Зенон Елейський, його парадокс й поняття нескінченності

З Є М Про М Еге Л Є Й З До І Й, Є Р Про П, А Р, А Д Про До З Ы.

І П Про М Я Т І Є Б Є З До Про М Ч М Про З Т И.

Пифагорийская школа. Піфагор заснував братство религилзного, філософського і наукового характеру з політичним ухилом. Праці, приписувані зазвичай Піфагору, ставляться як до легендарного Піфагору, а взагалі трудам цієї школи між 585 і 400 р. до зв. е .

У своїй космологічної концепції Піфагор відмовився від моністичної ідеї первинної субстанції, породила весь Всесвіт. Його концепція дуалистична, й у напрузі між двома протилежними принципами — обмежений — необмежене, парне — парне, єдине — множинне, пряме — криве, квадратне — довгасте — вона бачила причину будь-якого розвитку. Мало цікавлячись матеріальними елементами, які б дати уявлення про про генезисі різних складових частин Всесвіту, Піфагор, захоплений глибоким релігійним течією, яка охопила Грецію того часу, прагнув дати глобальну картину космосу загалом. Основу всього вона бачила серед, про що свідчить його девіз: «Усе є число».

Найважливішим серед приписуваних піфагорійцям відкриттів було відкриття ірраціонального як несоизмеримых відрізків прямий лінії. Можливо, що було зроблено на зв’язки й з дослідженням геометричного середнього а: в = в: с, величиною, яка цікавила піфагорійців і була символом аристократії. Чому одно геометричне середнє одиниці, і двійки, двох священних символів? Це вело до вивчення взаємини сторін і діагоналі квадрата, і це виявлено, що такий же стосунок не виражається «числом», тобто тим, що ми тепер називаємо раціональним числом (цілим числом чи дробом), лише такі числа допускалися пифагорейской арифметикою. Інакше кажучи, ірраціональні числа було відкрито, коли всі ясно, що деякі відносини не можна висловити з допомогою цілих чисел. Це відкриття ознаменувало катастрофа пифагорейской погляду про представимости світу з допомогою цілих чисел і це викликало перший криза історія математики.

Элеаты. Вплив Элейской школи (V в. е.) формування абстрактної наукової думки величезна. Засновник цієї школи, Парменид, був першим, хто суворо розрізняв чуттєве і умопостигаемое, що призвело до неминучою конфронтації між досвідом та вимогам розуму. саме тому элеаты відмовили пифагорейскую доктрину, яка ставить у відповідність будь-якої речі число. якщо дискретні об'єкти можна цілими числами. то інакше стан справ у разі безперервних величин, як-от довжини, площі, обсяги тощо., які у загальному разі можна інтерпретувати як дискретні набори одиниць, тільки якщо допускати існування нескінченного числа дуже малих елементів, у тому числі ці об'єкти складаються. Як реакцію останню концепцію Зенон Элейский (рід. між 495 і 480 рр. е.) сформулював чотири парадоксу, ілюстрували неможливість безкінечною подільності і будь-якого руху, мислячи простір і час які з неподільних частин. Загальна мета його аргументів показати ті безглуздя, яких приходять, коли намагаються отримати безперервні величини з нескінченно малих частинок, взятих у нескінченному множестве.

Літочислення нескінченно малих веде своє керівництво від інтуїтивного уявлення греків безперервністю, математичної нескінченності та межі, і навіть від труднощів, із якими зіштовхнулися при спробах явно визначити ці поняття. Ці три поняття були коректно визначено лише в XIX ст., коли математики захотіли систематизувати досягнення власної науку й їм не судилося переглянути підстави, щоб підвести під математичне будинок міцний фундамент.

Числа і геометричні величини. Ми бачили, що піфагорійці уподібнювали числа геометричних точкам: одиницю — одній точці, деяке інше число — групі точок, їхнім виокремленням деяку геометричну постать. Кожне число у них дискретним набором одиниць; в такий спосіб, пифагорейская арифметика обмежувалася вивченням позитивних цілих чисел і стосунків цілих чисел, які вважалися числами.

Будь-яка безперервна величина — лінія, поверхню, тіло — можна було ототожнена з певним відповідним їй числом — «количеством"(длина, площа, обсяг). Приблизно так як одиниця була спільна мірою цілих чисел, величини мали мати загальну одиницю виміру — бути з про і із м е р і м и метрів і - й кожна величина ототожнювалася із числом з яких складається одиниць. Ця спроба ототожнити цілі числа з безперервними величинами, інтерпретувати безупинне в термінах дискретного нічого не привела і швидко провалилася. Вирішальну роль, як говорилося, у цьому відіграла відкриття ірраціональних чисел. В квадраті зі стороною 1 ставлення діагоналі до сторони равно[pic][pic]; він виявляється у вигляді відносин цілих чисел і, отже, не має статусу в пифагорейской арифметиці. Сторона і діагональ немає загальної одиниця виміру і називаються зв е з про і із м е р і м и метрів і. Взаємна відповідність між величиною і кількістю, знайоме піфагорійцям, виявилося порушеним. Якщо кожному числу відповідає якась довжина, то які числа слід зіставити непорівнянним величинам?

Парадокси Зенона і поняття нескінченності. Саме з відкриттям несоизмеримых величин в грецьку математику проникло поняття нескінченності. У межах своїх пошуках загальної одиниця виміру всім величин грецькі геометри міг би розглянути нескінченно ділені величини, але ідея нескінченності наводила в глибоке сум’яття. Навіть якщо міркування про нескінченному проходили успішно, греки у математичних теоріях завжди намагалася обминути й виключити. Їх труднощі перед явним вираженням абстрактних понять нескінченного і непрерывного, противоположных поняттям кінцевого і дискретного, яскраво проявилися у парадоксах Зенона Элейского.

Доказами Зенона були «апорії» (глухі куточки); повинні були продемонструвати, що обидві припущення заводять у безвихідь. Ці парадокси за назвою, А x і л л е з, З т р е л а, Д і x от про метрів і я (розподіл на два) і З т, а буд і зв. Вони сформульовані так, чтобы[pic] підкреслити протиріччя поняттях руху, і часу, але це не спроба дозволити такі противоречия.

Апорія «Ахілл і черепаха» протистоїть ідеї безкінечною подільності простору й часу. Швидконогий Ахілл змагається з бігу з черепахою і шляхетно дає їй фору. Доки його пробіжить відстань, що відділяє його від точки відправлення черепахи, остання проповзе далі; відстань між Ахіллом і черепахою скоротилося, але черепаха зберігає перевагу. Поки Ахілл пробіжить відстань, що відділяє його від черепахи, черепаха знову проповзе ще небагато вперед, тощо. буд. Якщо простір нескінченно ділено, Ахілл не зможе наздогнати черепаху. Цей парадокс побудований на труднощі підсумовування безлічі дедалі більше малих величин і неможливості інтуїтивно уявити, що ця сума дорівнює кінцевої величине.

Ще явним народних обранців стає у апорії «Дихотомія»: колись ніж пройти певний відрізок, рух тіло спочатку має минути половину цього відрізка, потім половину половини, тощо до нескінченності. Зенон подумки будує ряд ½ + (½)2 + (½)3 + …, сума якого дорівнює 1, але вдається інтуїтивно збагнути зміст цього поняття. Сучасні ставлення до межі й збіжності низки дозволяють стверджувати, що з певного моменту відстань між Ахіллом і черепахою стане трохи менше будь-якого заданого числа [pic], обраного як завгодно малым.

Парадокс «Стріла» грунтується на припущенні, що простір та палестинці час складено з неподільних елементів, скажімо «точок» і «моментів». У певний «момент» свого польоту стріла перебуває у деякою «точці» простору в нерухомому стані. Адже це вірно у кожний час польоту, стріла взагалі може у движении.

Тут зачеплять питання миттєвою швидкості. Яке значення слід надати відношенню [pic]x/[pic]t пройденого відстані [pic]x до інтервалу часу [pic]t, коли величина [pic]t стає дуже малій? Нездатні уявити мінімум, відмінний від нуля, древні додали йому значення нуль. Нині з допомогою поняття краю пошук правильної відповіді перебуває негайно: миттєва швидкість є межа відносини [pic]x/[pic]t при [pic]t, яка прагне до нулю.

Таким образом, все ці парадокси пов’язані з визначенням краю; вона стала центральним поняттям обчислення нескінченно малых.

Парадокси Зенона відомі нам завдяки Аристотелю, который навів в своєї «Фізиці», щоб критикувати. Він розрізняє нескінченність щодо складання і нескінченність щодо ділення клітин і встановлює, що континуум нескінченно ділимо. Час теж нескінченно ділено, й у кінцевий інтервал часу можна пройти нескінченно подільне відстань. Парадокс «Стріла», який «є наслідком припущення, що час складається з моментів», стає безглуздим, якщо взяти, що час нескінченно делимо.

1. Цейтен РР. Історія математики давнини й у середньовіччі. М.- Л., 1932.

2. Стройк Д. Я. Короткий нарис історії математики. М., Наука, 1978.

3. Богомолов С. А. Актуальна нескінченність. М.-Л., 1934.