Рівняння в повних диференціалах (реферат)

Реферат на тему:

Рівняння в повних диференціалах

1. Загальна теорія

Якщо ліва частина диференціального рівняння.

$$M(x,y)\text{dx}+N(x,y)\text{dy}=0$$.

є повним диференціалом деякої функції $$u(x,y)$$, тобто.

$$\text{du}(x,y)=M(x,y)\text{dx}+N(x,y)\text{dy}$$ ,.

і, таким чином, рівняння приймає вигляд $$\text{du}(x,y)=\mathrm{0,}$$ то рівняння називається рівнянням в повних диференціалах. Звідси вираз.

$$u(x,y)=C$$.

є загальним інтегралом диференціального рівняння.

Критерієм того, що рівняння є рівнянням в повних ди­ференціалах, тобто необхідною та достатньою умовою, є виконання рівності.

$$\frac{M(x,y)}{y}=\frac{N(x,y)}{x}\text{.}$$.

Нехай маємо рівняння в повних диференціалах. Тоді.

$$\frac{u(x,y)}{x}=M(x,y),\frac{u(x,y)}{y}=N(x,y)\text{.}$$.

Звідси $$u(x,y)={}_{}^{}M(x,y)\text{dx}+(y),$$ де $$(y)$$ — невідома функція. Для її визначення продиференціюємо співвідношення по $$y$$ і прирівняємо $$N(x,y)\text{.}$$.

$$\frac{u(x,y)}{y}=\frac{}{y}\left({}_{}^{}M(x,y)\text{dx}\right)+\frac{\mathit{d}(y)}{\text{dy}}=N(x,y)\text{.}$$.

Звідси.

$$(y)={}_{}^{}\left[N(x,y)-\frac{}{y}\left({}_{}^{}M(x,y)\text{dx}\right)\right]\text{dy}$$ .

Остаточно, загальний інтеграл має вигляд.

$${}_{}^{}M(x,y)\text{dx}+{}_{}^{}\left[N(x,y)-\frac{}{y}\left({}_{}^{}M(x,y)\text{dx}\right)\right]\text{dy}=C\text{.}$$.

Як відомо з математичного аналізу, якщо відомий повний диференціал.

$$\text{du}(x,y)=M(x,y)\text{dx}+N(x,y)\text{dy}$$ ,.

то $$u(x,y)$$ можна визначити, взявши криволінійний інтеграл по довільному контуру, що з'єднує фіксовану точку $$(x_0,y_0)$$ і точку із змінними координатами $$(x,y)$$. Більш зручно брати криву, що складається із двох відрізків прямих. В цьому випадку криволінійний інтеграл розпадається на два простих інтеграла.

$$\begin{array}{c}u(x,y)={}_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}M(x,y)\text{dx}+N(x,y)\text{dy}=\\ {}_{(x_0,y_0)}^{(x,y_0)}M(x,y_0)\text{dx}+{}_{(x,y_0)}^{(x,y)}N(x,y)\text{dy}=\\ ={}_{x_0}^{x}M(x,y_0)\text{dx}+{}_{y_0}^{y}N(x,y)\text{dy}\text{.}\end{array}$$.

В цьому випадку одразу одержуємо розв’язок задачі Коші.

$${}_{x_0}^{x}M(x,y_0)\text{dx}+{}_{y_0}^{y}N(x,y_0)\text{dy}=0$$ .

2. Множник, що Інтегрує

В деяких випадках рівняння.

$$M(x,y)\text{dx}+N(x,y)\text{dy}=0$$.

не є рівнянням в повних диференціалах, але існує функція $$=(x,y)$$ така, що рівняння.

$$(x,y)M(x,y)\text{dx}+(x,y)N(x,y)\text{dy}=0$$.

вже буде рівнянням в повних диференціалах. Необхідною та дос­татньою умовою цього є рівність.

$$\frac{}{y}((x,y)M(x,y))=\frac{}{x}((x,y)N(x,y)$$ ,.

або.

$$\frac{}{y}M+\frac{M}{x}=\frac{}{y}N+\frac{N}{x}$$ .

Таким чином замість звичайного диференціального рівняння відносно функції $$y(x)$$ одержимо диференціальне рівняння в частинних похідних відносно функції $$(x,y)$$. Задача ін­тегрування його значно спрощується, якщо відомо в якому вигляді шукати функцію $$(x,y)$$, наприклад $$=((x,y)),$$ де $$(x,y)$$ — відома функція. В цьому випадку одержуємо.

$$\frac{}{y}=\frac{\mathit{d}}{\mathit{d}}\frac{}{y},\frac{}{x}=\frac{\mathit{d}}{\mathit{d}}\frac{}{x}\text{.}$$.

Після підстановки в рівняння маємо.

$$\frac{\mathit{d}}{\mathit{d}}\frac{}{y}M+\frac{M}{y}=\frac{\mathit{d}}{\mathit{d}}\frac{}{x}N+\frac{N}{x}$$ ,.

або.

$$\frac{\mathit{d}}{\mathit{d}}\left[N\frac{}{x}-M\frac{}{y}\right]=\left[\frac{M}{y}-\frac{N}{x}\right]$$ .

Розділимо змінні.

$$\frac{\mathit{d}}{}=\frac{\frac{M}{y}-\frac{N}{x}}{N\frac{}{x}-M\frac{}{y}}\mathit{d}\text{.}$$.

Проінтегрувавши і поклавши сталу інтегрування одиницею, одержимо:

$$((x,y))=\text{exp}\left\{{}_{}^{}\frac{\frac{}{y}-\frac{N}{x}}{N\frac{}{x}-M\frac{}{y}}\mathit{d}\right\}$$ .

Розглянемо частинні випадки.

1) Нехай $$(x,y)=x$$. Тоді $$\frac{}{x}=\mathrm{1,}\frac{}{y}=\mathrm{0,}\mathit{d}=\text{dx}\text{.}$$.

І формула має вигляд.

$$(x)=\text{exp}\left\{\frac{\frac{M}{y}-\frac{N}{x}}{N}\text{dx}\right\}$$ .

2) Нехай $$(x,y)=y$$. Тоді $$\frac{}{x}=\mathrm{0,}\frac{}{y}=\mathrm{1,}\mathit{d}=\text{dy}\text{.}$$.

І формула має вигляд.

$$(y)=\text{exp}\left\{\frac{\frac{M}{y}-\frac{N}{x}}{-M}\text{dy}\right\}$$.

3) Нехай $$(x,y)=x^2\pm y^2$$ .Тоді.

$$\frac{}{x}=2x,\frac{}{y}=\pm 2y,\mathit{d}=d(x^2\pm y^2)\text{.}$$.

І формула має вигляд.

$$(x,y)=\text{exp}\left\{\frac{\frac{M}{y}-\frac{N}{x}}{2\text{xN}\pm 2\text{yM}}d(x^2\pm y^2)\right\}$$ .

4) Нехай $$(x,y)=\text{xy}$$. Тоді $$\frac{}{x}=y,\frac{}{y}=x,\mathit{d}=d(\text{xy})\text{.}$$.

І формула має вигляд.

$$(x,y)=\text{exp}\left\{\frac{\frac{M}{y}-\frac{N}{x}}{\text{yN}-\text{xM}}d(\text{xy})\right\}$$ .

3. Вправи для самостійної роботи

Як вже було сказано, рівняння $$M(x,y)\text{dx}+N(x,y)\text{dy}=0$$ буде рівнянням в повних диференціалах, якщо його ліва частина є повним диференціалом деякої функції. Це має місце при $$\frac{M}{y}=\frac{N}{x}$$ .

Приклад 1.4.1. Розв’язати рівняння.

$$(2x+3x^{2}y)\text{dx}+(x^3-3y^2)\text{dy}=0$$ .

Розв’язок. Перевіримо, що це рівняння є рівнянням в повних диференціалах. Обчислимо.

$$\frac{}{y}(2x+3x^{2}y)=3x^2,\frac{}{\text{dy}}(x^3-3y^2)=3x^2$$ .

Таким чином існує функція $$u(x,y)$$, що $$\frac{u(x,y)}{x}=2x+3x^{2}y$$. Проінтегруємо по $$x$$. Отримаємо.

$$u(x,y)=(2x+3x^{2}y)\text{dx}+(y)=x^2+x^{3}y+(y)$$ .

Для знаходження функції $$(y)$$ візьмемо похідну від $$u(x,y)$$ по $$y$$ і прирівняємо до $$x^3-3y^2$$. Отримаємо.

$$\frac{u(x,y)}{y}=x^3+\text{'}(y)=x^3-3y^2$$ .

Звідси $$\text{'}(y)=-3y^2$$ і $$(y)=-y^3$$. Таким чином, $$u(x,y)=x^2+x^{3}y-y^3$$ і загальний інтеграл диференціального рівняння має вигляд $$x^2+x^{3}y-y^3=C$$ .

Перевірити, що дані рівняння є рівняннями в повних диференціалах, і розв’язати їх:

Розв’язати, використовуючи інтегруючий множник.