Пряма у просторі і її рівняння

План

Вступ

1. Пряма, що задається точкою і напрямним вектором

2. Пряма, що задається двома точками

3. Пряма як перетин двох площин

4. Взаємне розташування прямих. Кут між двома прямими

5. Відстань від точки до прямої

6. Кут між мимобіжними прямими

7. Задачі на складання рівняння прямої

Висновок Література

Вступ

Пряма і її рівняння. При аксіоматичній побудові курсу геометрії пряма, так само як точка й площина, розглядається як основний, невизначений об'єкт. Основні властивості прямої задаються аксіомами, а інші виводяться з них логічним шляхом. У цій курсовій роботі терміну «пряма» ми надамо трохи інший зміст. Нехай — деяка пряма, визначена аксіоматично. Надалі під терміном «пряма d» будемо розуміти геометричний образ, що складається із множини всіх точок, а також множини всіх векторів, що належать (векторами прямої називаються вектори, паралельні цій прямій). Для позначення належності точки або вектора прямії d ми будемо користуватися звичайними символами теорії множин: .

Така точка зору дещо ускладнює вихідне поняття прямої, однак по суті ми не ввели нічого нового, ми лише одне поняття замінили іншим, еквівалентним поняттям. Ця заміна, як ми побачимо нижче, дозволить дати аналітичну характеристику координат всіх точок і координат всіх векторів прямої. Таким чином, ми одержуємо можливість застосувати методи аналітичної геометрії до теорії прямої.

Як відомо, сукупність всіх векторів прямої d утворюють одномірний векторний підпростір. Цей підпростір будемо називати векторним підпростором прямої d.

Положення прямої d на площині визначається однозначно в кожному з розглянутих нижче випадків, якщо дані наступні об'єкти, що належать прямій:

а) Точка і ненульовий вектор прямої. Точка називається фіксованою точкою, а — напрямним вектором. Очевидно, за фіксовану точку можна взяти будь-яку точку прямої, а за напрямний вектор — будь-який її ненульовий вектор.

б) Дві різні точки і прямої.

в) Дві різні площини, що перетинаються по прямій d.

Якщо на площині обрана загальна декартова система координат, то зазначені вище об'єкти, що визначають положення прямої на площині, задаються координатами.

Однією з основних задач теорії прямої є наступна задача: знаючи координати образів, що визначають положення прямої d на площині, написати рівняння множини всіх точок прямої, або будь-яке рівняння прямої d. Нижче розглянута ця задача при різних способах задання прямої.

При розв’язанні цієї задачі ми скористаємося наступним твердженням. Якщо — фіксована точка прямої d, а — ненульовий вектор цієї прямої, то, очевидно, кожна точка М прямої характеризується умовою:. Обернено, якщо, то точка М належить прямій d. Таким чином, точка М належить d тоді і тільки тоді, коли вектори і колінеарні.

1. Пряма, що задається точкою і напрямним вектором

Означення: напрямним вектором прямої d називається всякий вектор

паралельний до .

Виберемо прямокутну декартову систему координат (Рис.1). В цій системі візьмемо пряму d, на прямій виберемо фіксовану точку, ,. Нехай M (x;y;z) — будь-яка біжуча точка прямої. Точка М лежить на прямій d тоді і тільки тоді, коли вектори і колінеарні. Тобто

(1) — векторне рівняння прямої.

тоді

(2) — параметричні рівняння прямої.

(3) — канонічні рівняння прямої.

Геометричний зміст рівняння (3) не втрачається, якщо в першому або другому знаменниках містяться нулі.

2. Пряма, що задається двома точками

пряма рівняння простір Виберемо прямокутну декартову систему координат (Рис.2). В цій системі візьмемо пряму d, на прямій виберемо фіксовані точки. Нехай M (x;y;z) — будь-яка біжуча точка.

.

Оскільки вектори колінеарні, то їх координати пропорційні, тобто

(1) — рівняння прямої, що проходить через дві точки.

3. Пряма як перетин двох площин

Виберемо прямокутну декартову систему координат (Рис. 3). В цій системі виберемо дві площини і, що перетинаються по прямій d., :. Оскільки площини перетинаються, то .

Тоді (1) — загальне рівняння прямої

— вектори нормалі площин і .

Розв’язком системи (1) є координати точки М, .

: (2) — канонічні рівняння прямої

4. Взаємне розташування прямих

Прямі в просторі можуть лежати в одній площині (паралельні, перетинаються), і не лежати в одній площині (мимобіжні), і можуть співпадати.

Виберемо прямокутну декартову систему координат (Рис. 4). В цій системі виберемо дві прямі і. , - напрямний вектор прямої, , , — напрямний вектор прямої .

Прямі і лежать в одній площині тоді і тільки тоді, коли вектори компланарні, тобто .

Отже, умовою того, що прямі і лежать в одній площині є .

З цього слідує, що прямі і мимобіжні тоді і тільки тоді, коли .

Кут між двома прямими

Означення: кут між прямими в просторі — це кут між прямими, паралельними даним, що проходять через одну точку. Його величина може бути знайдена як величина кута між напрямними векторами даних прямих.

(1) — косинус кута між прямими.

Розглянемо окремі випадки розташування прямих:

1) прямі і перпендикулярні

тобто .

2) прямі і паралельні

тобто .

5. Відстань від точки до прямої

Виберемо прямокутну декартову систему координат (Рис. 5). В цій системі виберемо пряму d, d: — напрямний вектор прямої d. Нехай точка — довільна точка, що не належить прямій d.

Шукана відстань — це довжина перпендикуляра, опущеного з точки на пряму d. Ця відстань може бути знайдена як висота паралелограма, побудованого на векторах і .

;

(1) — формула для знаходження відстані від точки до прямої.

6. Кут між мимобіжними прямими

Означення: найкоротшою відстанню між двома прямими називається довжина відрізка спільного перпендикуляра до прямих, кінці якого належать цим прямим.

Виберемо прямокутну декартову систему координат (Рис. 6). В цій системі виберемо дві прямі і. , , — напрямний вектор прямої, , , — напрямний вектор прямої , — довжина перпендикуляра.

Через кожну з прямих можна провести площину, паралельну до іншої. Побудуємо на векторах, , паралелепіпед, висота цього паралелепіпеда h є відстанню між даними мимобіжними прямими .

;

(1) — формула для знаходження відстані між двома мимобіжними прямими.

8. Задачі на складання рівняння прямої

Розглянемо найбільш типові задачі на пряму, які розв’язуються методами аналітичної геометрії.

Задача 1. У прямокутній системі координат дві прямі задані рівняннями

Довести, що ці прямі мимобіжні і знайти відстань між ними.

Розв’язання (Рис.7).

Прямі мимобіжні тоді і тільки тоді, коли виконується умова Перевіримо її. Для цього складемо визначник, рядками якого є координати векторів

Отже, дані прямі мимобіжні.

Щоб знайти відстань між цими прямими, проведемо через пряму площину, паралельну до .Відстань між мимобіжними прямими дорівнює відстані від точки прямої до площини .

Площина проходить через точку і має напрямний підпростір з базисними векторами .

Її рівняння Знайдемо відстань від точки до цієї площини:

Відповідь..

Задача 2. Довести, що прямі, задані параметричними рівняннями

і перетинаються.

Розв’язання.

Прямі перетинаються тоді і тільки тоді, коли виконуються такі умови: 1) Напрямні вектори прямих і вектор, що сполучає фіксовані точки на цих прямих, будуть компланарними (умова того, що прямі лежать в одній площині).

2) Напрямні вектори прямих не колінеарні.

Перевіримо виконання цих двох умов.

1) — напрямний вектор прямої, точка — фіксована точка прямої; - напрямний вектор прямої, точка — фіксована точка прямої; вектор — вектор, що сполучає фіксовані точки на прямих .

Прямі лежать в одній площині тоді і тільки тоді, коли визначник, складений із координат векторів і дорівнює нулю, тобто Отже, прямі лежать в одній площині.

2) Вектори і колінеарні тоді і тільки тоді, коли відношення їх відповідних координат рівні, тобто

умова колінеарності не виконується, значить вектори і не колінеарні.

Отже, обидві умови того, що прямі перетинаються, виконуються, значить прямі перетинаються.

Задача 3. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку, перетинає пряму і перпендикулярна до неї. Система координат прямокутна декартова.

Розв’язання.

1-й спосіб. Нехай шукана пряма, а має рівняння .

Для знаходження координат напрямного вектора використаємо умову перетину прямих і умову їх перпендикулярності (Рис. 8).

1. Умова перетину: прямі перетинаються, якщо визначник складений із координат векторів, дорівнює нулю:

2. Умова перпендикулярності: прямі перпендикулярні, якщо скалярний добуток їх напрямних векторів дорівнює нулю:

Маємо систему двох рівнянь:

Таким чином, шукана пряма задана пряма задається рівнянням

або .

2-й спосіб. Знайдемо спочатку рівняння площини, що проходить через точку і перпендикулярна до прямої (Рис. 9). Напрямний вектор прямої буде нормальним вектором площини. Тому рівняння площини таке:

Знайдемо тепер координати точки перетину прямої і площини. Для цього перепишемо рівняння прямої у параметричній формі і розв’яжемо систему рівнянь:

Отже, точка має координати. Запишемо рівняння шуканої прямої а за двома точками і :

або .

Відповідь. .

Задача 4. Знайти відстань від точки до прямої. Система координат прямокутна декартова.

Знайдемо рівняння площини, що проходить через точку і перпендикулярна до прямої а. Напрямний вектор прямої є нормальним вектором площини. Тому її рівняння:

1. Знайдемо координати точки N перетину прямої a і площини. Для цього складемо і розв’яжемо систему рівнянь:

Отже, координати точки .

2. бо лежить у площині, а площина перпендикулярна до прямої a. Тому відстанню від точки до прямої a є довжина відрізка. Знайдемо її.

Відповідь.

Задача 5. Скласти канонічні рівняння прямої d, що проходить через точку паралельно: 1) вектору; 2) прямій l:; 3) осі OX.

Розв’язання.

1) Канонічні рівняння прямої, що проходить через точку мають вигляд:. Якщо, то — напрямний вектор прямої d, тобто координати вектора задовольняють рівняння прямої d:

2) Вектор — напрямний вектор прямої l. Якщо, то, значить — напрямний вектор прямої d, тобто координати вектора задовольняють рівняння прямої d:

3)Вектор — напрямний вектор осі ОХ. Якщо, то, значить - напрямний вектор прямої d, тобто координати вектора задовольняють рівняння прямої d:

Відповідь. 1) 2) 3)

Задача 6. Дані вершини трикутника Скласти параметричні рівняння його медіани, проведеної з вершини С.

Розв’язання (Рис. 11).

Нехай точка — середина відрізка АВ, тоді

Отже, точка. То СМ:, тоді

Відповідь.

Задача 7. Скласти рівняння прямих, що утворюються при перетині площини з координатними площинами.

Розв’язання.

— загальне рівняння прямої, розв’язком цієї системи є координати точки, що належить прямій l.

l: — канонічні рівняння прямої, що задається як перетин двох площин, де — координати точки, що належить прямій, — координати векторів нормалі відповідних площин.

1), , то

тоді

2), XOZ: ,

о

тоді

3) ,

то

тоді

Відповідь. 1) 2) 3)

Задача 8. Дано прямі і. При якому значенні k вони перетинаються?

Розв’язання.

Прямі перетинаються тоді і тільки тоді, коли виконуються такі умови: 1) Напрямні вектори прямих і вектор, що сполучає фіксовані точки на цих прямих, будуть компланарними (умова того, що прямі лежать в одній площині).

2) Напрямні вектори прямих не колінеарні.

— напрямний вектор прямої, точка — фіксована точка прямої; - напрямний вектор прямої, точка — фіксована точка прямої; вектор — вектор, що сполучає фіксовані точки на прямих .

Прямі лежать в одній площині тоді і тільки тоді, коли визначник, складений із координат векторів і дорівнює нулю, тобто Перевіримо це значення k умовою того, що вектори і не колінеарні, тобто відношення їх відповідних координат не рівні: .

Отже, прямі перетинаються при .

Відповідь. .

Задача 9. Знайти косинус кута між прямими:

Розв’язання.

де — відповідно напрямні вектори даних прямих.

Знайдемо координати напрямних векторів прямих :

тобто Тоді .

Аналогічно Тоді .

Отже, .

Відповідь. .

Задача 10. Скласти рівняння прямої d, що утворюється при перетині площини з площиною S, що проходить через вісь ОХ та точку .

Розв’язання.

Якщо площина S проходить через вісь ОХ, то. Якщо точка, то. Тоді. Отже, .

Загальне рівняння прямої, що задається як перетин двох площин, тобто

Відповідь.

Задача 11. Скласти параметричні рівняння прямої l, що проходить через точку паралельно: 1) вектору; 2) прямій; 3) прямій

Розв’язання.

1) — параметричні рівняння прямої, що задається точкою і напрямним вектором, де — координати точки, що належить прямій, — координати напрямного вектора. Тоді

2) Якщо, то напрямний вектор прямої, тобто

3) Якщо, то напрямний вектор прямої, тобто

Відповідь. 1) 2) 3)

Задача 12. Дані вершини трикутника і. Скласти канонічні рівняння бісектриси його внутрішнього кута при вершині В.

Розв’язання (Рис. 12).

Нехай бісектриса кута В перетинає сторону АС в точці. То — за властивістю бісектриси.

,

.

Тобто, значить

Значить точка, тоді СК: — рівняння прямої, що задається двома точками.

Отже, СК: .

Відповідь. .

Висновок

Створюючи свою курсову роботу на тему «Пряма в просторі», я досконало опрацювала матеріал, що стосується цієї теми і прийшла до висновку, що пряма і її різні завдання у просторі - дуже важливе питання не тільки в аналітичній геометрії, але і в нашому повсякденному житті, адже саме простір оточує нас, і зокрема в моїй майбутній професії вчителя. Тому, на мою думку, дуже важливо, щоб цю тему вивчали всі, хто в майбутньому буде навчати інших геометрії, що є основною складовою математики.

Саме тому вузівська програма з геометрії передбачає такий рівень знань, який дасть можливість майбутньому вчителю відповісти на будь-які запитання, що виникнуть в учнів у процесі вивчення даної дисципліни. Учитель, володіючи більшим обсягом знань, ніж вимагає шкільна програма, зможе вибрати оптимальну методику викладання відповідного матеріалу та здобути інтерес до вивчення геометрії.

Я вважаю, що одне з найважливіших завдань курсу аналітичної геометрії полягає в тому, щоб навчити майбутнього вчителя вмінню застосовувати аналітичний метод до розв’язування задач з геометрії, у тому числі й задач шкільної математики. Тому в курсовій роботі значну увагу я приділила розв’язуванню задач координатним методом.

В процесі пошуку необхідної інформації та підбору цікавих задач, я отримала незабутні враження та велике задоволення від моєї курсової роботи.

Література

1. Александров П. С. Лекции по аналитической геометри. — М.: Наука, 1968.

2. Атанасян Л. С., Атанасян В. А. Сборник задач по геометри: Ч. І. — М.: Просвещение, 1973.

3. Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия: Ч. І. — М.: Просвещение, 1986.

4. Атанасян Л. С. Геометрия: Ч. І. — М.: Просвещение, 1973.

5. Базылев В. Т., Дуничев К. И., Иваницкая В. П. Геометрия: Ч. І. — М.: Просвещение, 1974.

6. Бахвалов С. В., Бабушкин Л. И., Иваницкая В. П. Аналитическая геометрия. — М.: Просвещение, 1970.

7. Білоусова В.П. та ін. Аналітична геометрія. — К.: Вища школа, 1973.

8. Выгодский М. Я. Аналитическая геометрия. — М.: Физматгиз, 1963.

9. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометри. — М.: Наука, 1972.

10. Погорелов А. В. Аналитическая геометрия. — М.: Наука, 1968.

11. Погорелов А. В. Геометрия. — М.: Наука, 1983.

12. Цубербиллер О. Н. Задачи и упражнения по аналитической геометри. — М.: Наука, 1970.

13. Яковець В. П., Боровик В. Н., Ваврикович Л. В. Аналітична геометрія. — Суми: Університетська книга, 2004.

14. Яковець В. П., Боровик В. Н., Ваврикович Л. В. Аналітична геометрія в просторі. — Ніжин: НДПУ, 2002.