Беселеві функції

Курсова робота

" Беселеві функції"

1. Беселеві функції з будь-яким індексом

Рівняння Лапласа в циліндричних координатах Щоб пояснити походження Беселевих функцій, розглянемо рівняння Лапласа в просторі:

. (1)

Якщо перейти до циліндричних координат по формулах:

, ,

те рівняння (1) прикмет наступний вид:

. (2)

:

Нехай є рішення згаданого виду. Підставляючи його в (2), одержимо:

звідки (після ділення на)

.

Записавши це у вигляді:

знайдемо, що ліва частина не залежить від, права не залежить від,; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна. Звідси:

; ;

; ;

.

В останній рівності ліва частина не залежить від, права не залежить від; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна. Звідси:

;

.

Таким чином,, , повинні задовольняти лінійним диференціальним рівнянням другого порядку:

(3)

,

з яких друге й третє є найпростіші лінійні рівняння з постійними коефіцієнтами, а перше є лінійним рівнянням зі змінними коефіцієнтами нового виду.

Обернено, якщо, , задовольняють рівнянням (3), тобто рішення рівняння (2). Справді, підставляючи в ліву частину (2) і ділячи потім на, одержимо:

.

Таким чином, загальний вид всіх трьох рішень рівняння (2), які є добутком трьох функцій, кожна з яких залежить від одного аргументу, є, де, , — будь-які рішення рівнянь (3) при будь-якому виборі чисел, .

Перше з рівнянь (3) у випадку, називається рівнянням Беселя. Думаючи в цьому випадку, позначаючи незалежну змінну буквою (замість), а невідому функцію — буквою (замість), знайдемо, що рівняння Беселя має вигляд:

. (4)

Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами відіграє більшу роль у додатках математики. Функції, йому задовольняючі, називаються Беселевими, або циліндричними, функціями.

Беселеві функції першого роду Будемо шукати рішення рівняння Беселя (4) у вигляді ряду:

.

Тоді

.

Отже, приходимо до вимоги або до нескінченної системи рівнянь

яка розпадається на дві системи:

Перша з них задовольниться, якщо взяти … У другій системі можна взяти довільно; тоді … однозначно визначаються (якщо не є цілим негативним числом). Взявши

знайдемо послідовно:

і як рішення рівняння (4) одержимо ряд:

Цей ряд, що формально задовольняє рівнянню (4), сходиться для всіх позитивних значень і, отже, є рішенням рівняння (4) в області (у випадку цілого в області).

Функція

(5)

називається бесселевой функцією першого роду з індексом. Вона є одним з рішень рівняння Беселя (4). У випадку цілого ненегативного індексу одержимо:

(5`)

і, зокрема,

. (5``)

Загальне рішення рівняння Беселя У випадку нецілого індексу функції і є рішеннями рівняння (4). Ці рішення лінійно незалежні, тому що початкові члени рядів, що зображують ці функції, мають коефіцієнти, відмінні від нуля, і містять різні ступені. Таким чином, у випадку нецілого індексу загальне рішення рівняння Беселя є:

. (6)

Якщо (ціле негативне число), то функція, обумовлена формулою (5) (з огляду на, що дорівнює нулю для …), приймає вид:

(5```)

або, після заміни індексу підсумовування на ,

(7)

звідки видно, що задовольняє разом з рівнянню Беселя

.

Але формула (6) у випадку цілого вже не дає загального рішення рівняння (4).

Думаючи

(- не ціле) (8)

і доповнюючи це визначення для (ціле число) формулою:

(8`)

одержимо функцію, що задовольняє рівнянню Беселя (4) і у всіх випадках лінійно незалежну від (у випадку, де — ціле). Функція називається беселевою функцією другого роду з індексом. Загальне рішення рівняння Беселя (4) можна записати у всіх випадках у вигляді:

. (9)

2. Формули приведення для Беселевих функцій

Маємо:

; ;

;

.

Отже,

. (10)

Таким чином, операція (що складається в диференціюванні з наступним множенням на), застосована до, підвищує в цьому вираженні індекс на одиницю й міняє знак. Застосовуючи цю операцію раз, де — будь-яке натуральне число, одержуємо:

. (10`)

Маємо:

;

Отже,

. (11)

Таким чином, операція, застосована до, знижує в цьому вираженні індекс на одиницю. Застосовуючи цю операцію раз, одержуємо:

. (11`)

З виведених формул можна одержати деякі наслідки. Використовуючи (10), одержимо:

;; .

Звідси, зокрема, треба, що. Використовуючи (11), одержимо:

;; .

По членне додавання й вирахування отриманих рівностей дає:

(12)

. (13)

Формула (13) дозволяє виразити всі Беселеві функції із цілими індексами через,. Дійсно, з (13) знаходимо (думаючи):

(13`)

звідки послідовно одержуємо:

…

3. Беселеві функції з напівцілим індексом

Беселеві функції, загалом кажучи, є новими трансцендентними функціями, що не виражаються через елементарні функції. Виключення становлять Беселеві функції з індексом, де — ціле. Ці функції можуть бути виражені через елементарні функції.

Маємо:

отже,

.

Але, значить:

. (14)

Далі

отже,

.

Але, тому

. (15)

За допомогою (10') знаходимо:

а з огляду на (14)

отже, при цілому позитивному

. (14`)

За допомогою (11') знаходимо:

але в силу (15)

і, отже, при цілому позитивному

. (15`)

4. Інтегральне подання Беселевих функцій із цілим індексом

Виробляюча функція системи функцій Розглянемо систему функцій (з будь-якою загальною областю визначення), пронумерованих за допомогою всіх цілих чисел:

Складемо ряд

де — комплексна змінна. Припустимо, що при кожному (приналежному області визначення розглянутих функцій) цей ряд має кільце збіжності, що містить усередині себе одиничну окружність. Зокрема, це кільце може являти собою повну площину комплексної змінної без крапок 0 і?.

Функція

(16)

(де x лежить в області визначення функцій системи , — усередині кільця збіжності, що відповідає розглянутому значенню) називається виробляючою функцією системи .

Обернено, нехай задана функція, де пробігає деяку множину, перебуває усередині деякого кільця, що залежить від, із центром 0 і утримуючого усередині себе одиничну окружність. Тоді, якщо при кожному аналітичне відносно усередині відповідного кільця, тобто виробляюча функція деякої системи функцій. Справді, розклавши при кожному функцію в ряд Лорана по ступенях :

знайдемо, що система коефіцієнтів цього ряду буде шуканою системою .

Формули для коефіцієнтів ряду Лорана дозволяють виразити функції розглянутої системи через виробляючу функцію. Застосовуючи ці формули й перетворюючи потім інтеграл уздовж одиничної окружності в простий інтеграл, одержимо:

. (17)

Виробляюча функція системи Беселевих функцій із цілими індексами Покажемо, що для системи Беселевих функцій першого роду із цілими індексами (…) виробляюча функція є:

.

Маємо:

,

звідки після по членного перемножування цих рівностей знайдемо:

(тому що в передостанній внутрішній сумі й були зв’язані залежністю, то ми могли покласти, одержавши підсумовування по одному індексі). В останній внутрішній сумі підсумовування виробляється по всіх цілих, для яких, отже, при це буде; при це буде. Таким чином, у всіх випадках внутрішня сума є в силу формул (5`) і (5```). Отже,

(18)

але це й доводить, що є виробляюча функція для системи .

Виведемо деякі наслідки з формули (18). Думаючи в ній, одержимо:

звідки після поділу дійсної й мнимої частини (з огляду на, що)

(18`)

(18``)

Заміняючи в (18`) і (18``) на, знайдемо:

(18```)

. (18````)

Інтегральне подання Jn (x)

Тому що, по доведеному, при маємо, те по формулі (17) одержуємо (використовуючи в перетвореннях формули Ейлера):

де прийнято в увагу, що є парна функція від є непарна функція від. Отже, доведено, що для будь-якого цілого числа

. (19)

Формула (19) дає подання Беселевих функцій із цілим індексом у вигляді певного інтеграла, що залежить від параметра. Ця формула називається інтегральним поданням Беселя для, права частина формули називається інтегралом Беселя. Зокрема, при знайдемо:

. (19`)

5. Ряди Фур'є-Беселя

Розглянемо на якому-небудь інтервалі (кінцевому або нескінченному) два диференціальних рівняння

, (20)

де й — безперервні функції на. Нехай і - ненульові рішення цих рівнянь. Множення на й на й наступне вирахування дають

.

Нехай і належать і, тоді після інтегрування в межах від до одержимо

. (21)

Якщо й — сусідні нулі рішення, то між і зберігає постійний знак, нехай, наприклад, на (,) (у противному випадку варто замінити на), тоді, (рівність нулю виключено, тому що — ненульове рішення диференціального рівняння другого порядку). Якщо на, то повинна, принаймні, раз звертатися в нуль між і, тому що інакше збереже постійний знак на (,). Нехай, наприклад, на (,) (у противному випадку заміняємо на), і тоді з (21) одержимо протиріччя, тому що ліва частина ?0, а права >0. У такий спосіб доведена теорема порівняння Штурму: якщо P (x)

З теореми порівняння Штурму випливають нижченаведені наслідки. Якщо на, то кожне ненульове рішення рівняння може мати на не більше одного нуля (це легко бачити, якщо покласти й взяти). Якщо на (де), то для всяких двох сусідніх нулів і () кожного ненульового рішення рівняння маємо (це легко бачити, якщо покласти, взяти й помітити, що нулями будуть тільки числа виду, ціле). Якщо на (де), то для всяких двох сусідніх нулів кожного ненульового рішення рівняння маємо (це легко бачити, якщо покласти й взяти). Із сказаного випливає, що якщо на, те для всяких двох сусідніх нулів і () кожного ненульового рішення рівняння маємо .

Викладене показує, що якщо безперервно на й перевищує деяке позитивне число поблизу +?, те кожне ненульове рішення рівняння має на нескінченно багато нулів. Якщо ще поблизу не звертається в нуль, то ці нулі утворять нескінченну зростаючу послідовність, що має межею +?, а якщо, крім того,, де, те .

Розглянемо рівняння Беселя на інтервалі. Підстановка приводить до рівняння

.

Очевидно, і мають ті самі нулі. Тому що, де — ціла функція, то не має нулів на при досить малому, і тому що при, те при кожному нулі на утворять нескінченну зростаючу послідовність

причому .

Якщо, то задовольнить рівнянню на інтервалі (0, +?). Підстановка приводить до рівняння

і, отже, задовольняє цьому рівнянню. Таким чином, при будь-яких позитивних і маємо

, де ,

, де ,

звідки

,

отже,

, де. (22)

Нехай тепер. Розкладання по ступенях починається зі члена, що містить, розкладання по ступенях починається зі члена, що містить, тому що коефіцієнт при дорівнює нулю, що легко бачити, виходячи з формули (5). Отже, з (22) при одержимо

,

тобто

, (23)

звідки видно, що якщо і є різними нулями функції, те

. (23`)

Цим доведено, що при система функцій на інтервалі є ортогональної щодо ваги .

Переходячи до межі при в співвідношенні

і використовуючи правило Лопиталя, одержимо при всякому

, (24)

отже, якщо є нулем функції, те

. (24`)

Таким чином, при кожному всякій безперервній функції на, що задовольняє вимозі

,

поставлений у відповідність ряд Фур'є-Беселя

, (25)

коефіцієнти якого визначаються формулами

. (25`)

Можна довести, що система функцій на, ортогональна щодо ваги, замкнута. Зокрема, якщо ряд Фур'є-Беселя (25) рівномірно сходиться до його безперервної функції, що породжує.

Можна показати, що якщо й безперервна на й функція, то ряд Фур'є-Беселя цієї функції сходиться до неї при .

6. Асимптотичне подання Беселевих функцій із цілим індексом для більших значень аргументу

Нехай — позитивна функція й — яка-небудь функція для досить більших значень. Запис

при

означає, що найдуться такі числа й M, що при маємо .

Подібний запис уживається й в інших аналогічних випадках. Наприклад, якщо — позитивна функція й — яка-небудь функція, визначені для досить малих позитивних значень, то запис

при

означає, що найдуться такі числа й, що на .

Допоміжна лема Якщо двічі безупинно диференцюєма на, то для функції

має місце асимптотичне подання

при .

Доведемо цю лему. Заміняючи на, одержимо:

.(26)

Розглянемо інтеграл, що фігурує в правої частини формули (20). Заміняючи на, знайдемо:

але, замінивши на, одержимо:

.

Якщо позитивно, убуває й прагнути до нуля при, то й, а отже, і є при, тому

при ,

звідки

при .

Отже, одержуємо асимптотичне подання:

при. (27)

Розглянемо тепер інтеграл, що фігурує в другому складати^ся правої частини формули (20). Маємо:

.

Очевидно, двічі безупинно на, але існують і, тому стає безупинно диференцуєма на. Інтегрування вроздріб дає:

де перший доданок правої частини є при, а інтеграл у другому мажорирується інтегралом, що складається при нижній межі

який сходиться, тому що

при ;

отже, другий доданок є теж при .

Отже, маємо:

при. (28)

З (26), (27), (28) одержуємо шукане асимптотичне подання:

при. (29)

Із цієї формули, переходячи до сполучених величин, знайдемо ще:

при. (29')

Формули (29) і (29`) вірні й для функцій .

Висновок асимптотичної формули для Jn (x)

Заміняючи на, одержимо:

(з огляду на, що є парна функція від, а є непарна функція від). Підстановка дає:

де є, мабуть, поліном n-й ступеня (поліном Чебишева), тому що з формули Муавра видно, що є поліном n-й ступеня відносно. Але

і, заміняючи в першому із цих інтегралів на, одержимо:

Тому що й на мають похідні всіх порядків, то до двох останніх інтегралів застосовні формули (29) і (29`), і ми одержуємо:

;

але; , отже,

.

Отже, маємо шукане асимптотичне подання беселевої функції першого роду із цілим індексом для більших значень аргументу:

при. (30)

Ця формула показує, що з точністю складається до порядку, що, є загасаючою гармонікою із хвилею постійної довжини й амплітудою, що убуває обернено пропорційно квадратному кореню з абсциси.

Зокрема,

при; (30`)

при. (30'')

Графіки цих функцій зображені ні малюнках 1 і 2.

Розглянемо кілька прикладів рішення рівняння Беселя.

1. Знайти рішення рівняння Беселя при

задовольняючим початковим умовам при, і .

Рішення.

На підставі формули (5') знаходимо одне приватне рішення:

.

2. Знайти одне з рішень рівняння:

.

Рішення.

Зробимо заміну

.

При одержимо:

.

При будемо шукати рішення у вигляді узагальненого статечного ряду:

.

Рівняння на має вигляд ;

, ,, тому

.

Рисунок 1 — Графік функції y=J0 (x)

Рисунок 2 — Графік функції y=J1 (x)

Висновок

Розглянуті усі рішення рівнянь, які можуть бути представлені у вигляді добутку трьох функцій. Складені графіки функцій.

Список літератури

1. Пискунов Н. С. Диференціальне й інтегральне вирахування, навчальний посібник для вузів. — К., 2003

2. Романовський П. І. «Ряди Фур'є. Теорія поля. Аналітичні й спеціальні функції. Перетворення Лапласа», навчальний посібник для вузів. — К., 2004

3. Самарський А. А., Гулін А.В. Чисельні методи. — К., 2003

4. Синіцин О.К., Навроцкий А. А. Алгоритми обчислювальної математики. — К., 2003