Дослідження диференціальних моделей з непарною кількістю рівнянь з відхиленням мішаного характеру

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара

Факультет прикладної математики Кафедра математичного моделювання ДИПЛОМНА РОБОТА Тема

«Дослідження диференціальних моделей з непарною кількістю рівнянь з відхиленням мішаного характеру»

Виконавець: ст. гр. ПМ-08−1

Олійник Анастасія Сергіївна Рецензент: доц. каф. ПКТ к.ф.-м.н. Ясько М.М.

Дніпропетровськ 2012р.

РЕФЕРАТ Об'єкт дослідження: математичні диференціальні моделі.

Мета роботи: проаналізувати вже існуючі результати та отримати нові на нескінченому проміжку часі для системи диференціальних рівнянь. На скінченому проміжку часі розглянути модель Хачатряна та на основі цієї моделі побудувати нову з запізненням.

Одержані висновки та їх новизна: доведено дві теореми. В першій теоремі кожний розв’язок системи сильно осцилює, або монотонно прямує до безкінечності при жорстких умовах. В другій теоремі ці умови були поліпшені. Також побудована нова модель із запізненням.

Результати дослідження можуть бути застосовані для спостереження поведінки основних виробничих фондів на підприємстві з урахуванням збурень та інвестицій які були зроблені не тільки у теперішньому, а й у минулому часі.

Abstract

This work of the 4^th course student Oliynik A.S. (The National University of Dnipropetrovsk, the Faculty of Applied Mathematics, Mathematical Modeling Chair) is devoted to research of the systems with the odd number of equalizations with deviating argument of mixed.

There are two problems in the research to be solved. The first task is to get the results for an infinite period of time for systems with deviation of an odd number of equations (deviation is entered in each equation). While working on this problem, new results have been gotten for such systems (with n = 5). The second problem is considered on finite period of time and consists of building a mathematical model of the describes influence of investments on capital production assets. One of models is a model which is described by the equalization with a delay.

Software was developed for the numeral solution of the system that describes influence of investments on capital production assets, and analogical system with delay. The results are compared. Conclusion are drawn.

Анотація Дана робота студентки 4-го курсу Олійник А.С. (ДНУ, Факультет прикладної математики, кафедра математичного моделювання) присвячена дослідженню систем з непарною кількістю диференціальних рівнянь із відхиленням мішаного характеру.

В роботі ставиться дві задачі. Перша задача полягає в отриманні результатів на нескінченному проміжку часу для систем з відхиленням аргументу з непарною кількістю рівнянь. У процесі роботи над цією задачею отримані нові результати для таких систем (при n=5). Друга задача розглядається на скінченому проміжку часу та полягає у побудові математичної моделі динаміки промислового підприємства з участю зовнішніх інвестицій як форми державної підтримки. Одна з моделей описується рівнянням з запізнюванням.

Було розроблено програмний продукт для чисельного розв’язання системи, що описує вплив інвестицій на основні виробничі фонди, та аналогічного рівняння з введенням запізнювання. В роботі також порівняні отримані результати та зроблені висновки.

Вступ

В роботі досліджується поведінка розв’язків диференціальної системи з аргументом мішаного характеру з непарною кількістю рівнянь на нескінченому інтервалі та чисельне дослідження диференціального рівняння на скінченому інтервалі часу.

Таким чином розв’язуються дві задачі, пов’язані з диференціальними рівняннями з відхиленням аргументу. Перша з них відноситься до якісної теорії диференціальних рівнянь, аналітичними методами досліджуються питання поведінки розв’язків на нескінченому інтервалі часу для системи з мішаним аргументом (в останньому рівнянні) та непарною кількістю рівнянь. Друга задача відноситься до дослідження рівнянь на скінченому інтервалі. Це рівняння є математичною моделлю в економіці, де дуже часто треба враховувати залежність майбутнього розвитку процесу не тільки від теперішнього часу, але й від минулого. Математичним описом таких моделей є диференціальне рівняння з запізнюванням. Дослідження цієї задачі проводиться чисельними методами за допомогою розробленого програмного продукту.

Робота складається з вступу, постановки задачі, огляду проблеми, основної частини, літератури і додатків.

Перший розділ «Постановка задачі» поділяється на два підрозділи.

В підрозділі 1.1 формулюються деякі відомості з теорії диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу, які потрібні для подальшого дослідження, опис методу кроків, який застосовується для зведення рівняння з запізнюванням до звичайного диференціального рівняня (без запізнювання) та основні означення. В підрозділі 1.2 формулюються дві задачі, які розглядаються в даній роботі. В першій досліджуються властивості системи диференціальних рівнянь із запізнюванням та нелінійністю в останьому рівнянні на нескінченному інтервалі, в другій — на скінченному інтервалі досліджується диференціальне рівняння, яке є моделлю динаміки промислового підприємства з участю зовнішніх інвестицій як форми державної підтримки та побудова моделі з запізнюванням.

В другому розділі «Огляд проблеми» описуються результати, які були отримані іншими авторами.

Третій розділ «Основна частина» поділяється на три підрозділи. Підрозділ 3.1 носить підготовчий характер. В ньому розглянуті результати, які були отримані іншими авторами. В підрозділі 3.2 містяться результати, отримані самостійно для системи п’яти рівнянь із мішаним аргументом та нелінійністю в останньому рівнянні. В підрозділі 3.3 на основі моделі Хачатряна, будується та досліджується математична модель динаміки промислового підприємства з участю зовнішніх інвестицій як форми державної підтримки із урахуванням фактору післядії на скінченому інтервалі часу. Наводяться результати створеного програмного продукту у вигляді графіків.

Деякі результати були опубліковані.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ

1.1 Деякі відомості з теорії диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу

В даному розділі наведемо деякі відомості з теорії диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу, що будуть необхідні для постановки задачі та для подальшого дослідження.

Означення 1.

Диференціальними рівняннями з відхиленням аргументу називаються диференціальні рівняння, в яких невідома функція входить при різних значеннях аргументу.

Означення 2.

Диференціальним рівнянням із запізнюванням аргументу називається диференціальне рівняння з відхиленням аргументу, в якому похідна найвищого порядку від невідомої функції входить при однакових значеннях аргументу і цей аргумент не менше ніж всі аргументи невідомої функції та її похідних, які входять в рівняння. Наприклад:

Означення 3.

Диференціальним рівнянням з випередженням аргументу називається диференціальне рівняння з відхиленням аргументу, в якому похідна максимального порядку від невідомої функції входить при однакових значеннях аргументу і цей аргумент не більше інших аргументів невідомої функції та її похідних, які входять в рівняння.

Наприклад:

Усі інші диференціальні рівняння з відхиленням аргументу називаються рівняннями нейтрального типу.

Можлива ситуація, коли на деякій множині значень t рівняння належить до одного з перелічених типів, а на іншій — іншому.

Аналогічна класифікація проводиться і для систем рівнянь. Найчастіше використовуються системи рівнянь з запізнюванням аргументу. Ці системи достатньо добре описують процеси з післядією.

Розглянемо постановку основної початкової задачі для простішого диференціального рівняння із запізнюванням.

Для простого диференціального рівняння із запізнюванням аргументу

(1.1)

де запізнення поки будемо вважати додатною постійною, основна початкова задача полягає в визначенні неперервного розв’язку рівняння (1.1) при за умови, що при, де — задана неперервна функція, яка називається початковою (рис. 1).

Рис. 1. Неперервна початкова функція

Відрізок, на якому задана початкова функція, називається початковою множиною і позначається Зазвичай припускається, що .

Якщо в рівнянні (1.1) і в початкових умовах та вважати вектор-функціями, то отримаємо постановку основної початкової задачі для систем рівнянь.

У випадку змінного запізнення в рівнянні

також треба знайти розв’язок цього рівняння при, причому на початковій множині, яка складається з точки та з тих значень, які менші при, співпадає з заданою початковою функцією .

Найбільш природним методом розв’язку цієї задачі є метод кроків (або метод послідовного інтегрування), який полягає в тому, що неперервний розв’язок даної задачі визначається з диференціальних рівнянь без запізнювання при оскільки при аргумент змінюється на початковій множині, і тому третій аргумент функції дорівнює початковій функції. Припускаючи існування розв’язку цієї початкової задачі на всьому відрізку, аналогічно отримаємо:

при

при

де — розв’язок даної основної початкової задачі на відрізку

Цей метод дає можливість визначити розв’язок на деякому скінченому відрізку і одночасно доводить існування розв’язку в околі точки, якщо функції та неперервні в області зміни змінних, та його єдність, якщо функція задовольняє одну з умов, яка забезпечує єднність розв’язку рівняння без відхилень аргументу.

1.2 Об'єкт дослідження. Основні означення. Постановка задачі

В даній роботі розглядаються системи вигляду:

де , — відношення двох непарних натуральних чисел, Будемо розглядати множину розв’язків системи (1.2), які визначені на і мають властивість при будь-якому .

Припустимо, що функції, які входять в систему (1.2), такі, що множина непорожня.

Означення 4.

Функція називається осцилювальною на якщо існує нескінченна множина значень таких, що причому; функція називається неосцилювальною на, якщо при .

Означення 5.

Розв’язок системи (1.2) називається сильно (слабо) осцилюючим, якщо кожна (принаймні одна) його компонента є осцилювальною функцією.

Означення 6.

Розв’язок системи (1.2) називається неосцилювальним, якщо кожна його компонента є неосцилювальною функцією.

Постановка задачі

I. На нескінченному інтервалі часу для системи

(n=5)

знайти умови сильної осциляції або монотонного прямування до нескінченності при усіх компонент кожного розв’язку системи.

II. На скінченному інтервалі часу:

На скінченому інтервалі часу розглянемо модель динаміки промислового підприємства з участю зовнішніх інвестицій, як форми державної підтримки (Модель С.Р. Хачатряна) .

Математичною моделлю цього процесу є таке рівняння

(1.3)

, ,

— вартість основних виробничих засобів,

— зовнішні інветицї,

f — показник фондовіддачі,

— величина зовнішніх збурень, Дана модель є адаптованою до змін зовнішнього середовища шляхом введення у вираз (1.3) узагальненої функції і величини .

Рівняння (1.3) описує динаміку приросту основних фондів, за рахунок власних кошт і зовнішніх інвестицій, при цьому враховується вплив зовнішніх факторів збурення. Розглядається три стратегії державної фінансової підтримки підприємства.

2. ОГЛЯД ПРОБЛЕМИ

У зв’язку з вивченням Р. Емденом умов рівноваги політропної газової кулі було отримане рівняння:

(2.1)

де — константа.

Іноді рівняння (2.1) називають також рівнянням Лейна-Емдена. Більш загальним ніж рівняння Емдена є рівняння Фаулєра:

Та рівняння Емдена-Фаулєра:

де — дійсні параметри. Як часний випадок це рівняння містить рівняння Томаса-Фермі, яке виникло при вивченні розподілу електронів в атомі.

Якщо, то рівняння Емдена-Фаулєра заміною змінних може бути перетворене до вигляду

Далі математиками інтенсивно досліджувались узагальнені рівняння такого типу для довільного порядку.

В 20-му сторіччі знаходять широке застосування диференціальні рівняння із запізнюванням при побудові математичної моделі в фізиці, біології, медицині, економіці, оскільки вони описують процеси, швидкість яких залежить не тільки від їх стану в даний момент часу (як для звичайних диференціальних рівнянь), а й від минулого. Це так звані процеси з післядією. Найкращі з отриманих результатів для скалярного рівняння довільного порядку без відхилення аргументу містяться в роботі Кігурадзе.

В цей час в інституті математики АН УССР починається інтенсивне дослідження асимптотичних властивостей диференціального рівняння із запізнюванням довільного порядку. В цей же час проводиться узагальнення отриманих результатів для систем n=2,3. В роботі розглядається окремий випадок системи (1.2), а саме скалярне рівняння

при наступних припущеннях:

аргумент із запізненням, — запізнення,

і - натуральні непарні числа.

Виникає задача узагальнення результатів на випадок систем з непарною кількістю рівнянь (n > 3).

Тому доцільно дослідити систему з 5-ти рівнянь із мішаним аргументом (в останньому рівнянні).

Розглянемо, які дослідження в економіці проводились на основі диференціальних рівнянь. Основи диференціального аналізу діяльності підприємства як госпрозрахункових одиниць, закладені з 1980 року. Запропоновані методи дозволяли досліджувати динаміку розвитку підприємства (тобто прослідити досить довготривалі наслідки прийнятих рішень) за допомогою диференціальних рівнянь, що містять набір найбільш істотних змінних, які відображають вплив як зовнішніх чинників (наприклад, динаміки інвестицій), так і внутрішніх характеристик підприємства (собівартість, фондовіддача і т.д.). Підприємство подавалося дуже спрощено, з використанням сильно агрегованих показників, приймалися гіпотези про монопродуктивність підприємства, незмінність і єдиність вживаної технології, що вимагає у ряді випадків спеціального обґрунтування достовірності і застосовності отримуваних результатів. Одна з перших економіко-математичних моделей, розроблених стосовно малого промислового підприємства, була описана в 1997 році і розглядала промислове підприємство, що функціонує в економічному симбіозі з крупною фірмою. Дана модель дозволяла розрахувати динаміку розвитку промислового підприємства, що здійснює діверсифікаційну стратегію, до складу якої входила діяльність по промисловому виробництву, комерції і інноваційним розробкам. В даний час принципово інша податкова система.

В моделі Хачатряна динаміка основних виробничих фондів описується рівнянням

.

Отже, доцільно дослідити цю математичну модель динаміки промислового підприємства з участю зовнішніх інвестицій, як форми державної підтримки, з подальшим введенням запізнювання в рівняння моделі та її чисельного розв’язку на комп’ютері.

3. Основна частина. Дослідження систем диференціальних рівнянь з відхиленням аргументу мішаного типу

3.1 Дослідження диференціального рівняння непарного порядку і деяких систем з непарною кількістю рівнянь на нескінченному проміжку

Цей підрозділ носить підготовчий характер. В ньому буде ретельно проведено доведення результатів, отриманих в роботі одного рівняння n-го порядку, для того щоб зрозуміти методику доведення і спробувати її на випадок систем. Крім того в цьому підрозділі буде наведена лема)

Розглядалось рівняння

(3.1)

при наступних припущеннях:

аргумент із запізнюванням, — запізнювання,

(3.2)

де і - натуральні непарні числа.

Для такого рівняння доведемо наступну теорему.

Теорема 3.1.

Нехай виконуються умови:

1)

2) — кусково-гладка неспадна функція,

3) (3.3)

Тоді кожний розв’язок рівняння (3.1) або осилює, або прямує до нескінченності при разом зі своїми похідними до порядку () включно.

Оскільки ми хочемо узагальнити дану теорему для випадку системи з непарною кількістю рівнянь, то проведемо доведення при n=5.

Доведення.

Припустимо, що при виконанні умов теореми рівняння (3.1) допускає неосцилювальний розв’язок. Будемо вважати, що при. Згідно з умовами (3.2). З рівняння (3.1), приходимо до висновку, що, звідки — монотонно зростаюча функція, а тому маємо два випадки або при .

1. Нехай. Доведемо, що разом зі своїми похідними до IV порядку прямує до нескінченності, -монотонно зростаюча додатна функція, тоді:

при (). (-монотонно зростаюча) Проінтегруємо дану нерівність в проміжку :

Тому, при .

Проінтегруємо в проміжку .

Отже, при ,

Проінтегруємо останню нерівність в проміжку .

Отже, при, при достатньо великих , — монотонно зростаюча функція. Доведемо, що .

З умови (3.2) випливає, що існує, , таке що .

Тоді з рівняння (3.1) випливає:

Проінтегруємо данну нерівність в проміжку .:

А тоді з умови (3.3), випливає, що .

Отже в цьому випадку розв’язок з (n-1) похідними прямує до нескінченності, якщо дві сусіді похідні більш нижчого порядку додатні, то і сама функція додатна, тобто .

2. Розглянемо випадок, коли, оскільки, то функція — монотонно зростає, тоді можливі два випадки: та .

2.1 Якщо, тоді, як випливає з останнього зауваження всі інші похідні більш нижчого порядку від`ємні і сама функція від`ємна, тобто, а це суперечить припущенню.

2.2 Якщо, то функціямонотонно зростає, тоді можливі два випадки:, та .

Розгянемо випадок коли, то функція — монотонно спадає, тоді можливі два випадки:

а) б) .

Якщо, тоді, як вище, можна довести, що всі інші похідні більш нижчого порядку від`ємні і сама функція від`ємна, тобто, а це суперечить припущенню.

Звернемося до випадку, коли (, ,).

Доведемо, що для справедлива оцінка:

Розглянемо Звідки:

При, з урахуванням того, що — монотонно зростаюча від'ємна функція В результаті інтегрування з урахуванням, що отримаємо:

З рівності

оскільки >0, маємо Користуючись отриманою оцінкою для, маємо:

Інтегруючи останню нерівність в проміжку, отримаємо Отже, отримали:

Через те, що — монотонно зростає, маємо:

Тоді,

З рівняння (3.1) маємо:

.

Поділимо обидві частини нерівності на, отримаємо Оскільки томонотонно зростає, то Проінтегруємо останню нерівність в проміжку :

Нехай тоді.

Отже:

При та отримаємо нерівність, що суперечить умові (3.3).

Розгянемо випадок коли .

Доведемо, що для також справедлива оцінка:

З очевидної рівності :

З урахуванням монотонного зростання, маємо:

Отримали:

Використовуючи цю нерівність і враховуючи, що, отримаємо:

Аналогічно в результаті інтегрування маємо:

Інтегруючи цю нерівність в проміжку і враховуючи, що, маємо:

Через те, що — монотонно зростає, то Отже,

Отримали оцінку (), а далі продовжимо таким же чином, як в попередньому випадку.

З рівняння (3.1) маємо:

.

Поділимо обидві частини нерівності на, отримаємо Оскільки, монотонно зростає, то, а тому:

Проінтегрувавши, маємо При та отримаємо нерівність, що суперечить умові (3) з теореми.

Сформулюємо та доведемо наступну лему.

Лема.

Якщо хоча б одна з компонент розв’язку системи (1.2) не осцилює, то не осцилюють усі компоненти розв’язку системи.

Доведення:

Одна з функцій не осцилює. Нехай, для визначеності, не осцилює Це означає, що починаючи з деякого достатньо великого вона не змінюватиме свій знак. Тоді, з першого рівняння системи (1.2) випливає, що — монотонна функція, а отже, починаючи з деякого зберігає певний знак, тобто не є осцилюючою. Тоді з 5-го рівняння системи (1.2) маємо, що для має протилежний знак, але на цьому півінтервалі не змінює його, отже, — функція монотонна, при зберігає певний знак, звідси — неосцилююча. З рівняння 4-го рівняння системи (1.2) випливає, що — монотонна, тобто при зберігає певний знак. — неосцилююча. З 3-го рівняння системи (1.2) маємо, що також є монотонною, а звідси неосцилюючою. Таким чином, кожна з компонент розв’язку системи не осцилює, що і треба було довести.

Аналогічно доводиться лема, якщо, наприклад, на початку обрати функцію або будь-яку іншу

Теорема 3.2

Нехай виконується

i=1,2,3,4,5 (3.4)

Тоді всі розв`язки системи (1.2) або сильно осцилюють, або кожна їх компонента прямує до нескінченності при .

Доведення:

Якщо кожна компонента розв’язку осилює, то теорему доведено .

Нехай, принаймні, одна з компонент не осцилює, тоді з леми випливає, що всі компоненти не осилюють. Тому або. Для визначеності припустимо, що, тоді при. Тоді з останнього рівняння системи (1.2) отримаємо, що монотонно зростаюча функція, а тому можливі два випадки: або або при .

I. Розглянемо спочатку випадок. Доведемо, що всі компоненти розв’язку прямують до нескінченності при .

Оскільки — монотонно зростаюча додатна функція, то:

.

Тоді з четветого рівняння, маємо:

Проінтегруємо цю нерівність в проміжку .

Враховуючи умову (3.4) при, маємо.

Тому .,.

Тому з третього рівняння системи маємо:

Звідси, враховуючи умову (3.4) при, маємо .

Отже, — монотонно зростаюча додатна функція, тому:

Тоді з другого рівняння в результаті інтегрування в проміжку

Звідси, враховуючи умову (3.4) при, маємо .

Отже, -монотонно зростаюча додатна функція, тоді аналогічно попередньому доведемо, що. Доведемо, що і .

Оскількимонотонно зростаюча додатна функція, то Тоді з останнього рівняння системи отримаємо:

Звідси, враховуючи умову (3.4) при, маємо .

II. Розглянемо випадок. Тоді - монотонно зростаюча від`ємна функція.А тому з четвертого рівняння системи (1.2) маємо, що при, звідки — монотонно спадна функція, тому при. Маємо два випадки або .

1. Нехай .

Отже — монотонно спадна від`ємна функція, тому:

Тоді з третього рівняння в результаті інтегрування в проміжку, отримаємо:

Звідси, враховуючи умову (3.4), при, маємо .

Тому, .

Тоді з другого рівняння маємо:

.

Враховуючи умову (3.4), при маємо .

Тоді аналогічно з першого рівняння маємо:

.

Враховуючи умову (3.4), при, отримали, що, тобто, а це суперечить припущенню.

2. Нехай тепер .

Тоді з третього рівняння випливає, що — монотонно зростаюча функція, і тому при або .

a) Нехай. Тоді - монотонно зростаюча функція і тоді:

Тоді з другого рівняння маємо:

Звідси, враховуючи умову (3.4) маємо, при ,.

Отже,. З третього рівняння, а тому — монотонно зростаюча додатна функція, звідки:

З першого рівняння системи (1.2) маємо:

Проінтегруємо останню нерівність в проміжку :

.

Враховуючи умову (3.4), при, маємо, тому .

Тоді з останнього рівняння маємо:

.

При, що суперечить припущенню, що .

Нехай. З третього рівняння, а тому — монотонно спадна функція і тому можливі два випадки або .

A. Нехай .

Тоді - монотонно спадна додатна функція Тому, .

.

Тоді з останнього рівняння маємо:

.

При, що суперечить припущенню, що .

Нехай — монотонно спадна від'ємна функція, Тому, .

.

Проінтегруємо останню нерівність в проміжку, маємо:

.

Враховуючи умову (3.4), при, отримали, що, тобто, а це суперечить припущенню.

Теорема 3.3

1. 0

2.

3.

4.

5.

6.

де g (t)=min {t, (t)}.

Тоді кожен розв’язок системи (1.2) або сильно осцилює, або кожна його компонента монотонно прямує до нескінченності при

Доведення:

Якщо розв’язок системи сильно осилює, то теорему доведено. Нехай система (1.2) має розв’язок, який не є сильно осцилювальним, тобто хоча б одна компонента не осцилює. Тоді, за лемою, всі компоненти не осцилють, тому починаючи з деякого зберігають свій знак. Нехай для визначеності >0.(Якщо <0 — доводимо аналогічно). З умови (3) маємо, Тоді з 5- го рівняння системи (1.2) випливає, що, тому — монотонно зростаюча функція, тоді маємо два випадки або >0 або <0 ()

I. Розглянемо випадок, коли >0,

Доведемо, що всі компоненти розв’язку прямують до нескінченності при. Оскількимонотонно зростаюча функція, то

(>0)

Тоді з 4-го системи (1.2) рівняння в результаті інтегрування в [], маємо:

Звідки, враховуючи умову (2), при, маємо, що .Тоді — монотонно додатна зростаюча функція, а тому .

Використовуючи це та з 3-го рівняння системи (1.2) маємо:

Враховуючи умову (2) при, маємо, що. Тоді — монотонно додатня зростаюча функція.

Аналогічно доводимо, що та — монотонно зростаюча додатна функція і що .

Доведемо, що .

З нерівності (3.5) маємо:

Тоді з 3-го рівняння системи (1.2) маємо:

.

Інтегруючи цю нерівність в проміжку [], маємо:

звідки:

Використовуючи цю нерівність та з 2-го рівняння системи (1.2) маємо:

.

Інтегруючи цю нерівність в проміжку [], маємо:

звідки:

тому:

.

Звідси випливає, що:

З 5-го рівняння системи (1.2) маємо:

Інтегруючи цю нерівність в проміжку [], маємо:

Враховуючи умову (4) при t, маємо:

II. Розглянемо випадок, коли. Тоді з четвертого рівняння випливає, що, то — монотонно спадна функція, тому або при

Нехай, отже — монотонно спадна функція.

Тоді:

(>0), а тому:

Враховуючи це з 3-го рівняння системи (1.2), інтегруючи цю нерівність в [], маємо:

Враховуючи умову (2) при, маємо, що, а тоді — монотонно спадна від'ємна функція.

Тоді:

(>0),

а тому з другого рівняння системи (1.2) маємо:

Звідси випливає

Враховуючи умову (2) при, маємо, що, а тоді — монотонно спадна від'ємна функція.

Тому:

(>0),

Тоді з 2-го рівняння системи (1.2) в результаті інтегрування, маємо:

Враховуючи умову (2) при, маємо, що, а тоді

А за нашим припущенням >0, то прийшли до суперечності. Отже цей випадок неможливий.

Нехай тоді з третього рівняння системи випливає, що — монотонно зростаюча функція, тому можливі два випадки або >0, або<0.

1) Нехай <0. З 3-го рівняння системи (1.2) випливає, що— монотонно зростаюча від'ємна функція функція, .

Знову отримали два випадки або >0, або <0.

1. Розглянемо <0. З 2-го рівняння системи (1.2) випливає, щомонотонно спадна від'ємна функція.

Тоді:

(>0),

А з 1-го рівняння системи (1.2) маємо, що. Інтегруючи цю нерівність в [], маємо:

Звідси випливає:

Враховуючи умову (2) при, маємо, що, а тоді

Що суперечить припущенню. Таким чином цей випадок неможливий.

2. Розглянемо .

Тоді з четвертого рівняння, маємо:

Оскільки, то

при

Оскільки остання рівність справедлива при будь-якому , — монотонно зростає, то:

(3.6)

Тоді 3-го рівняння системи (1.2) в результаті інтегрування, маємо:

Оскільки, то .

Оскільки остання рівність справедлива при будь-якомуі— монотонно зростає, то використовуючи (3.6) маємо:

Аналогічно використовуючи 2-ге рівняння системи (1.2) отримаємо:

Замінюючи на і отриману оцінку для, отримаємо:

Оскільки — монотонно зростає, то (— монотонно спадає, то Тоді 1-го рівняння системи (1.2) в результаті інтегрування і застосування останньої нерівності маємо:

Оскільки монотонно спадає, то:

Оскільки — монотонно зростає то

Через те, що, то:

Тоді з 5-го рівняння системи випливає

Поділимо обидві частини на :

Виконаємо заміну:

звідки тому Отже отримали:

Оскільки дріб — обмежена величина, а вираз прямує до, то прийшли до суперечності.

Розглянемо випадок, коли тоді з системи випливає, що — монотонно зростають, а — монотонно спадає, тоді з четвертого рівняння системи маємо:

Оскільки, то Оскільки остання рівність справедлива при будь-якому і — монотонно спадає, тому:

Враховуючи цю нерівність і з 3-го рівняння системи (1.2) маємо:

Інтегруючи цю нерівність в [], маємо:

.

Використовуючи попередню оцінку, маємо:

Аналогічно з 2-го рівняння системи (1.2) отримаємо:

Тоді аналогічно з рівняння 1-го рівняння системи (1.2) маємо:

Оскільки — монотонно зростає, то:

Через те, що, то:

Тоді з останнього рівняння системи маємо:

Поділимо обидві частини на :

Виконаємо заміну:

звідки тому Маємо:

Оскільки дріб — обмежена величина, а вираз

прямує до, то прийшли до суперечності. Теорема доведена.

3.2 Побудова диференціальної моделі, що описується диференціальним рівнянням, та дослідження її на скінченому проміжку часу

В цій частині роботи дослідимо диференціальну модель динаміки промислового підприємства з участю зовнішніх інвестицій як форми державної підтримки, яка містить одне диференціальне рівняня. Модель із запізненням аргументу будується на основі моделі Хачатряна.

3.2.1 Теоретичні відомості про промислове підприємство та інвестиції

Промислове підприємство — комплекс засобів виробництва для здійснення технологічного процесу виготовлення конкретної продукції.

Внутрішнє середовище підприємства — люди, засоби виробництва, інформація і гроші. Зовнішнє середовище — визначає ефективність роботи підприємства із споживачами продукції, постачальниками виробничих компонентів, державні органи і населення.

Інвестиції - це сукупність витрат, які реалізуються у вигляді довгострокових вкладень державного або приватного капіталу в різні галузі зарубіжної або національної економіки, мета яких — здобуття прибули: це фінансові кошти, цільові банківські вклади, акції, паї і інші коштовні папери, технології, устаткування, ліцензії.

Також виділяються інвестиції:

1) інтелектуальні — направлені на підготовку і перепідготовку фахівців на курсах, передачу досвіду, ліцензій і нововведень, спільні наукові розробки;

2) капіталообразуючі — витрати на капітальний ремонт, придбання земельних ділянок;

3) прямі — інвестиції, зроблені юридичними і фізичними особами, що мають право на участь в управлінні підприємством і що повністю володіють підприємством або контролюючими не менше 10% акцій або акціонерного капіталу підприємства;

4) портфельні — що не дають право вкладникам впливати на роботу фірм і компаній, вкладаються в довгострокові коштовні папери, покупку акцій;

5) реальні — довгострокові вкладення засобів у галузі матеріального виробництва;

6) фінансові — боргові зобов’язання держави;

7) тезавраційні — так називаються інвестиції, здійснювані з метою накопичення скарбів. Вони включають вкладення в золото, срібло, інші дорогоцінні метали, коштовні камені і вироби з них, а також в предмети колекційного попиту. Загальною специфічною межею цих інвестицій є відсутність поточного доходу по ним.

По термінах вкладень виділяють коротко-, середньоі довгострокові інвестиції. Для короткострокових інвестицій характерне вкладення засобів на період до одного року. Під середньостроковими інвестиціями розуміють вкладення засобів на термін від одного року до трьох років, а довгострокові інвестиції вкладають на три і більш.

По формах власності виділяють приватні, державні, іноземні і спільні (змішані) інвестиції. Під приватними (недержавними) інвестиціями розуміють вкладення засобів приватних інвесторів: громадян і підприємств недержавної форми власності.

Державні інвестиції — це державні вкладення, здійснювані органами влади і управління, а також підприємствами державної форми власності. Вони здійснюються центральними і місцевими органами влади і управління за рахунок бюджетів, позабюджетних фондів і позикових засобів.

Прибутковість — це найважливіший структуротворний критерій, який визначає пріоритетність інвестицій.

3.2.2 Математична модель динаміки промислового підприємства з участю зовнішніх інвестицій як форми державної підтримки

Розглянемо адаптовану до умов турбулентного середовища базову модель динаміки підприємства, що використовує зовнішні інвестиції як форму державної підтримки, представлену С. Р. Хачатряном і призначену для промислових підприємств, що функціонують в умовах, описуваних системою передумов:

1) підприємство може розвиватися як за рахунок внутрішніх джерел (прибутку, амортизації), так і за рахунок державної підтримки у вигляді інвестицій;

2) розглядаються три різні стратегії державної підтримки бізнесу: а) постійна (з фіксованими об'ємами інвестицій для кожного періоду); б) що лінійно зростає (з відомим постійним темпом зростання інвестицій); в) що нелінійно зростає (з наростаючим темпом і мінімальним рівнем гарантованого державного субсидування). Власна інвестиційна стратегія підприємства визначається долею чистого прибутку (яка передбачається постійною), що відраховується на реінвестування;

Дана модель є адаптованого до змін зовнішнього середовища шляхом введення у вираз (3.11) узагальненої функції, яка визначає появу збурень у момент часу, і величини зовнішніх збурень, що робить вплив на основні виробничі фонди. Залежності між основними змінними моделі підприємства показують взаємозв'язок між агрегованими змінними (такими, як обсяг випуску, вартість основних виробничих фондів і темпи їх приросту, загальний і чистий прибуток, сума податкових відрахувань і так далі) і можуть бути представлені наступною сукупністю рівнянь:

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(3.10)

(3.11)

, , ,

(3.12)

Де Р (t) — випуск продукції у момент t у вартісному виразі; - зовнішні інветицї, f — показник фондовіддачі; A (t) — вартість основних виробничих фондів; c — доля питомої собівартості випуску продукції у вартісному виразі; - загальний прибуток підприємства; M (t) — чистий прибуток підприємства без податкових відрахувань; N (t) — сума податкових відрахувань; - ставки оподаткування на обсяг випуску і прибуток відповідно; - доля чистого прибутку, що відраховується на реінвестування,; - коефіцієнт, що відображає долю реінвестованих засобів прибутку, що не мають пільг по оподаткуванню (не всі реінвестовані засоби звільняються від податків), що характеризує співвідношення загального і чистого прибутку підприємства, і оцінюваний статистично,; I (t) — зовнішні інвестиції, отримані підприємством; - величина зовнішніх збурень, — функція Хевісайда (узагальнена функція). (3.7) — визначає лінійну виробничу функцію промислового підприємства; (3.8) — характеризує процес формування його загального прибутку за вирахуванням витрат виробництва; (3.9) — описує величину чистого прибутку за вирахуванням загальної суми податкових відрахувань; (3.10) — є узагальненим способом розрахунку податкових відрахувань, що є лінійною комбінацією альтернативних варіантів оподаткування. Рівняння (3.11) описує динаміку приросту основних виробничих фондів за рахунок власних засобів і зовнішніх інвестицій, при цьому враховується вплив зовнішніх чинників зі збуренням, прогнозувати які ми не можемо (інфляція, зростання цін на сировині). Вплив збурень відбувається за допомогою введення узагальненої функції, яка надає дію на основні виробничі фонди в певний момент часу. Підставляючи (3.8) і (3.10) в співвідношення (3.9), отримаємо

(3.13)

Виразимо змінну M (t), отримаємо:

(3.14)

Звідси, після підстановки (3.12) в (3.10) маємо:

(3.15)

де Враховуючи (3.7), система співвідношень (3.7) — (3.10) перетвориться до лінійного неоднорідного диференціального рівняння:

Загальним вирішенням диференціального рівняння є:

де

Розглянемо три окремі випадки динаміки інвестицій I (t):

1) (3.17)

Вони відповідають трьом стратегіям державної фінансової підтримки підприємництва: 1) постійній — з фіксованими об'ємами інвестицій для кожного періоду; 2) що зростає - по лінійному закону з темпом зростання інвестицій; 3) що зростає - по нелінійному (експоненціальному) закону з середнім темпом і з мінімальним рівнем гарантованої державної підтримки (I (0) = B при t =0).

Загальне вирішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами (3.16) для даних правих частин має вигляд:

де .

Зіставляючи темпи зростання основних фондів для різних варіантів інвестування підприємства, переконуємося в тому, що вони відповідають інтенсивності фінансової підтримки, а також залежать від параметрів, що характеризують діяльність даного економічного об'єкту, економічних характеристик підприємства, що визначають значення змінної а, а також величини зовнішніх збурень (див. (3.15) і (3.16)).

Математична структура основного рівняння динаміки промислового підприємства (3.16), як і структура отриманих рішень (3.18) — (3.20), відповідає результатам диференціального аналізу стосовно підприємства як господарського об'єкту.

Проте економічний вміст змінних, що входять в отримані рішення, для досліджень, що зіставляються, різний і визначається вихідними посилками моделей, що розглядаються в кожному випадку.

3.2.3 Побудова та дослідження моделі із запізненням

Побудоване нове рівняння

Розв’язання його проводилось чисельним методом Рунге-Кутта. Для цього було створено програму у середовищі Visual Studio 2010. Результати наведені у вигляді графіків (рис. 2- 6).

Дані були предоставлені підприємством НВП «Укрхимзахист»

Рис. 2. Дані підприємства «Укрхимзахист» за 4 роки

Рис. 3. Математична модель без запізнення та з запізненням

На першому графіку (праворуч) розглядається динаміка основних фондів підприємства з інвестиціями зробленими у теперішньому часі. (Модель без запізнювання). На другому графіку (ліворуч) розглядається динаміка основних фондів підприємства з інвестиціями зробленими не тільки в теперішньому, а й у минулому часі.

На кожному графіку ми можемо побачити вплив зовнішніх збурень на ОФ підприємства. Тепер розглянемо окремо кожну стратегію.

Рис. 4. Зображення двох моделей з постійними фіксованими інвестиціями

Рис. 5. Зображення двох моделей з лінійно зростаючими інвестиціями

За допомогою останніх трьох графіків ми можемо побачити різницю впливу між інвестиціями, які були зроблені у минулому та теперішньому часі окремо по кожній стратегії.

Рис. 6. Зображення двох моделей з експоненціально зростаючими інвестиціями

На графіках одразу зображено динаміку без запізнення та з запізненням.

Порівнюючи графіки, ми можемо зробити такі висновки:

1) в даному випадку, інвестиції, які зроблені по лінійно зростаючій стратегії будуть приносити найбільший прибуток підприємству;

2) інвестиції, які зроблені у минулому допомагають покращити стан підприємства під час збурень.

3.2.4 Опис програмного продукту

Microsoft Visual Studio — лінія продуктів компанії майкрософт, що включають інтегроване середовище розробки програмного забезпечення і ряд інших інструментальних засобів.

Дані продукти дозволяють розробляти як консольні застосування, так і додатки з графічним інтерфейсом. Visual Studio включає редактор вихідного кода з підтримкою технології Intellisense і можливістю простого рефакторінга кода. Вбудований відладчик може працювати як відладчик рівня вихідного кода, так і як відладчик машинного рівня. Останні вбудовувані інструменти включають редактор форм для спрощення створення графічного інтерфейсу, веб-сервер-редактор, дизайнер класів і дизайнер схеми бази даних. Visual Studio дозволяє створювати і підключати сторонні доповнення (плагини) для розширення функціональності практично на кожному рівні, включаючи додавання підтримки систем контролю версій вихідного кода (як наприклад, Subversion і Visual Sourcesafe), додавання нових наборів інструментів (наприклад, для редагування і візуального проектування кода на наочно-орієнтованих мовах програмування або інструментів для інших аспектів циклу розробки програмного забезпечення).

Результати

1. На нескінченому інтервалі часу були знайдені умови сильної осциляції або монотонного прямування до нескінченності усіх компонент розв’язку системи (1.2) (при n=5).

Теорема 3.2

Якщо виконується умова:

Тоді всі розв`язки системи (1.2) або сильно осцилюють, або кожна їх компонента прямує до нескінченності при .

Теорема 3.3

Нехай виконуються умови:

1. 0

2.

3., , ??(t)t ,

4.

5.

6.

Тоді всі розв`язки системи (1.2) або сильно осцилюють, або кожна їх компонента прямує до нескінченності при .

2. Було створено програму у середовищі Visual Studio 2010. На графіках рис. 2−6 вплив інвестицій на основні виробничі фонди підприємства. На рис. 4−6 наведені графіки, де окремо показано вплив кожної інвестиціонної стратегії. Розглянута модель із запізненням враховує вплив інвестицій не тільки у теперішньому часі, але й у минулому.

Висновки

На нескінченому інтервалі часу були знайдені умови сильної осциляції, або монотонного прямування до нескінченності усіх компонент розв’язку системи (1.2) при .

Було доведено дві теореми.

На скінченому інтервалі часі було розглянуто та порівняно дві моделі динаміки промислового підприємства. Проаналізувавши графіки ми можемо дійти висновку, що ті підприємства, для яких інвестиції були зроблені, у минулому часі розвиваюся швидше, швидше накопичують свої виробничі фонди та несуть менших втрат під час зовнішніх збурень.

диференціальний рівняння непарний час

Список літератури

1. Шевело В. М., Варех Н. В., Про коливальність розв’язків лінійних диференціальних рівнянь вищих порядків із запізненням аргументу, УМЖ, т. 24, № 4, 1971.

2. Эльсгольц Л. Э.

Введение

в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М., «Наука», 1964. 128 с.

3. Б. И. Герасимов, Н. П. Пучков, Д. Н. Протасов «Диференциальные динамические модели» изд. ГОУ ВПО ТГТУ, с.44

4. Кигурадзе И. Т. К вопросу колеблемости решений нелинейных дифференнциальных уравнений.—Дифференциальные уравнения, 1965, 1, № 8, с.995−1006.

5. Шевело В. Н. Осцилляция решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. К., «Наук. думка», 1978, 156 с.

6. Варех Н. В., Курчакова О. В., Ступіна К.Б. «Дослідження диференціальних моделей з різним характером нелінійності» Міжнародна наукова конференція. 2010, с. 122.

7. Матеріали Міжнародної студентської науково-практичної конференції «Інноваційний розвиток держави: проблеми і перспективи очима молодих вчених» // Т.З.: Сучасні дослідження в сфері соціально-гуманітарних наук, Дніпропетровськ: ДНУ, 2012, с.71−73

Додаток

using System;

using System.Collections.Generic;

using System. ComponentModel;

using System. Data;

using System. Drawing;

using System. Linq;

using System. Text;

using System.Windows.Forms;

using System. IO;

namespace diploma

{

public partial class realization: Form

{

public static double beta, fa, A0, ksi, c, I0, B, tau_p, tau_av, I3, alfa, Kl;

public static int delay;

public static int t, t0;

public static List rungeKuttResultList;

static bool r1 = false, r2 = false, r3 = false;

RungeKutt rungeKutt = new RungeKutt ();

public realization ()

{

InitializeComponent ();

chart3.Series[" Series4″ ]. Color = Color. GreenYellow;

}

void Load ()

{

fa = Convert. ToDouble (textBox1.Text);

A0 = Convert. ToDouble (textBox13.Text);

ksi = Convert. ToDouble (textBox2.Text);

c = Convert. ToDouble (textBox4.Text);

I0 = Convert. ToDouble (textBox5.Text);

beta = Convert. ToDouble (textBox3.Text);

B = Convert. ToDouble (textBox10.Text);

tau_p = Convert. ToDouble (textBox16.Text);

tau_av = Convert. ToDouble (textBox15.Text);

alfa = Convert. ToDouble (textBox12.Text + textBox6. Text);

Kl = Convert. ToDouble (textBox7.Text);

t = Convert. ToInt32(textBox8.Text);

t0 = Convert. ToInt32(textBox9.Text);

delay = Convert. ToInt32(textBox21.Text);

}

public static double a ()

{

return funcrion_a.a (ksi, tau_p, tau_av, c, fa, Kl);

}

private void button1_Click (object sender, EventArgs e)

{

Load ();

charts ch = new charts ();

ch.A1(a (), t, A0, I0, chart2, t0, alfa);

ch.A2(a (), beta, t, A0, chart2, t0, alfa);

ch.A3(a (), beta, B, t, A0, chart2, t0, alfa);

}

public static double f (double I, double A, double tetta)

{

double F = 0;

if (r1 == true)//(radioButton1.Checked)

F = a () * A + alfa * tetta + I0;

else

if (r2 == true)//(radioButton2.Checked)

F = a () * A + alfa * tetta + beta * I;

else

if (r3 == true)//(radioButton3.Checked)

F = a () * A + alfa * tetta + B * Math. Exp (beta * I);

return F;

}

private void MSteps ()

{

Load ();

double y0 = A0;

int last = t;

int first = 0;

int length = last — first;

last = first;

first -= delay;

rungeKutt.runge_kutt (rungeKuttResultList, last — first, last, first);

y0 = rungeKuttResultList. ElementAt (rungeKuttResultList.Count () — 1);

rungeKuttResultList.Clear ();

while (last < length)

{

first += delay;

last += delay;

rungeKutt.Steps (rungeKuttResultList, last — first, last, first, y0);

y0 = rungeKuttResultList. ElementAt (rungeKuttResultList.Count () — 1);

}

rungeKuttResultList.Insert (0, A0);

}

private void radioButton1_CheckedChanged (object sender, EventArgs e)

{

chart1.Series[" Series1″ ]. Points. Clear ();

r1 = true;

rungeKuttResultList = new List ((int)t);

MSteps ();

for (int i = 0; i < t; i++)

chart1.Series[" Series1″ ]. Points. AddXY (i, rungeKuttResultList. ElementAt (i));

r1 = false;

}

private void radioButton2_CheckedChanged (object sender, EventArgs e)

{

chart1.Series[" Series2″ ]. Points. Clear ();

r2 = true;

rungeKuttResultList = new List ((int)t);

MSteps ();

for (int i = 0; i < t; i++)

chart1.Series[" Series2″ ]. Points. AddXY (i, rungeKuttResultList. ElementAt (i));

r2 = false;

}

private void radioButton3_CheckedChanged (object sender, EventArgs e)

{

chart1.Series[" Series3″ ]. Points. Clear ();

r3 = true;

rungeKuttResultList = new List ((int)t);

MSteps ();

for (int i = 0; i < t; i++)

chart1.Series[" Series3″ ]. Points. AddXY (i, rungeKuttResultList. ElementAt (i));

r3 = false;

}

private void button2_Click (object sender, EventArgs e)

{

for (int j = 1; j <= 3; j++)

{

chart2.Series[" Series" + j]. Points. Clear ();

}

}

private void button3_Click (object sender, EventArgs e)

{

radioButton1.Checked = false;

radioButton2.Checked = false;

radioButton3.Checked = false;

for (int j = 1; j <= 3; j++)

{

chart1.Series[" Series" + j]. Points. Clear ();

}

}

private void radioButton6_CheckedChanged (object sender, EventArgs e)

{

for (int j = 1; j <= 4; j++)

{

chart3.Series[" Series" + j]. Points. Clear ();

}

Load ();

charts ch = new charts ();

ch.A1(a (), t, A0, I0, chart3, t0, alfa);

r1 = true;

rungeKuttResultList = new List ((int)t);

MSteps ();

for (int i = 0; i < t; i++)

chart3.Series[" Series4″ ]. Points. AddXY (i, rungeKuttResultList. ElementAt (i));

r1 = false;

}

private void radioButton4_CheckedChanged (object sender, EventArgs e)

{

for (int j = 1; j <= 4; j++)

{

chart3.Series[" Series" + j]. Points. Clear ();

}

Load ();

charts ch = new charts ();

ch.A3(a (), beta, B, t, A0, chart3, t0, alfa);

r3 = true;

rungeKuttResultList = new List ((int)t);

MSteps ();

for (int i = 0; i < t; i++)

chart3.Series[" Series4″ ]. Points. AddXY (i, rungeKuttResultList. ElementAt (i));

r3 = false;

}

private void radioButton5_CheckedChanged (object sender, EventArgs e)

{

for (int j = 1; j <= 4; j++)

{

chart3.Series[" Series" + j]. Points. Clear ();

}

Load ();

charts ch = new charts ();

ch.A2(a (), beta, t, A0, chart3, t0, alfa);

r2 = true;

rungeKuttResultList = new List ((int)t);

MSteps ();

for (int i = 0; i < t; i++)

chart3.Series[" Series4″ ]. Points. AddXY (i, rungeKuttResultList. ElementAt (i));

r2 = false;

}

private void button4_Click (object sender, EventArgs e)

{

radioButton4.Checked = false;

radioButton5.Checked = false;

radioButton6.Checked = false;

for (int j = 1; j <= 4; j++)

{

chart3.Series[" Series" + j]. Points. Clear ();

}

}

}

}

Рунге-Кута

using System;

using System.Collections.Generic;

using System. Linq;

using System. Text;

using System.Windows.Forms.DataVisualization.Charting;

namespace diploma

{

public class RungeKutt_Investment

}

using System;

using System.Collections.Generic;

using System. Linq;

using System. Text;

using System.Windows.Forms.DataVisualization.Charting;

namespace diploma

{

public class RungeKutt

{

double tetta;

double k1(double h, double x, double y)

{

return (h * realization. f (x, y, tetta));

}

double k2(double h, double x, double y)

{

return (h * realization. f (x + h / 2, y + k1(h, x, y) / 2, tetta));

}

double k3(double h, double x, double y)

{

return (h * realization. f (x + h / 2, y + k2(h, x, y) / 2, tetta));

}

double k4(double h, double x, double y)

{

return (h * realization. f (x + h, y + k3(h, x, y), tetta));

}

public void runge_kutt (List list_results, int t, int last, int first)

{

double y0 = realization. A0, x0 = 0;

int h = (last — first) / t;

for (int i = 0; i < t; i++)

{

if (x0 < realization. t0) tetta = 0;

else tetta = 1;

y0 += (k1(h, x0, y0) + 2 * k2(h, x0, y0) + 2 * k3(h, x0, y0) + k4(h, x0, y0)) / 6;

x0 += h;

list_results.Add (y0);

}

}

public void Steps (List list_results, int t, int last, int first, double y0)

{

double x0 = first;

int h = (last — first) / t;

for (int i = 0; i < t; i++)

{

if (x0 < realization. t0) tetta = 0;

else tetta = 1;

y0 += (k1(h, x0, y0) + 2 * k2(h, x0, y0) + 2 * k3(h, x0, y0) + k4(h, x0, y0)) / 6;

x0 += h;

list_results.Add (y0);

}

}

}

}

using System;

using System.Collections.Generic;

using System. Linq;

using System. Text;

using System.Windows.Forms.DataVisualization.Charting;

namespace diploma

{

public class charts

{

int tetta = 0;

public void A1(double a, double t, double A0, double I0, Chart C, double t0, double alfa)

{

C.Series[" Series1″ ]. Points. Clear ();

for (int i = 0; i <= t; i++)

{

if (i < t0) tetta = 0;

else tetta = 1;

double A = (A0 + Convert. ToDouble (I0 / a) + Convert. ToDouble (alfa * tetta / a)) * Math. Exp (a * i) — Convert. ToDouble (I0 / a) + alfa * tetta * Math. Exp (a * (i — t0));

C.Series[" Series1″ ]. Points. AddXY (i, A);

}

}

public void A2(double a, double beta, double t, double A0, Chart C, double t0, double alfa)

{

C.Series[" Series2″ ]. Points. Clear ();

for (int i = 0; i <= t; i++)

{

if (i < t0) tetta = 0;

else tetta = 1;

double A = (A0 + Convert. ToDouble (beta / (a * a)) + Convert. ToDouble (alfa * tetta / a)) * Math. Exp (a * i) — Convert. ToDouble (beta / (a * a)) * (a * i + 1) + alfa * tetta * Math. Exp (a * (i — t0));

C.Series[" Series2″ ]. Points. AddXY (i, A);

}

}

public void A3(double a, double beta, double B, double t, double A0, Chart C, double t0, double alfa)

{

C.Series[" Series3″ ]. Points. Clear ();

for (int i = 0; i <= t; i++)

{

if (i < t0) tetta = 0;

else tetta = 1;

double A = (A0 + Convert. ToDouble (B / (a — beta)) + Convert. ToDouble (alfa * tetta / a)) * Math. Exp (a * i) — Convert. ToDouble (B / (a — beta)) * Math. Exp (beta * i) + alfa * tetta * Math. Exp (a * (i — t0));

C.Series[" Series3″ ]. Points. AddXY (i, A);

}

}

}

}

using System;

using System.Collections.Generic;

using System. Linq;

using System. Text;

namespace diploma

{

public static class funcrion_a

{

public static double a (double ksi, double t_p, double t_av, double c, double fa, double Kl)

{

return ((1 — c — t_av) * ksi / (1 + t_p * Kl * (1 — ksi)) * fa);

}

}

}

using System;

using System.Collections.Generic;

using System. Linq;

using System.Windows.Forms;

namespace diploma

{

static class Program

{

/// The main entry point for the application.

[STAThread]

static void Main ()

{

Application.EnableVisualStyles ();

Application.SetCompatibleTextRenderingDefault (false);

Application.Run (new realization ());

}

}}