Приклади різницевих апроксимацій

1. Приклади разностных аппроксимаций.

Різні способи наближеною заміни одномірних диференційних рівнянь разностными вивчалися раніше. Нагадаємо приклади разностных аппроксимаций і введемо необхідні позначення. Будемо розглядати рівномірну сітку з кроком h, тобто. безліч точек.

(h={xi=ih, i=0, (1, (2,…}.

Нехай u (x) — досить гладка функція, задана на відрізку [xi-1, xi+1]. Обозначим.

Разностные відносини називаються відповідно правої, лівої і центральної разностными похідними функції u (x) у точці xi, тобто. при фіксованому xi і за h (0 (цим при і(() межею цих відносин є u'(xi). Проводячи розкладання за такою формулою Тейлора, получим.

ux, i — u'(xi) = 0,5hu''(xi) + O (h2), ux, i — u'(xi) = -0,5hu''(xi) + O (h2), ux, i — u'(xi) = O (h2),.

Звідси видно, що ліва і права разностные похідні аппроксимируют u'(x) з цим порядком по h, а центральна разностная похідна — зі другим порядком. Неважко показати, що друга разностная производная аппроксимирует u''(xi) з іншим порядком по h, причому справедливо разложение.

Розглянемо диференціальний выражение.

(1).

с змінним коефіцієнтом k (x). Замінимо вираз (1) разностным отношением.

(2).

где a=a (x) — функція, певна на сітці (h. Знайдемо умови, яким має відповідати функція a (x) у тому, щоб ставлення (aux)x, i аппроксимировало (ku')' у точці xi з іншим порядком по h. Підставляючи в (2) разложения где ui' = u'(xi), получим.

З іншого боку, Lu = (ku')' = ku'' + k’u', т. е.

Отсюда видно, що Lhu-Lu = O (h2), якщо виконані условия.

(3).

Умови (3) називаються достатніми умовами другого порядку апроксимації. За умов їх виведення передбачалося, що функція u (x) має безперервну четверту похідну і k (x) — дифференцируемая функція. Неважко показати, що умовам (3) задовольняють, наприклад, такі функции:

Зауважимо, що й покласти ai = k (xi), одержимо лише перший порядок аппроксимации.

Як наступного прикладу розглянемо разностную апроксимацію оператора Лапласа.

(4).

Введемо на площині (x1, x2) прямокутну сітку з кроком h1 по напрямку x1 і з кроком h2 в напрямі x2, тобто. безліч точек.

(h = {(xi1, xj2) | xi1 = ih1, xj2 = jh2; і, j = 0, (1, (2,…},.

и обозначим.

З попередніх міркувань слід, що разностное выражение.

(5).

аппроксимирует диференціальний вираз (4) з іншим порядком, тобто. Lhuij — Lu (xi1, xj2) = O (h21) + O (h22). Понад те, для функцій u (x1, x2), які мають безперервними шостими похідними, справедливо разложение.

Разностное вираз (5) називається пятиточечным разностным оператором Лапласа, бо вона містить значення функції u (x1, x2) за п’ять точках сітки, приміром у точках (x1i, x2j), (x1i (1, x2j), (x1i, x2 j (1). Зазначене безліч точок називається шаблоном разностного оператора. Можливі разностные апроксимації оператора Лапласа і шаблонах, містять більше точек.

2. Дослідження апроксимації і сходимости.

2.1. Апроксимація диференціального рівняння. Раніше розглядалася крайова задача.

(k (x) u'(x))' - q (x) u (x) + f (x) = 0, 0 < x < l, (1).

— k (0) u'(0) + (u (0) = (1, u (l) = (2, (2) k (x) (c1 > 0, ((0,.

для якої интегро-интерполяционным засобом була побудована разностная схема.

(3).

(4).

где.

(5).

(6).

Означимо через Lu (x) ліву частина рівняння (1) і крізь Lhyi — ліву частина рівняння (3), т. е.

Нехай ((x) — досить гладка функція і ((xi) — його значення у точці xi сетки.

(h = {xi = ih, і = 0, 1, …, N, hN = l} (7).

Кажуть, що разностный оператор Lh аппроксимирует диференціальний оператор L у точці x=xi, якщо різницю Lh (i — Lh ((xi) котиться до нуля при h (0. І тут кажуть також, що разностное рівняння (3) аппроксимирует диференціальний рівняння (1).

Щоб виявити наявність апроксимації, досить розкласти за такою формулою Тейлора у точці x=xi значення (i (1 = ((xi (h), що входять до разностное вираз Lh (i. Більшість цієї роботи пророблена попередній главі, де показано, що з условиях.

(8).

выполняется соотношение.

Якщо ще, доведемо, что.

di = q (xi) + O (h2), (і = f (xi) + O (h2) (9).

то цим буде встановлено, що оператор Lh аппроксимирует L з іншим порядком по h, т. е.

Lh (i — L ((xi) = O (h2), і = 1, 2,…, N-1 (10).

Отже, доказ другого порядку апроксимації зводиться до перевірки зводиться до перевірки умов (8), (9) для коефіцієнтів (5), (6). Перевіримо спочатку виконання умов (8). Позначаючи p (x) = k-1(x), получим следовательно, Аналогично Отсюда получим т. е. умови (8) виконані. Умови (9) виконані силу те, що заміна з дитинства інтегралів (6) значеннями qi, fi відповідає наближеному вирахування цих з дитинства інтегралів за такою формулою прямокутників з вузлом у середині відрізка интегрирования.

2.2. Апроксимація межового умови. Досліджуємо похибка апроксимації разностного межового умови (4). Означимо lh ((0) = -a1(x, 0 + ((0. Якщо ((x) — довільна досить гладка функція, то, очевидно lh ((0) = -k (0) ('(0) + (((0) + O (h),.

т.е. має місце апроксимація першого порядку по h. Але якщо (=u (x) — вирішення завдання (1), (2), то разностное граничну умова (4) має другий порядок апроксимації, т. е.

Доведемо останнє твердження. Використовуючи разложение.

ux, 0 = (u1 — u0)/h = u'(x½) + O (h2), x½ = 0,5h, a1 = k½ + O (h2) получим Отсюда имеем Учитывая граничну умова (2), получаем.

lhu (0) = 0,5h [- (ku')'(0) + d0u0 — (0] + O (h2).

Выражение, що стоїть у квадратних дужках, перетворимо, враховуючи рівняння (1), до виду.

— (ku')'(0) + d0u0 — (0 = - (ku')'(0) + q (0)u (0) — f (0) +.

+ (d0 — q (0))u0 — (f (0) — (0) = (d0 — q (0))u0 — (f (0) — (0).

Из соотношений получаем.

що потрібно було доказать.

Отже, при достатньої гладкості коефіцієнтів k (x), q (x), f (x) і рішення u (x) разностная схема (10) аппроксимирует вихідну завдання (2) зі другим порядком по h.

При практичному використанні разностной схеми перебування її коефіцієнтів необов’язково обраховувати інтеграли (4), (6) точно. Можна скористатися коефіцієнтами, отриманими шляхом заміни цих з дитинства інтегралів квадратурными формулами, мають точність O (h2) і від. Наприклад, в результаті застосування формули прямокутників одержимо такі коефіцієнти: ai = k (xi — 0,5h), di = q (xi), (і = f (xi).

Застосовуючи формулу трапецій, получим Представление коефіцієнтів разностной схеми як з дитинства інтегралів (4), (6) виявляється корисним для дослідження збіжності у разі розривних функцій k (x), q (x), f (x).

2.3. Рівняння для похибки. Рішення yi = y (xi) разностной завдання (3), (4) залежить від кроку h сітки, y (xi) = yh (xi). Фактично, маємо сімейство рішень {yh (xi)}, залежить від параметра h. Кажуть, що ухвалено рішення yh (x) разностной завдання сходиться до вирішення u (x) вихідної диференціальної завдання, якщо h (0 похибка yh (xi) — u (xi), і = 0, 1,…, N, прагне нулю у певній нормі. У цьому параграфі як такий норми будемо брати норму в сеточном просторі C ((h), тобто. положим.

Кажуть, що разностная схема має m-й порядок точності (чи сходиться з порядком m), если.

де m>0, M>0 — константи, які залежать від h.

Вище встановлено, що схема (3), (4) має другий порядок апроксимації. Доведемо тепер, що цю схему має і друге порядок точності. І тому передусім випишемо рівняння, якому задовольняє похибка zi = yi — u (xi). Поставимо yi = zi + u (xi) в рівняння (3), (4). Тоді одержимо уравнения.

(11).

(12).

где обозначено.

Функція (і, що входить у праву частина рівняння (11), називається похибкою апроксимації диференціального рівняння (1) разностным рівнянням (3) на виконанні завдання (1), (2). У п. 1 було доведено, що (і = O (h2) при h (0, i=1, 2,…, N-1. Аналогічно, величина (1 є по визначенню похибкою апроксимації крайового умови (2) разностным крайовим умовою (4) на виконанні завдання (1), (2), причому (1=O (h2). Таким чином, структура рівнянь для похибки (11), (12) той самий, як і в разностной схеми (3), (4), відрізняються лише праві части.

Щоб довести відповідність разностной схеми, оцінимо вирішення завдання (11), (12) через праві частини (і, (1, тобто. одержимо нерівність вида.

(13).

с константою M1, яка від h. На цьому нерівності і ітиме, что.

Зазначимо, що нерівності виду (13), звані апріорними оцінками, знайшли широке використання у теорії разностных схем. Оскільки структура для похибки (11), (12) той самий, як і в разностной схеми (3), (4), а відрізняються лише праві частини, то оцінка (13) виконується разом з аналогічної оценкой для разностной схеми (3), (4) при (2 = 0. Остання оцінка висловлює стійкість рішення разностной завдання правим частинам (і (1.

2.4. Разностные тотожності і нерівності. А, щоб довести нерівність (13), нам знадобляться деякі разностные тотожності і нерівності. Будемо розглядати сеточные функції, задані на сітці (7). Обозначим.

Справедливо таке разностное утверждение:

(y, (x) = -((, yx) + yN (N — y0(1. (14).

Действительно, что і було довести. Тотожність (14) називається формулою підсумовування по частям.

Підставляючи в (14) замість (вираз azx і тоді замість y функцію z, отримуємо першу разностную формулу Грина.

(15).

Здесь Зокрема, якщо zN = 0 (як і завданню (11), (12)), то получим.

(16).

Обозначим и доведемо, що з будь-який сеточной функції zi, задовольняє умові zN = 0, справедливо неравенство.

(17).

Аби довести скористаємося тождеством и застосуємо нерівність Коши-Буняковского Тогда получим Откуда відразу слід нерівність (17).

2.5. Доказ збіжності. Повертаючись до доведенню збіжності схеми (3), (4), одержимо тотожність, якому задовольняє похибка zi = yi — u (xi). І тому помножимо рівняння (11) на hzi і просуммируем по і від 1 до N-1. Тоді получим Отсюда, застосовуючи разностную формулу Гріна (16), получим Далее, відповідно до (12) имеем.

отже, справедливо тождество.

(18).

Из цього тотожності і буде нині виведено необхідну нерівність виду (13).

Зауважимо передусім, що если.

k (x) (c1 > 0, ((0, q (x) (0,.

то коефіцієнти разностной схеми (3), (4) задовольняють неравенствам.

ai (c1 > 0, ((0, di (0. (19).

Это твердження відразу випливає з явного уявлення коефіцієнтів (5), (6).

Скориставшись (19), оцінимо складові, що входять до ліву частина тотожності (18), наступним образом:

Тогда то дійдемо неравенству.

(20).

Оцінимо згори праву частину акцій цього нерівності. Будемо иметь Подставляя цієї оцінки в (20) та враховуючи нерівність (17), получим т. е.

Окончательно.

(21).

Бо з нерівності слід, що похибка zi = yi — u (xi) є також величиною O (h2) при h (0. Отже, справедливо таке утверждение.

Нехай k (x) — безупинно дифференцируемая і q (x), f (x) — безперервні функції при x ([0, l], рішення u (x) завдання (1), (2) має безперервними четвертими похідними. Нехай коефіцієнти разностной схеми (3), (4) задовольняють умовам (8), (9), (19). Тоді рішення разностной завдання (3), (4) сходиться при h (0 до вирішення вихідної диференціальної завдання (1), (2) зі другим порядком по h, отже виконується оценка.

де M — стала, котра від h.

3. Разностные схеми для рівняння теплопроводности.

3.1. Вихідна завдання. Будемо розглядати таку першу крайову завдання для рівняння теплопровідності з постійними коефіцієнтами. У області {0 < x < 1, 0 < t (T} потрібно знайти рішення уравнения.

(1).

удовлетворяющее початковому условию.

u (x, 0) = u0(x) (2).

и граничним условиям.

u (0, t) = (1(t), u (1, t) = (2(t). (3).

Тут u0(x), (1(t), (2(t) — задані функції. Відомо, що з певних припущеннях гладкості вирішення завдання (1)-(3) є і єдино. Надалі для дослідження апроксимації разностных схем будемо припускати, що ухвалено рішення u (x, t) володіє необхідним у процесі викладу числом похідних по x і з t. Рішення завдання (1) — (3) задовольняє принципу максимуму і тим самим безупинно залежить від початкових і граничних данных.

3.2. Явна схема. Як завжди, для побудови разностной схеми треба передусім запровадити сітку у сфері зміни незалежних змінних і поставити шаблон, тобто. безліч точок сітки, що у апроксимації диференціального висловлювання. Введемо сітку по перемінному x ті ж самі, як і попередньої главі, т. е.

(h = {xi = ih, і = 0, 1,…, N, hN = 1}.

и сітку по перемінному t з кроком (, яку обозначим.

((= {tn = n (, n = 0, 1,…, K, K (= T}.

Точки (xi, tn), і = 0, 1,…, N, n = 0, 1,…, K, утворюють вузли просторовотимчасової сітки (h, (= (h x ((. Вузли (xi, tn), належать відрізкам I0 = {0 (x (1, t = 0}, I1 = {x = 0, 0 (t (T}, I2 = {x = 1, 0 (t (T}, називаються граничними вузлами сітки (h, (, інші ж вузли — внутрішніми. На малюнку граничні вузли є такі хрестиками, а внутрішні - кружочками.

Шаром називається безліч всіх вузлів сітки (h, (, мають те ж тимчасову координату. Так, n-ою шаром називається безліч узлов.

(x0, tn), (x1, tn),…, (xN, tn).

Для функції y (x, t), певної на сітці (h, (, введемо позначення yni = y (xi, tn),.

(4).

Иногда спрощення записи індекси і і n будемо опускати, обозначая.

(xi, tn+1) (xi-1, tn+1) (xi, tn+1) (xi+1, tn+1).

(xi-1, tn) (xi, tn) (xi+1, tn) (xi, tn).

(xi-1, tn+1) (xi, tn+1) (xi+1, tn+1) (xi, tn+1).

(xi-1, tn) (xi, tn) (xi+1, tn) (xi-1, tn) (xi, tn) (xi+1, tn).

(xi, tn-1).

Щоб апроксимувати рівняння (1) у точці (xi, tn), введемо шаблон, зображений малюнку і що з чотирьох вузлів (xi (1, tn), (xi, tn), (xi, tn+1). Похідну (u/(t замінимо у точці (xi, tn) разностным ставленням ynt, і, а похідну (2u/(2x — другий разностной похідною ynxx, і. Праву частина f (x, t) замінимо наближено сеточной функцією (ni, в ролі (ni можна взяти один з наступних выражений:

В результаті одержимо разносное уравнение.

(5).

которое аппроксимирует вихідне диференціальний рівняння у точці (xi, tn) з цим порядком по (і другим порядком по h за умови, що різницю (ni — f (xi, tn) має хоча б порядок малости.

Під разностной схемою розуміється сукупність разностных рівнянь, аппроксимирующих основне диференціальний рівняння переважають у всіх внутрішніх вузлах сітки й додаткові (початкові і граничні) умови — в граничних вузлах сітки. Разностную схему за аналогією з диференціальної завданням будемо називати також разностной завданням. У разі разностная схема має вид.

(6).

Ця схема є систему лінійних алгебраїчних рівнянь із кількістю рівнянь, рівним числу невідомих. Знаходити рішення такий системи слід за верствам. Рішення на нульовому шарі поставлено початковими умовами y0i = u0(xi), і = 0, 1,…, N. Якщо рішення yni, і = 0, 1,…, N, на шарі n вже знайдено, те решіння yin+1 на шарі n+1 перебувають розслідування щодо явною формуле.

(7).

а значення доопределяются з граничних умов. Через це схема (6) називається явною разностной схемою. Трохи пізніше ми познайомимося і з неявними схемами, у яких для перебування yin+1 при заданих yin потрібно вирішувати систему уравнений.

Похибка разностной схеми (6) окреслюється різницю zin = yin — u (xi, tn) між рішенням завдання (6) і рішення вихідної завдання (1) — (3). Підставляючи в (6) yin = zin + u (xi, tn), одержимо рівняння для погрешности.

(8).

где — похибка апроксимації разностной схеми (6) на виконанні завдання (1) — (3), (in = O ((+ h2). Можна оцінити рішення zin рівняння (8) через праву частина (in і довести цим відповідність разностной схеми (6) з цим порядком по (і другим — по h. Але це дослідження ми відкладемо, і тепер з прикладу схеми (6) продемонструємо один поширений прийом дослідження разностных схем з постійними коефіцієнтами, званий методом гармонік. Хоча даний метод перестав бути досить обгрунтованим, зокрема не враховує впливу граничних умов і правих частин, вона дозволяє легко знайти потрібні умови стійкості й збіжності разностных схем. Покажемо, наприклад, що явну схему (6) можна лише за умови ((0,5h2, означаючому, що крок у часу потрібно опановувати досить малым.

Розглянемо уравнение.

(9).

т.е. однорідне рівняння, відповідне (5). Шукатимемо приватні рішення (9), мають вид.

yjn (() = qneijh (, (10).

где і - мнима одиниця, (- будь-яке дійсне число і q — число, підлягає визначенню. Підставляючи (10) в рівняння (9) і скорочуючи на eijh (, получим откуда найдем.

(11).

Початкові умови відповідні рішенням виду (10) (їх називають гармоніками), обмежені. Якщо деякого (множник q стане з модулю більше одиниці, те решіння виду (10) буде необмежено зростати при n ((. І тут разностное рівняння (9) називається хистким, оскільки порушується безперервна залежність його рішення від початкових умов. Якщо ж |q| (1 всім дійсних (, то ми все рішення виду (10) обмежені незалежно від n і разностное рівняння (9) називається стійким. Що стосується нестійкості знайти рішення разностной завдання (6) по формулам (7) практично неможливо, оскільки похибки (наприклад похибки округлення), внесені до початковий час, будуть необмежено зростати зі збільшенням n. Такі разностные схеми називаються неустойчивыми.

Для рівняння (9) нерівність |q| (1 виконується відповідно до (11) при всіх (тоді й тільки тоді, коли ((0,5. Отже, використання схеми (6) можливе лише за виконанні умови ((0,5h2. Разностные схеми, стійкі лише за деякому обмеження на ставлення кроків із простору й часово, називаються умовно стійкими. Отже, схема (6) можливо стійка, причому умова стійкості має вигляд (/h2 (0,5. Умовно стійкі схеми для рівнянь параболического типу використовуються рідко, оскільки вони накладають занадто сильне обмеження на крок у часу. Справді, нехай, наприклад, h = 10−2. Тоді крок (не повинен перевершувати 0,5 * 10−4, і щоб вирахувати рішення yjn при t = 1, треба взяти число кроків із часу n = (-1 (2 * 104, тобто. провести щонайменше 2 * 104 обчислень по формулам (7).

3.3. Неявні схеми. Суто неявній разностной схемою для рівняння теплопровідності теплопровідності (схемою з випередженням) називається разностная схема, яка використовує шаблон (xi, tn), (xi (1, tn+1), (xi, tn+1) і має вид.

(12).

Тут (ni = f (xi, tn+1) + O ((+ h2). Схема має перший порядок апроксимації по (і друге — по h. Рішення системи (12) перебуває, як й у разі явною схеми, по верствам, починаючи з n = 1. Проте, тепер, на відміну явною схеми, перебування yin+1 по відомим yin потрібно вирішити систему уравнений.

(13).

где (= (/h2, Fin = yin + ((in. Систему цю можна вирішити методом прогонки, оскільки умови стійкості прогонки выполнены.

Для дослідження стійкості разностной схеми (12) шукатимемо приватні рішення уравнения имеющие вид (10). Тоді получим следовательно, |q| (1 за будь-яких (, (, h. Отже, схема (12) абсолютно стійка, тобто. стійка за будь-яких кроках (і h. Абсолютна стійкість є основним умовою неявних схем. Нині вже зайве брати крок (занадто малим, можна взяти, наприклад, (= h = 10−2. Величина кроків сітки (, h визначаються тепер необхідної точністю розрахунку, а чи не міркуваннями устойчивости.

Шеститочечной симетричній схемою називається разностная схема.

(14).

для якої початкові і граничні умови задаються як і, як й у схемою (12). Ця схема використовує шеститочечный шаблон, зображений на рисунке.

Узагальненням трьох розглянутих схем є однопараметрическое сімейство схем з вагами. Поставимо довільний дійсний параметр (і визначимо разностную схему.

(15).

При (= 0 одержимо звідси явну схему, при (= 1 — суто неявну схему і при (= 0,5 — симметричную схему (14). Досліджуємо похибка апроксимації схеми (15) на рішенні вихідної завдання (1) — (3). Уявімо вирішення завдання (15) як yin = u (xi, tn) + zin, де u (xi, tn) — точне рішення диференціальної завдання (1) — (3). Тоді для похибки одержимо систему уравнений.

(16).

і = 1, 2,…, N — 1, n = 0, 1,…, K — 1, z0n+1 = zNn+1 = 0, n = 0, 1,…, K — 1, zi0 = 0, і = 0, 1,…, N.

Сеточная функція (in, що входить у праву частина рівняння (16) і равная.

(17) називається похибкою апроксимації схеми (15) на виконанні завдання (1) — (3). Одержимо перші члени розкладання функції (in по ступенів h і (. Будемо розкладати всі функції, що входять до вираз для (in, за такою формулою Тейлора в точці (xi, tn + 0,5(). З огляду на разложения.

где.

получим Отсюда, проводячи розкладання у точці (xi, tn+½) і позначаючи u = u (xi, tn+½), будемо иметь и, перегруппировывая складові, одержимо, что Учитывая рівняння (1) u'' - u = - f та досудове слідство потім із нього uIV — u'' = -f'', остаточно можна записати, что.

(18).

З формули (18) можна зробити такі висновки. Если.

то схема (15) має другий порядок апроксимації по (і четвертий — по h. Така схема називається схемою підвищеного порядку апроксимації. Если.

то схема (15) має другий порядок апроксимації по (і з h. При інших значеннях (і за (in (0 як (10), то получим и |q| (1 попри всі (, если.

(19).

Звідси видно, зокрема, що це схеми з ((0,5 абсолютно стійкі. Схема підвищеного порядку апроксимації ((= (*) теж зовсім стійка, що перевіряється непосредственно.

При ((0 разностная схема (15) є неявній схемою. Для перебування рішення yin+1 по заданим yin потрібно вирішувати систему уравнений.

(20).

где.

Система (20) вирішується методом прогонки. Умови стійкості прогонки при ((0 зводяться до неравенству.

|1 + 2((| (2 |(| (.

и виконані при ((- 1/(4(). Останнє нерівність випливає з умови стійкості (19) разностной схемы.

3.4. Рівняння зі змінними коефіцієнтами і лінійні рівняння. Розглянемо першу крайову завдання для рівняння теплопровідності з перемінними коэффициентами.

(21).

де ((x, t), k (x, t), f (x, t) — досить гладкі функції, задовольняють условиям.

0 < c1 (k (x, t) (c2, ((x, t) (c3 > 0. (22).

Дифференциальное вираз при кожному фіксованому t аппроксимируем у точці (xi, t) як і, як й у стаціонарному разі, разностным отношением.

(23).

где разностный коефіцієнт теплопровідності a (xi, t) повинен відповідати умовам другого порядку аппроксимации Наиболее уживані такі висловлювання для a (xi, t):

Разностная схема з вагами для завдання (21) має вид.

(24).

Тут у ролі t можна взяти будь-яке значення t ([tn, tn+1], наприклад t = tn + 0,5(. Якщо рівнянні (24) t = tn + 0,5(, (= 0,5, то схема (24) має другий порядок апроксимації по (і з h. При інших значеннях (і t виконується перший порядок апроксимації по (і друге — по h.

При дослідженні стійкості разностных схем зі змінними коефіцієнтами іноді застосовується принцип заморожених коефіцієнтів, який зведе завдання до рівнянню з постійними коефіцієнтами. Розглянемо явну схему, відповідну рівнянню (24) з (= 0 і f (xi, t) (0, тобто. схему.

(25).

Припустимо, що коефіцієнти ((xi, t), a (xi, t) — постійні, ((xi, t) ((= const, a (xi, t) (a = const. Тоді рівняння (25) можна записати в виде.

или.

З п. 2 відомо, що останні рівняння стійко при (' (0,5h2, тобто. при.

(26).

Принцип заморожених коефіцієнтів стверджує, що схема (25) стійка, якщо умова (26) виконано попри всі допустимих значеннях a (xi, t), ((xi, t), тобто. якщо всіх x, t виконані неравенства.

(27).

Если відомо, що 0 < c1 (a (xi, t) (c2, ((xi, t) (c3 > 0, то нерівність (27) буде виконано при Строгое обгрунтування стійкості схеми (25) буде надано в прикладі 2 з глави 2.

Якщо параметр ((0,5, те з принципу заморожених коефіцієнтів слід абсолютна стійкість схеми (24).

Розглянемо тепер першу крайову завдання для нелінійного рівняння теплопроводности.

(28).

Що стосується нелінійних рівнянь, коли заздалегідь невідомі межі зміни функції k (u), уникають користуватися явними схемами. Суто неявна схема, лінійна щодо yin+2, і = 1, 2,…, N — 1, має вид.

(29).

где ai = 0,5 (k (yni) + k (yni-1)). Ця схема абсолютно стійка, має перший порядок апроксимації по (і друге — по h. Рішення yin+1, і = 1, 2,…, N — 1, перебуває методом прогонки. Зауважимо, що схему (29) можна записати в виде где ki = k (yin).

Нерідко використовують нелінійна схема.

(30).

Задля реалізації цієї схеми необхідно застосувати той чи інший итерационный метод. Наприклад такой:

(31).

Тут p. s — номер ітерації. Як кажуть, нелинейные коефіцієнти беруться з попередньої ітерації, а ролі початкового наближення для yin+1 вибирається yin. Це початкова наближення краще, що менше крок (. Кількість ітерацій M задається із міркувань точності. У завданнях з гладенькими коефіцієнтами при k (u) (c1 > 0 це часто буває досить провести дві - три ітерації. Значення yi (S+1) новому ітерації перебувають із системи (31) методом прогонки. При M = 1 итерационный метод (31) збігаються з разностной схемою (29).

Для наближеного рішення нелінійного рівняння (28) застосовуються також схеми предиктор — коректор другого порядку точності, аналогічні методу Рунге — Кутта для звичайних диференційних рівнянь. Тут перехід зі шару n на шар n+1 ввозяться два етапу. Наведемо приклад такої схеми. У першому етапі вирішується неявна лінійна система уравнений из якої проміжні значення yin+½, і = 0, 1,…, N. Потім другого етапу використовується симетрична шеститочечная схема для рівняння (28), у якій нелинейные коефіцієнти a (y), f (y) обчислюються при y = yin+½, тобто. схема.

———————————- [pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].