a_1+a_2+\text{.}\text{.}\text{.}+a_m\end{array}\end{array}$$.

Означення 2. Сумою S числового ряду $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{a}_n$$

називають границю його часткової суми Sn при.

$$n->\mathrm{}$$

тобто.

.

$$S=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{S}_n=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\underset{k=1}{\overset{n}{}}{S}_k$$.

Означення 3. Якщо границя часткової суми ряду є скінчене число, то ряд називають збіжним і позначають цей факт так:

$$S=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{a}_n<\mathrm{}$$.

Якщо границя часткової суми не існує або дорівнює $$\pm \mathrm{}$$

то числовий ряд називають розбіжним.

.

Означення 4. Числовий ряд вигляду.

$$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{\text{aq}}^{n-1}=a+\text{aq}+{\text{aq}}^2+\text{.}\text{.}\text{.}+{\text{aq}}^{n-1}+\text{.}\text{.}\text{.}$$.

називають рядом геометричної прогресії із знаменником q та першим членом а.

Приклад 1. Дослідити збіжність ряду геометричної прогресії.

Розв’язування. При $$|q|<1$$

часткова сума Sn визначається за відомою формулою суми спадної геометричної прогресії:

.

$$S_n=\frac{a-{\text{aq}}^n}{1-q}$$.

Тому сумою ряду у цьому випадку буде.

$$S=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{S}_n=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\left(\frac{a}{1-q}-\frac{{\text{aq}}^n}{1-q}\right)=\frac{a}{1-q},$$.

тобто ряд збігається та його сума $$S=\frac{a}{1-q}$$

.

.

Якщо $$|q|>\mathrm{1,}$$

то частковою сумою буде.

$$S_n=\frac{{\text{aq}}^n-a}{q-1},$$

а сума ряду.

.

$$S=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{S}_n=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{a}{q-1}\left(q^n-1\right)=\mathrm{},$$.

тобто ряд розбігається.

Якщо q=1, то Sn=а+а+а+…+а = na, тому сума ряду буде.

$$S=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{S}_n=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\text{na}=\mathrm{},$$.

тобто ряд розбігається.

Якщо q=-1, то S1=a, S2=a, S3=a, S4=0,…

Послідовність таких часткових сум границі не має (вона залежить від способу прямування $$n\begin{array}{cc}& \begin{array}{cc}\text{до}& \mathrm{}\end{array}\end{array}$$

), тому ряд розбігається.

.

Отже, ряд геометричної прогресії збігається при $$|q|<1$$

і розбігається при.

$$|q|>=1$$

.

.

Означення 5. Числовий ряд вигляду.

$$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{1}{n^p}=1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{n^p}+\text{.}\text{.}\text{.}$$.

називають узагальненим гармонічним рядом.

Математиками доведено, що при $$p<=1$$

узагальнений гармонічний ряд розбігається, а при р>1 цей ряд збігається.

.

При р=1 ряд (4) приймає вигляд.

$$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{n}+\text{.}\text{.}\text{.}$$.

і називається гармонічним рядом. Цей ряд розбігається.

2. Деякі властивості числових рядів.

Нехай задано числовий ряд а1+а2+а3+…+аn+ап+1+ап+2+…+ап+т+… (1).

Якщо в цьому ряду відкинути перші п членів, то одержимо ряд, який називають залишком ряду (1) після п-го члена і позначають $$r_n$$

тобто.

.

$$r_n=a_{n+1}+a_{n+2}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{n+m}+\text{.}\text{.}\text{.}$$.

Теорема 1. Якщо ряд (1) збігається, то збігається ї його залишок, і, навпаки, якщо збігається залишок, то збігається й ряд (1).

Доведення. Нехай ряд (1) збігається. Розглянемо часткову суму п+т членів ряду.

$$S_{n+m}=S_n+(a_{n+1}+a_{n+2}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{n+m})$$ (7).

Зафіксуємо номер п і нехай $$m->\mathrm{}$$. Тоді границя Sт+п існує за умовою і дорівнює сумі ряду S.

При фіксованому п Sn є постійне число, тому границя ($$a_{n+1}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{n+2}+\text{.}\text{.}\text{.}+a_{n+m}$$) при $$m->\mathrm{}$$ існує і дорівнює $$r_n$$ .

Отже,.

S=Sn+rn (8).

Нехай тепер залишок збігається. Доведемо, що ряд також збігається. Знову в рівності (7) зафіксуємо n та перейдемо до границі при $$m->\mathrm{}$$. Границя існує тому, що за умовою залишок збігається, а часткова сума Sn при фіксованому n є постійне число. Отже, границя.

$$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{S}_{n+m}=S_n+r_n$$.

Із рівності (7) випливає: якщо ряд (1) розбігається, то і залишок розбігається, і, шишаки, якщо залишок розбігається, то ряд також розбігається.

Із рівності (8) випливає, що $$r_n=S-S_n$$, тому при $$n->\mathrm{}$$ залишок збіжного ряду $$r_n->0$$ .

Наслідок. Якщо в раді (1) суму перших п членів відкинути, то це не вплине на збіжність чи розбіжність ряду.

Теорема 2. Якщо члени збіжного ряду $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{a}_n$$ помножити на число С, то одержаний ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{\text{Ca}}_n$$ також буде збіжним, а його сума помножиться на С.

Теорема 3. Якщо ряди $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{a}_n$$ та $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{b}_n$$ збігаються, то ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}(a_n\pm b_n)$$ також збігається, причому сума останнього ряду дорівнює.

$$S=S_1\pm S_2,$$ де $$S_1=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{a}_n,S_2=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{b}_n$$.

Доведення теореми 2 та теореми 3 випливає із означення збіжності числового ряду та властивостей границі.

3. Необхідна ознака збіжності ряду.

Теорема 4. Якщо ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{a}_n$$ збігається, то його загальний член $$a_n->0$$ при $$n->\mathrm{}$$, тобто.

$$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{a}_n=0$$ (9).

Дійсно, $$a_n=S_n-S_{n-1}$$, звідси одержимо.

$$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{a}_n=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}(S_n-S_{n-1})=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{S}_n-\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{S}_{n-1}=S-S=\mathrm{0,}$$.

що й треба було довести.

Якщо умова (9) не виконується, то числовий ряд розбігається.

Наприклад, ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{n}{n+2}$$ розбігається тому, що.

$$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{a}_n=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{n}{n+2}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{1}{1+\frac{2}{n}}=1\text{.}$$.

Відмітимо, що умова збіжності (9) є лише необхідною умовою. Так, гармонічний ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{1}{n}$$ задовольняє умову (9), але цей ряд розбіжний.

4. Достатні ознаки збіжності додатних числових рядів В більш повних курсах вищої математики доведені слідуючі достатні ознаки збіжності додатних числових рядів, які бажано зрозуміти та використовувати.

Ознака порівняння. Нехай треба дослідити збіжність заданого ряду.

$$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{a}_n,a_n>0$$ (10).

Візьмемо другий додатний числовий ряд, збіжність чи розбіжність якого відома

$$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{b}_n,b_n>0$$ (11).

Найчастіше для порівняння беруть ряд геометричної прогресії або узагальнений гармонічний ряд.

Ознака. Якщо ряд (11) збігається і, починаючи з деякого $$n>=N$$, виконуються співвідношення $$a_n<=b_n$$, тоді й ряд (10) також збігається.

Якщо ряд (11) розбігається і, починаючи з деякого $$n>=N$$, виконуються співвідношення $$a_n>=b_n$$, тоді й ряд (10) розбігається.

Приклад 2. Дослідити збіжність ряду $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{1}{n{2}^n}$$.

Розв’язування. Порівняємо заданий ряд.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{22^2}+\frac{1}{32^3}+\frac{1}{42^4}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{n{2}^n}+\text{.}\text{.}\text{.}$$.

з рядом геометричної прогресії, знаменник якого $$q=\frac{1}{2}-$$.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{2^n}+\text{.}\text{.}\text{.}$$.

Кожний член заданого ряду менше або дорівнює відповідному члену ряду геометричної прогресії, який збігається, тому що $$|q|$$ < 1.

$$\frac{1}{n{2}^n}<=\frac{1}{2^2}(n=\mathrm{1,2,3,}\text{.}\text{.}\text{.})$$.

Отже, заданий рад збігається.

Ознака Даламбера. Позначимо D постійну Даламбера, яку знаходять за формулою.

$$D=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{a_{n+1}}{a_n}$$ (12).

Якщо D <1, тоді додатний числовий ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{a}_n$$ збігається. При D >1 цей ряд розбігається. При D =1 треба застосовувати іншу ознаку.

Приклад 3. Дослідити збіжність раду $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{3^n}{2^n{n}^5}\text{.}$$.

Розв’язування. Застосуємо до заданого ряду ознаку Даламбера.

$$D=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\left(\frac{3^{n+1}}{2^{n+1}(n+5{)}^5}-\frac{3^n}{2^n{n}^5}\right)=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{3n^5}{2(n+1{)}^5}=\frac{3}{2}\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{1}{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^5}=\frac{3}{2}$$.

Отже, заданий ряд розбігається.

Радикальна ознака Коші. Позначимо К постійну Коші, яку знаходять за формулою.

$$K=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\sqrt[n]{a_n}$$ (13).

Якщо К<1, тоді додатний числовий ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{a}_n$$ збігається. При К>1 ряд розбігається. Якщо К = 1, то треба застосовувати іншу ознаку.

Приклад 4. Дослідити збіжність ряду $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{2^n}{n^n}\text{.}$$.

Розв’язування. Застосуємо до заданого ряду радикальну ознаку Коші. Тоді.

$$K=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\sqrt[n]{a_n}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\sqrt[n]{{\left(\frac{2}{n}\right)}^n}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{2}{n}=0$$.

Отже, заданий ряд збігається.

Інтегральна ознака Коші. Треба дослідити збіжність додатного числового ряду $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{a}_n$$ де $$a_n=f(n)$$. Розглянемо невласний інтеграл $$\underset{1}{\overset{\mathrm{}}{}}f(x)\text{dx}\text{.}$$. Якщо цей інтеграл збігається, то числовий ряд також збігається: Якщо цей інтеграл розбіжний, то числовий ряд також розбіжний.

Приклад 5. Дослідити збіжність узагальненого гармонічного ряду $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{1}{n^p}\text{.}$$.

Розв’язування. Застосуємо до цього ряду інтегральну ознаку Коші. Розглянемо невласний інтеграл $$\underset{1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{\text{dx}}{x^p}$$ .

1) при р=1 одержимо:

$$\begin{array}{c}\underset{1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{\text{dx}}{x}=\underset{b->\mathrm{}}{\text{lim}}\underset{1}{\overset{b}{}}\frac{\text{dx}}{x}=\underset{b->\mathrm{}}{\text{lim}}\text{ln}|x|\\ \begin{array}{c}|b\\ |1\end{array}=\underset{b->\mathrm{}}{\text{lim}}\left(\text{ln}|b|-\text{ln}1\right)=\mathrm{}\text{.}\end{array}$$.

В цьому випадку інтеграл розбіжний, отже і ряд розбіжний.

2). $$\begin{array}{c}\underset{1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{\text{dx}}{x^p}=\underset{b->\mathrm{}}{\text{lim}}\underset{1}{\overset{b}{}}{x}^{-p}\text{dx}=\underset{b->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{x^{-p+1}}{1-p}\\ \begin{array}{c}|b\\ |1\end{array}=\underset{b->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{1}{1-p}\left(b^{-p+1}-1\right)\end{array}$$.

Неважко бачити, що при р<1 інтеграл є розбіжним, а при р>1 інтеграл збіжний.

Отже, узагальнений гармонічний ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{1}{n^p}$$ є збіжним, якщо р>1 та розбіжним, якщо р < 1.

5. Знакопочережні числові ряди Означення 6. Ряд, члени якого почережно мають додатний та від'ємний знаки, називають знакопочережним.

Такий ряд можна записати, наприклад, у вигляді.

$$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}(-1{)}^{n-1}{U}_1-U_2+U_3-U_4+\text{.}\text{.}\text{.}+(-1{)}^{n-1}{U}_n+\text{.}\text{.}\text{.}$$ (14).

Означення 7. Знакопочережний ряд називають збіжним абсолютно, якщо збігається додатний числовий ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}{U}_n$$, складений з абсолютних величин знакопочережного ряду (14).

Якщо ряд, складений з абсолютних величин членів ряду (14) розбігається, а знакопочережний ряд збігається, то кажуть, що ряд (14) збігається неабсолютна або умовно.

Абсолютну збіжність знакопочережного ряду досліджують з використанням достатніх ознак збіжності додатних числових рядів. Неабсолютну збіжність знакопочережного ряду досліджують з використанням ознаки Лейбніца.

Ознака Лейбніца. Якщо абсолютні величини знакопочережного ряду монотонно спадають, тобто.

U1 >U2 >U3 >… >Un >…

і границя його загального члена дорівнює нулю при $$n->\mathrm{}$$, тобто виконується умова.

$$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{U}_n=\mathrm{0,}$$.

тоді знакопочережний ряд збігається, причому його сума S обов’язково менше першого члена ряду.

Якщо замінити суму цього ряду S його частковою сумою Sm, тоді абсолютна величина похибки Rm буде менше першого відкинутого члена ряду, тобто $$|R_m|<U_{m+1}\text{.}$$.

Остання оцінка використовується у наближених обчисленнях.

Приклад 6. Дослідити збіжність знакопочережних рядів:

$$\begin{array}{cccc}a)\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{\text{cos}\mathit{n}}{n^2}-& b)\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}-& с)\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}(-1{)}^{n-1}\frac{2n}{n+1}\text{.}& \end{array}$$.

Розв’язування. а) Складемо ряд з абсолютних величин заданого знакопочережного ряду ($$$$ — довільне число):

$$\frac{|\text{cos}|}{1}+\frac{|\text{cos}2|}{2^2}+\frac{|\text{cos}3|}{3^2}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{|\text{cos}\mathit{n}|}{n^2}$$ (15).

Порівняємо цей ряд із збіжним узагальненим гармонічним рядом.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{n^2}+\text{.}\text{.}\text{.}$$ (16).

Кожний член ряду (15) менше або дорівнює відповідному члену ряду (16) тому, що.

$$\frac{|\text{cos}\mathit{n}|}{n^2}<=\frac{1}{n^2},n=\mathrm{1,2,3,}\text{.}\text{.}\text{.}$$.

Згідно з ознакою порівняння ряд (15) збігається, а це означає, що заданий знакопочережний ряд а) збігається абсолютно,.

b) У цьому випадку ряд, складений з абсолютних величин $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{1}{n}$$ — розбіжний гармонічний ряд, тому ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}$$ абсолютно не збігається. Для дослідження його неабсолютної збіжності треба застосувати ознаку Лейбніца. У даному випадку обидві умови ознаки Лейбніца виконуються:

$$\begin{array}{cc}1>\frac{1}{2}>\frac{1}{3}>\text{.}\text{.}\text{.}>\frac{1}{n}>\text{.}\text{.}\text{.}-& \underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\end{array}\frac{1}{n}=0\text{.}$$.

Тому знакопочережний ряд b) збігається неабсолютно.

У цьому випадку не виконується необхідна умова збіжності числового ряду тому, що.

$$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{2n}{n+1}=2\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=2/=0$$.

Отже, ряд $$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{}}{}}(-1{)}^{n-1}\frac{2n}{n+1}$$

розбіжний.

.