Фізична модель проникного термоелемента та її математичний опис

Фізична модель проникного ФГМ термоелемента, що працює в режимі генерації електричної енергії приведена на рис. 1. Вона містить вітки n — і pтипів провідності, властивості матеріалу яких змінюються з координатою х внаслідок залежності термоелектричних властивостей матеріалу від температури T (х) і від неоднорідності розподілу концентрації носіїв струму в матеріалі (х). Температура, яка підводиться до термоелемента теплоносія, дорівнює Tm, температура холодних спаїв термоелемента Tc. У моделі враховується також наявність контактних опорів r0 у місцях контакту комутаційних пластин з вітками термоелемента. Теплоносій прокачується від гарячих спаїв до холодних. Витрата тепла G від теплоносія відбувається шляхом його теплообміну з внутрішньою поверхнею каналів віток. Бічні поверхні віток адіабатично ізольовані.

В цих умовах припустимо використовувати одномірний розподіл температур вздовж осі х. Стаціонарний розподіл температур T (х) і теплових потоків q (х), теплоносії t (х) у вітках знайдемо з рішення системи диференціальних рівнянь:

де n, p=n, p (T (х), n, p (х)), n, p=n, p (T (х), n, p (х)), n, p=n, p (T (х), n, p (х)) — коефіцієнти термоЕРС, теплопровідності і питомий електричний опір матеріалу вітки n і p — типів залежать від розподілу концентрації носіїв струму n, p (х) і температури T (х); - безрозмірна координата; - ефективний коефіцієнт тепловіддачі, T — коефіцієнт тепловіддачі, — периметр каналу, NK — число каналів, l — висота віток термоелемента; SKплоща перетину всіх каналів; S — перетин вітки разом з каналами; t — температура теплоносія в точці x; T — температура вітки в точці x;; i — густина струму (i=); ср — теплоємність теплоносія.

Основною задачею дослідження є пошук таких погоджених оптимальних розподілів концентрації носіїв струму в матеріалі віток n, p (х), такої витрати теплоносія і густини струму, при яких досягається максимальний коефіцієнт корисної дії для заданих температур холодних спаїв Tс, теплоносія Tm і за умови теплової ізоляції гарячих спаїв [76]. Граничні умови для системи диференціальних рівнянь записуються у вигляді:

. (2).

Задачу досягнення максимуму ККД:

де:

— електрична потужність, яка генерується термоелементом;

— наявна теплова енергія теплоносія; - контактний опір; зручно звести до досягнення мінімуму функціонала:

Мовою теорії оптимального керування завдання оптимізації полягає в тім, щоб визначити витрати теплоносія G, густину струму j і функції концентрації носіїв у матеріалі віток n, p (х), які при обмеженнях диференціальних рівнянь, що накладаються системою.