Послідовність. 
Майбутня та теперішня вартість (реферат)

Реферат на тему:

Послідовність. Майбутня та теперішня вартість Нехай p — початковий внесок в банк;

r — процент (відсоток) нарахувань;

t — кількість періодів, що минули від моменту початкового.

внеску.

У тому випадку, коли нараховують звичайні відсотки, поточний розмір внеску є послідовністю типу арифметичної прогресії.

a0=pa1=p+rpa2=p+2rp-.. .- at=p+trp-.. .

Загальний член прогресії (розмір внеску в періоді t) обчислюють за формулою.

at=p (1+t.

Приклад. Клієнт вклав у банк 1000 грн. під прості відсотки у розмірі 10% річних. Визначити, через скільки періодів його внесок подвоїться.

При p = 1000 грн. та r = 0,1=10% маємо.

a0=1000- a1=1100- a2=1200-. .. — at=1000(1+0,1t) —.. .

Подвоєння внеску (at=2a0) відбудеться через 1/r=10 періодів (років). Справді, із рівняння 1000(1+0,1t) = 1000 отримуємо.

1+0,1t = 2;

t = 10.

Нехай, як і раніше, як і раніше,.

p — початковий внесок у банк;

r — відсоток нарахувань;

t — кількість періодів, що минули від моменту початкового внеску, проте в кінці кожного періоду нараховують відсотки не від початкового внеску, а від розміру останнього внеску (так звані складні відсотки).

Тепер розміри внесків в кінці періодів будуть такими:

b0 = p;

b1 = p+rp =p (1+r);

b2 = (p+rp)+r (p+rp) =p (1+r)2;

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

bt=p (1+r)t.

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

Як бачимо, послідовність значень цих внесків є геометричною прогресією.

При p=1000- r=0,1 (10%) у випадку складних відсотків розміри внесків будуть такими:

b0=1000- b1=1000=1100- b2=10 002=1210-. .. -bt=1000t-.. .

Подвоєння внеску (bt=2b0) буде через 7,27 періоду (року). Справді, з рівняння 1,1t=2 маємо t, 1=ln2, звідки $$t=\frac{\text{ln}2}{\text{ln}\mathrm{1,1}}$$ і t=7,27.

Ми отримали результат: у разі нарахування складних відсотків у розмірі r через t періодів (місяців, років) внесок p зростає до p (1+r)t. Зокрема, кожна гривня зросте до (1+r)t гривень.

Отже, майбутня вартість теперішніх грошей обчислюється за формулою.

$$\text{FV}=\text{PV}(1+r{)}^t$$ (3.3).

Позначення FV та PV представляють собою скорочення від слів Future Value (майбутня вартість) та Present Value (теперішня вартість).

Очевидно, що теперішню вартість майбутніх грошей розраховують за формулою.

$$\text{PV}=\frac{\text{FV}}{(1+r{)}^t}$$ (3.4).

Обчислення теперішньої та майбатньої вартості виконують функції PV та FV (у російській версії використовуються не зовсім вдалі назви БЗ та ПЗ) системи EXCEL .

Приклад. Нараховують складні відсотки у розмірі 30%. Обчислити майбутню вартість (через два роки) теперішніх грошей у сумі 2000 грн.

Згідно з формулою (3.3) маємо FV=2000(1+0,3)2=20 009=3380 грн.

Цей же результат дає застосування функції FV (0.3,2,0,-2000) або у російській версії БЗ (0,3−2-0—2000).