Критерій інтегровності функції за Ріманом. 
Класи інтегровних функцій

Теорема 1.2 Для того щоб функція f (x), визначена на відрізку [a, b], була (за Ріманом) на цьому відрізку необхідно і достатньо, щоб вона була обмежена на відрізку [a, b] і щоб її нижній інтеграл Дарбу на відрізку [a, b] дорівнював її верхньому інтегралу Дарбу на цьому проміжку.

Цю теорему можна сформулювати і по іншому:

Теорема 1.3 Для того щоб функція f (x), визначена на відрізку [a, b], була інтегровною (за Ріманом) на цьому відрізку необхідно і достатньо, щоб вона була обмежена на цьому відрізку і щоб де — коливання функції f (x) на відрізку [x_k, x_k+1] (k=0,1,2…n-1).

Класи інтегровних функцій

Розглянемо основні класи R — інтегровних функцій і подамо умову R — інтегрованості.

Теорема 1.4 Неперервна на сегменті [a, b] функція f (x) інтегровна на [a, b].

Доведення. За властивостями неперервної функції f (x) обмежена і рівномірно неперервна на [a, b]. Візьмемо довільне і знайдемо таке, що коливання функціїf (x) на сегменті [x_k, x_k+1] буде менше від приx_k+1-x_k.

Тоді для кожного поділу? з За умовою R-інтегровності функція f (x) є інтегровною.

Узагальненням теореми (1.4) є наступна.

Теорема 1.5 Якщо обмежена на сегменті [a, b] функція f (x) має на цьому сегменті скінченну кількість точок розриву, то вона інтегровна на [a, b].

Прикладами інтегровних функцій, що можуть мати нескінченну множину точок розриву є монотонні функції.

Теорема 1.6 Монотонна на сегменті [a, b] функція f (x) інтегровна на цьому сегменті.

Доведення. Нехай, наприклад, функція f (x) не спадна на сегменті [a, b] (випадок не зростаючої функції можна розглянути аналогічно). Зазначимо, по-перше, що f (x) обмежена на [a, b], причому для всіх x. Далі, =f (x_k+1)-f (x_k) для кожного k. Нехай — довільне число. Для кожного поділу? з дістанемо:

За умовою R-інтегровностіf (x)інтегровна.

Теорема 1.7 Якщо f (x) та g (x) — інтегровні на сегменті [a, b] функції, то функції |f (x)|, f (x) g (x), f (x) * g (x) також інтегровні на цьому сегменті.

За умовою R — інтегрованості з інтегрованості функцій f (x) та g (x) випливає інтегрованість їх добутку.

Теорема 1.8 Функція f (x) з обмеженою змінною на сегменті [a, b] інтегровна на цьому сегменті.

Вище було розглянуто деякі типи інтегровних функцій. Повну характеристику класу інтегровних функцій дає така теорема.

Теорема 1.9 (Теорема Лебега) Для R — інтегрованості обмеженої функції f (x) на сегменті [a, b] необхідно і достатньо, щоб Лебегова міра довжини D точок розриву функції f (x) на сегменті [a, b] дорівнювала нулеві.

Доведення.

де — множина точок, в яких коливання функції f (x) не менше ніж. Умова мD=0 еквівалентна умові =0 для всіх n, бо яке б не було n за властивостями міри Лебега Вимірність множин випливає з того, що вони замкнені, а отже і множина D вимірна також.

Попередні теореми про інтегрованість неперервних функцій, функцій з скінченною кількістю точок розриву, монотонних функцій і функцій з обмеженою змінною випливають безпосередньо з теореми Лебега. [3].