Розширення полів

Зміст |Запровадження | | |1. Просте алгебраїчне розширення поля. |4 | | 1.1. Просте розширення поля. |4 | | 1.2. Мінімальний поліном алгебраического елемента. |5 | | 1.3. Будова простого алгебраического розширення поля. |6 | | 1.4. Відкидання алгебраїчній ірраціональності в знаменнику дробу. |6 | |2.Составное алгебраїчне розширення поля. |8 | | 2.1. Кінцеве розширення поля. |8 | | 2.2. Складене алгебраїчне розширення поля. |8 | | 2.3. Простота складеного алгебраического розширення поля. |10 | | 2.4. Поле алгебраїчних чисел. |11 | | 2.5. Алгебраїчна замкнутість поля алгебраїчних чисел. |12 | |3. Сепарабельные і несепарабельные розширення. |12 | |4. Нескінченні розширення полів. |17 | | 4.1. Алгебраїчно замкнуті поля. |17 | | 4.2. Прості трансцендентні розширення. |22 | |Укладання |26 | |Література |27 |.

У педагогічних вузах введена програма єдиного курсу алгебри і теорії чисел. Головна мета курса—изучение основних алгебраїчних систем і виховання алгебраїчній культури, необхідної майбутньому вчителю для глибокого розуміння цілей і завдань як основного шкільного курсу математики, і шкільних факультативних курсов.

На думку, найдоцільнішим лежить введення в шкільне викладання елементів сучасної абстрактної алгебры.

Розпочатий в ХХІ столітті процес алгебраизации математики точиться, а це викликає наполегливі спроби запровадження шкільне математичну освіту основних алгебраїчних понятий.

Математична глибина і вельми широка сфера застосування полів поєднуються з простотою її засад — понять полів, низку важливих теорем можна сформулювати і довести, володіючи початковими уявленнями у сфері теорії множин. Тому теорія полів як можна більше у тому, щоб показати школярам зразок сучасної математики.

З іншого боку, вивчення елементів теорії поля корисно що для школярів, сприяє їхній інтелектуальному зростанню, проявляющемуся у розвитку й збагаченні різних сторін мислення, якостей і дідько особистості, і навіть вихованню у учнів інтересу до математики, до науке.

1. Просте алгебраїчне розширення поля.

1.1.Простое розширення поля.

Нехай P[x] — кільце полиномов від x над полем P, де P — подполе поля F. Нагадаємо, що елемент (поля F називається алгебраїчним над полем P, якщо (є коренем якогось полинома позитивної ступеня з P [x].

Визначення. Нехай P < F і ((F. Простим розширенням поля P з допомогою елемента (називається найменше подполе поля F, що містить безліч Р і елемент (. Просте розширення P з допомогою (позначається через P ((), основне безліч поля P (() позначається через Р (().

Нехай ((F, P [x] — кільце полиномов від x и.

P[x]={f (()(f (P[x]}, т. е. P [(] є чимало всіх висловів виду a0 + a1(+…+ an (n, де а0, a1,…an (P і n — будь-яке натуральне число.

Легко бачити, що алгебра (P[a], +, —, ., 1(— подкольцо поля P (() — є кільцем; цю обручку позначається символом P [(].

Теорему 1.1. Нехай P [x]— кільце полиномов від x над P і P (() — просте розширення поля P. Нехай (— відображення P[x] на P[(] таке, що ((f)=f (() нічого для будь-якого f з P[x]. Тогда:

(а будь-якого та якщо з Р ((а) = а;

(b) ((x) = (;

(з) (є гомоморфизмом кільця P [x] на кільце P [(];

(d) Ker (={f (P[x](f (()=0};

(е) фактор-кольцо P [x]/Кег (ізоморфно кільцю P [(].

Доказ. Твердження (чи (И) безпосередньо взято з визначення (. Відображення (зберігає головні операції кільця P [x], так як будь-яких f і g з P[x].

((f + g)=f (()+g ((), ((fg)= f (()g ((), ((1)=1. Далі, за умовою, (є відображенням Р[х] на Р[(]. Отже, (є гомоморфизмом кільця P [x] на кільце P [(].

Твердження (d) безпосередньо випливає з визначення відображення (. Оскільки (— гомоморфизм кільця P [x] на P [(], то фактор-кольцо P[x]/Кег (ізоморфно кільцю P [(].

Слідство 1.2. Нехай (— трансцендентний елемент над полем P. Тоді кільце полиномов P [x] ізоморфно кільцю P [(].

Доказ. З огляду на трансцендентність (над P Ker (={0}. Тому P[x]/{0}(P [(]. З іншого боку, фактор-кольцо кільця P [x] за нульовим ідеалу ізоморфно P [x]. Отже, P [x](P [(].

1.2.Минимальный поліном алгебраического элемента.

Пусть P [x] — кільце полиномов над полем P.

Визначення. Нехай (— алгебраїчний елемент над полем P. Мінімальним полиномом елемента (, над P називається нормований поліном з P[x] найменше, коренем якого є (. Ступінь мінімального полинома називається ступенем елемента (над P. Легко бачити, що з будь-якого елемента (, алгебраического над P, існує мінімальний полином.

Пропозиція 1.3. Якщо, а — алгебраїчний елемент над полем P, а g і (— його мінімальні полиномы над P, то g=(.

Доказ. Ступені мінімальних полиномов g і (збігаються. Якщо g ((, то елемент ((ступеня n над P) буде коренем полинома g — (, ступінь якого менше ступеня полинома ((менше n), що організувати неможливо. Отже, g=(.

Теорему 1.4. Нехай (— алгебраїчний елемент ступеня n над полем P (((P) і g — його мінімальний поліном над P. Тогда:

(а) поліном g неприводим в кільці P [x];

(b) якщо f (() = 0, де f (P[x], то g ділить f;

(з) фактор-кольцо P [x]/(g) ізоморфно кільцю P [(];

(d) P [x]/(g) є полем;

(е) кільце P [(] збігаються з полем P (().

Доказ. Припустимо, що поліном g наводимо в кільці P [x], т. е. перебувають у P[x] такі полиномы (і h, що g = (h, 1(deg (, deg h1 над полем P; f і h — полиномы з кільця полиномов P [x]и h (() (0. Потрібна уявити елемент f (()/h (()(P (() як лінійної комбінації ступенів елемента (, т. е. як (((), де ((P[x].

Це завдання вирішується так. Нехай g — мінімальний поліном для (над P. Оскільки, по теоремі 1.4, поліном неприводим над P і h (() (0, то g не ділить h і, отже, полиномы h і g — взаємно прості. Тому існують в P[x] такі полиномы u і v, що uh+vg=1 (1) Оскільки g (() = 0, з (1) слід, що u (()g (() = 1, 1/h (() = u ((). Отже, f (()/h (() = f (()u ((), причому f, u (P[x] і f (()u (()(P[(]. Отже, ми звільнилися від ірраціональності в знаменнику дробу f (()/h (() .

Пример. Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дроби.

[pic]. Рішення. У нашому випадку (=[pic]. Мінімальним многочленом цього числа є p (x)=x3−2. Багаточлени p (x) і g (x)=-x2+x+1 взаємно прості. Тому є такі багаточлени (і (, що p (+g (=1.

Для відшукання (і (застосуємо алгоритм Евкліда до многочленам p і g:

— x3−2 -x2+x+1 -x2+x+1 2x-1×3-x2-xx-1 -x2+½x -½x+¼×2+x-2 ½x+1×2-x-1 ½x-¼.

2x-1 5/4 Отже, p=g (-x-1)+(2x-1), g=(2x-1)(-½x+¼)+5/4.

Откуда находим.

(2x-1)=p+g (x+1),.

5/4=g-(p+g (x+1))(-½x+¼) чи p1/5(2x-1)+g (4/5+1/5(2×2+x-1))=1, p1/5(2x-1)+g (2/5×2+1/5x+3/5)=1. Таким образом,.

((x)= (2/5×2+1/5x+3/5).

Тогда.

((()=(([pic])=[pic].

Следовательно.

[pic][pic].

2.Составное алгебраїчне розширення поля.

2.1. Кінцеве розширення поля.

Нехай P — подполе поля F. Тоді ми можемо розглядати F як векторное надто безкраї простори P, т. е. розглядати векторное простір (F, +, {(((((P}(, де ((- операція множення елементів з F на скаляр ((P.

Визначення. Розширення F поля P називається кінцевим, якщо F, як векторное надто безкраї простори P, має кінцеву розмірність. Ця розмірність позначається через [F: P].

Пропозиція 2.1. Якщо (— алгебраїчний елемент ступеня n над P, то [P (():P]=n. Цю пропозицію безпосередньо випливає з теореми 1.5.

Визначення. Розширення F поля P називається алгебраїчним, якщо кожне елемент з F є алгебраїчним над P.

Теорему 2.2. Будь-яке кінцеве розширення F поля P є алгебраїчним над P.

Доказ. Нехай n-размерность F над P. Теорему, очевидно, правильна, якщо n = 0. Припустимо, що n>0. Будь-які n+1 елементів з F лінійно залежні над P. Зокрема, лінійно залежна система елементів 1, (, …, (n, т. е. перебувають у P такі елементи с0, с1,…, cn в усіх рівні нулю, що с0(1+ с1(+…+cn (n = 0. Отже, елемент (є алгебраїчним над P.

Зазначимо, що є алгебраїчні розширення поля, які є кінцевими расширениями.

2.2. Складене алгебраїчне розширення поля.

Розширення F поля P називається складовим, якщо є зростаюча ланцюжок подполей L і поля F така, что.

P = L0 (L1 (…(Lk= F і k>1. Теорему 2.3. Нехай F — кінцеве розширення поля L і L — кінцеве розширення поля P. Тоді F є кінцевою розширенням поля P и.

I) [F: P] = [F: L]([ L: P].

Доказ. Нехай (1) (1,…,(m — базис поля L над P (як векторного простору) і (2) (1,…,(n — базис поля F над L. Будь-який елемент d з F можна лінійно висловити через базис: (3) d = l1(1+…+ln (n (lk (L). Коефіцієнти 1k можна лінійно висловити через базис (1): (4) lk = p1k (+…+ pmk (m (pik (P). Підставляючи висловлювання для коефіцієнтів lk в (3), отримуємо d = (pik (i (k. i ({1,…, m} k ({1,…, n} Отже, кожен елемент поля F уявімо як лінійної комбінації елементів безлічі B, где.

B = { (i (k ({1,…, m}, k ({l,…, n}}. Зазначимо, що багато B складається з nm элементов.

Покажемо, що B є базис F над полем P. Мусимо показати, що систему елементів безлічі B лінійно незалежна. Нехай (5) (cik (i (k = 0,.

I, k де cik (P. Оскільки система (2) лінійно незалежна над L, те з (5) йдуть рівності (6) с1k (1+…+сmk (m = 0 (k = 1,…, n). Оскільки елементи (1, …, (m лінійно незалежні над P, те з (6) йдуть рівності c1k = 0,…, cmk = 0 (k = 1, …, n), що дають, що це коефіцієнти в (5) рівні нулю. Отже, система елементів B лінійно незалежна і є базисом F над P.

Отже встановлено, що [F, P] = nm = [F: L]([L: P]. Отже, F є кінцевою розширенням поля P і має місце формула (I).

Визначення. Розширення F поля P називається складовим алгебраїчним, якщо є зростаюча ланцюжок подполей поля P.

P = L0 (L1 (…(Lk= F і k>1 (1) така, що з і = 1,…, k полі L і є простим алгебраїчним розширенням поля L i-1. Кількість k називається довжиною ланцюжка (1).

Слідство 2.4. Складене алгебраїчне розширення F поля P є кінцевим розширенням поля P. Доказ легко проводиться індукцією за довжиною ланцюжка (1) виходячи з теореми 2.3.

Теорему 2.5. Нехай (1,…, (k — алгебраїчні над полем P елементи поля F. Тоді полі P ((1,…, (k) є кінцевою розширенням поля P.

Доказ. Пусть.

L 0 = P, L 1 = P [(1], L 2= P [(1, (2,],…, L k = P [(1 ,…, (k]. Тоді L1 = P [(1] є просте алгебраїчне розширення поля L0; L2 є просте алгебраїчне розширення поля L1, так как.

L2 = P [(1,(2] = (P [(1])[(2] = L1[(2] = L1((2) тощо. д.

Таким образом,.

P = L0 (L1 (…(Lk= F де Li = Li-1((i) при і = 1, …, k, т. е. всі члени ланцюжка (2) є простим алгебраїчним розширенням попереднього члена ланцюжка. Отже, полі F є складовим алгебраїчним розширенням поля P. Отже, з слідства 2.4 полі F є кінцевою розширенням поля P .

Слідство 2.6. Складене алгебраїчне розширення поля є алгебраїчним розширенням цього поля.

2.3. Простота складеного алгебраического розширення поля.

Теорему 2.7. Нехай числове полі F є складене алгебраїчне розширення поля P. Тоді F є простим алгебраїчним розширенням поля P.

Доказ. Нехай P (L (F, причому L = P ((), F = L (() і, отже, F = P ((, ().

Нехай f і g — мінімальні полиномы над P відповідно для чисел (і (і deg f = m, deg g = n. Полиномы f і g неприводимы над P і, отже, немає на полі E комплексних чисел кратних коренів. Пусть.

(= (1 ,…, (m — коріння полинома f в З и.

(= (1 ,…, (n — коріння полинома g в З. Розглянемо кінцеве безліч М: M = {((i-()/((-(k)(i ({1,…, m}, k ({2,…, n}}. Оскільки P — числове безліч (і, отже, нескінченне), то P існує число з, не на елементів безлічі М, c (P (М, c (М. Нехай (1) (= (+ з (. Тоді виконуються співвідношення (2) (((і +c (k = (i ({1,…, m}, k ({2, …, n}). У насправді, у разі рівності (+з (= (i+с (k було б з = ((i-()/((-(k) (M що суперечило б вибору числа c.

Нехай F1 = P (() і F1 — кільце полиномов від x. Нехай h = f ((- cx) — поліном з F1[x] ((, c (P (() = F1). Покажемо, що x-(є найбільший загальний дільник полиномов h і g в кільці F1[x]. Оскільки g (() = 0, то x-(ділить g в E[x]. Далі, з (1) h (() = f ((-c () = f (() = 0. Тому x-(ділить поліном h в E[x]. Отже, x-(є загальний дільник h і g в кільці E[x].

Доведемо, що g і h в З немає коренів, відмінних (. У насправді, скажімо, що (k, k ({2 ,…, n}, є їхній загальний корінь. Тоді h ((k) = f ((- с (k) = 0. Отже, знайдеться такий індекс i ({1 ,…, m}, що (= (i+c (k (k>1), але це суперечить (2). З цього укладаємо, що x-(є найбільший загальний дільник g і h в E[x]. Оскільки x — (— нормований поліном, то це означає, що x — (найбільший загальним делителем g і h в кільці F1[x]. Поэтому.

(x-() (F1[x] і ((F1 = P ((). З іншого боку, (= (- з ((F1. Таким образом,.

F = P ((, ()(F1, F1(F. Отже, F = P ((). Далі, оскільки ((як і кожен елемент з F) є алгебраїчний елемент над P і F = P ((), то полі F = P (() є потрібним простим алгебраїчним розширенням поля P.

2.4. Поле алгебраїчних чисел.

У класі подполей поля комплексних чисел однією з важливих є полі алгебраїчних чисел.

Визначення. Алгебраїчним числом називається комплексне число, що є коренем полинома позитивної ступеня з раціональними коефіцієнтами. Зазначимо, що алгебраїчне число є будь-яке комплексне число, алгебраїчне над полем Q. Зокрема, будь-яке раціональне число є алгебраическим.

Теорему 2.8. Безліч A всіх алгебраїчних чисел замкнуто в кільці E = (З, +, —, •, 1(комплексних чисел. Алгебра A = (А, +, —, •, 1(є полем, подполем поля E.

Доказ. Нехай a і b — будь-які елементи з А. По слідству 2.6, полі Q (a, b) є алгебраїчним над Q. Тому числа a+b, -а, ab, 1 є алгебраїчними, т. е. обленерго належать купі A. Отже, безліч, А замкнуто щодо головних операцій кільця E. Тому алгебра A — подкольцо кільця E — є кольцом.

З іншого боку, якщо a —ненульовий елемент з Бо a-1 (Q (a, b) і тому а-1 належить А. Отже, алгебра A є полі, подполе поля E.

Визначення. Поле A = (А, +, —, •, 1(називається полем алгебраїчних чисел.

Пример.

Показать, що кількість (=[pic][pic] є алгебраическим.

Рішення. З (=[pic][pic] слід (-[pic][pic].

Зведемо Кобзареву обидві частини останнього рівності у третій степень:

(3−3(2[pic]9(-3[pic]=2.

или.

(3 +9(-2=3[pic]((2+1).

Теперь обидві частини рівності будуємо на другу степень:

(6+18(4+81(2−4(3−36(+4=27(4+54(2+27 или.

(6−9(4−4(3+27(2−36(-23=0. Отже (є коренем багаточлена f (x)= (6−9(4−4(3+27(2−36(-23=0 з раціональними коефіцієнтами. Це означає що (— алгебраїчне число.

2.5. Алгебраїчна замкнутість поля алгебраїчних чисел.

Теорему 2.9. Поле алгебраїчних чисел алгебраїчно замкнуто.

Доказ. Нехай A [x] — кільце полиномов від x над полем A алгебраїчних чисел. Нехай f = а0 + а1x+… + аnхn (а0 ,…, аn (A) — будь-який поліном позитивної ступеня з A[x]. Мусимо довести, що f має корінь в А. Оскільки f (C[x] і полі E алгебраїчно замкнуто, то f має корінь в E т. е. існує комплексне число з, що f© = 0. Нехай L= Q (а0, …, аn) і L (з) — просте алгебраїчне розширення поля L з допомогою з. Тоді Q (L (L (з) є кінцеве алгебраїчне розширення поля L. По теоремі 2.2, L є кінцеве розширення поля Q. У силу теореми 2.3 L (з) є кінцевою розширенням поля Q. Звідси, по теоремі 2.2, слід, що полі L (з) є алгебраїчним розширенням поля Q і, отже, c (A. Отже, будь-який поліном з A[x] позитивної ступеня має у A корінь, т. е. полі A алгебраїчно замкнуто.

3. Сепарабельные і несепарабельные расширения.

Нехай (— поле.

З’ясуємо де, чи може нерозкладний в ([x] багаточлен мати кратними корнями?

Щоб f (x) мав кратними корінням, багаточлени f (x) і f ((x) повинен мати загальний відмінний від константи множник, що можна обчислити вже у ([x]. Якщо багаточлен f (x) неразложим, то з якою многочленом меншою мірою f (x) неспроможна мати непостійних загальних множників, отже, повинно бути і рівність f «(x) = 0.

Поклавши n n f (x) =(a (x (f ((x) =((a (x (-1.

1 Оскільки f ((x) = Про, в нуль повинен звертатися кожен коэффициент:

(a (= 0 ((= l, 2, …, n). Що стосується характеристики нуль це означає, що a (= 0 всім ((0. Отже, непостійний багаточлен неспроможна мати кратних коренів. У разі ж характеристики p рівності (a (= 0 можливі й для ((0, але давайте тоді зобов’язані виконуватися сравнения.

((0(p). Отже, щоб багаточлен f (x) мав кратними корінням, усі його складові повинні звертатися до нуль, окрім тих a (x (, котрим ((0(p), т. е. f (x) повинен мати вид f (x) = a0+apxp+a2px2p+… Назад: якщо f (x) має тої вид, то f ((x)=0.

І тут ми можемо записати: f (x) = ((xp).

Тим самим було доведено твердження: Що стосується характеристики нуль нерозкладний в ([x] багаточлен f (x) має сенс тільки прості коріння, у разі оке характеристики p багаточлен f (x) (коли він різниться від константи) має кратні коріння тоді й тільки тоді, що його можна подати як багаточлен (від xp.

У разі може бути, що ((x) своєю чергою є многочленом від xp. Тоді f (x) є многочленом від xp2. Нехай f (x) — багаточлен від xpe f (x) = ((xpe), а не многочленом від xpe+1. Зрозуміло, багаточлен ((у) неразложим. Далі, (((у) (0, інакше ((у) мав би вид ((кр) і, отже, f (x) видавався в вигляді ((хpе+1), що суперечить припущенню. Отже, ((у) має сенс тільки прості корни.

Розкладемо багаточлен ((у) у певному розширенні основного поля на лінійні множники: m.

((y) = ((y-(i).

1 Тоді m f (x) = ((xpe -(i).

Нехай (і— який-небудь корінь багаточлена xpe -(і. Тоді xipe = (і, xpe -(і = xpe — (ipe = (x-(i) pe. Отже, (і є ре-кратным коренем багаточлена xpe -(і і m f (x) = ((x -(і) ре.

Усі коріння багаточлена f (x) мають, в такий спосіб, те ж кратність ре.

Ступінь m багаточлена (називається редуцированной ступенем багаточлена f (x) (чи кореня (і); число e називається показником багаточлена f (x) (чи кореня (і) над полем (. Між ступенем, редуцированной ступенем і показником має місце співвідношення n = m ре, де m одно числу різних коренів багаточлена f (x).

Якщо (— корінь нерозкладного в кільці ([x] багаточлена, який володіє лише простими корінням, то (називається сепарабельным елементом над (чи елементом першого роду над (1). У цьому нерозкладний багаточлен, причину якого сепарабельны, називається сепарабельным. Інакше алгебраїчний елемент (і нерозкладний багаточлен f (x) називаються несепарабельными чи елементом (відповідно, многочленом) другого роду. Нарешті, алгебраїчне розширення (, все елементи якого сепарабельны над (, називається сепарабельным над (, а будь-який інший алгебраїчне розширення називається несепарабельным.

Що стосується характеристики нуль відповідно до сказаного вище кожен нерозкладний багаточлен (тож і кожне алгебраїчне розширення) є сепарабельным. Пізніше побачимо, більшість найважливіших і залученні цікавих розширень полів сепарабельны І що існують цілі класи полів, взагалі мають несепарабельных розширень (звані «скоєні поля»). Через це надалі все пов’язане спеціально з несепарабельными розширеннями набрано дрібним шрифтом.

Розглянемо тепер алгебраїчне розширення (= (((). Коли рівень n рівняння f (x) = 0, визначального це розширення, дорівнює ступеня ((: (), скорочена ступінь m виявляється рівної числу изоморфизмов поля (в наступному сенсі: розглянемо лише изоморфизмы (((«, у яких елементи подполя (залишаються нерухомими і, отже, (перетворюється на еквівалентну полі («(изоморфизмы поля (над полем () і за яких поліобраз («лежить разом із полем (всередині деякого загального їм поля (. У умовах має місце теорема:

При підходящому виборі поля (розширення (=((() має m изоморфизмов над (і за будь-якому виборі поля (полі (неспроможна мати більш m таких изоморфизмов. Доказ. Кожен ізоморфізм над (повинен переводити елемент (в що вимагає ним елемент («з (. Виберемо (те щоб f (x) розкладався над (на лінійні множники; тоді виявиться, що елемент (має m пов’язаних елементів (,(«, … У цьому, хоч би як вибиралося полі (, елемент (це не матиме у ньому більш m пов’язаних. Зауважимо тепер, що кожен ізоморфізм ((()((((«) над (повністю визначається завданням відповідності (((«. Справді, якщо (перетворюється на («і всі елементи з (залишаються дома, то элемент.

(ak (k (ak (() повинен переходити в.

(ak ((k, а цим визначається изоморфизм.

Зокрема, якщо (— сепарабельный елемент, то m = n і, отже, число изоморфизмов над основним полем одно ступеня расширения.

Якщо є якесь фіксований полі, що містить все аналізовані поля, у якому містяться причину кожного рівняння f (x) = 0 (як, наприклад, на полі комплексних чисел), то ролі (можна назавжди і безповоротно взяти це полі, тож відкинути додавання «всередині деякого («переважають у всіх пропозиціях про изоморфизмах. Так завжди вступають у теорії числових полів. Пізніше побачимо, що у абстрактних полів можна побудувати таке полі (.

Узагальненням наведеної вище теореми служить таке утверждение:

Якщо розширення (виходить з (послідовним приєднанням m алгебраїчних елементів (1, …, (m, причому кожна з (і, — є коренем нерозкладного над (((1, …, (i-1) рівняння редуцированной ступеня n «і, то m розширення (має (ni (изоморфизмов над (і в одном.

1 розширенні немає більшої кількості таких изоморфизмов поля (.

Доказ. Для m = 1 теорема вже був доведено вище. Припустимо її справедливою належала для розширення (1 = (((1, …, (m-1): у певному підходящому розширенні m-1 (1 є рівно (ni (изоморфизмов поля (над (.

1 m-1.

Пусть (1((1— із цих (ni (изоморфизмов. Стверджується, що у підхожим чином обраному полі (може бути продовжений до ізоморфізму (= (1 ((m) ((= (((m) лише n (m способами.

Елемент (m задовольняє деякому рівнянню f1(x) = 0 над (1 з n (m різним корінням. З допомогою ізоморфізму (1((1многочлен f1(x) перекладається в певний багаточлен f1(x). Але тоді f1(x) у належному розширенні має знов-таки n (m різних коренів і більше. Нехай (m— із цих коренів. З огляду на вибору елемента (m ізоморфізм (1((1 триває до ізоморфізму (((m) ((((m) з (m ((m однією мовою і лише одною способом: справді, це продовження задається формулой.

(ck (mk ((ck (mk Оскільки вибір елемента (m може бути здійснений n «m способами, існує n «m продовжень такого сорти для обраного ізоморфізму (1((1 Позаяк у своє чергу цей ізоморфізм може бути обраний m-1.

(n «і способами,.

1 чи всього існує (у цьому полі (, у якому містяться причину всіх аналізованих рівнянь) m-1 m.

(n «i (n «m = (n «i.

1 изоморфизмов розширення (над полем (, що потрібно було доказать.

Якщо ni — повна (нередуцированная) ступінь елемента (і над (((1,…,(i- 1), то ni одно ступінь розширення (((1, …, (і) поля (((1, …, (i-1); отже, ступінь ((: () равна.

m.

(n «і .

1 Якщо порівняти їх кількість із кількістю изоморфизмов m.

(n «і .

1 вийде таке предложение:

Кількість изоморфизмов розширення (= (((1, …, (m) над ((у певній підходящому розширенні () одно ступеня ((: () тоді й тільки тоді, коли кожен елемент (і сепарабелен над полем (((1, …, (i-1). Якщо хоча б один елемент (і несепарабелен над відповідним полем, то число изоморфизмов менше ступеня расширения.

З цієї теореми відразу виходить кілька важливих наслідків. Перш всього теорема стверджує, що властивість кожного елемента (і бути сепарабельным над попереднім полем є властивість самого розширення (незалежно від вибору що породжують елементів (і. Оскільки довільний елемент (поля то, можливо взятий у ролі першого що породжує, елемент (виявляється сепарабельным, коли всі (і є корупційними. Итак:

Якщо від поля (послідовно приєднуються елементи (і, … ,(n і кожен елемент (і виявляється сепарабельным над полем, отриманим приєднанням попередніх елементів (1, (2 ,…,(i-1 то расширение.

(= (((1, … ,(n) сепарабельно над (.

Зокрема, сума, різницю, твір і приватне сепарабедьных елементів сепарабельны.

Далі, якщо (сепарабелен над (, а полі (сепарабельно над (, то елемент (сепарабелен над (. Це тим, що (задовольняє деякому рівнянню з кінцевим числом коефіцієнтів (1, … ,(m з (і, отже, сепарабелен над (((1, … ,(m). Тим самим було сепарабельно і расширение.

(((1,…, (m, ().

Нарешті, має місце таку пропозицію: числа изоморфизмов кінцевого сепарабельного розширення (над полем (одно ступінь розширення ((: ().

4. Нескінченні розширення полей.

Каждое полі виходить зі свого простого подполя з допомогою кінцевого чи нескінченного розширення. У цьому главі розглядаються нескінченні розширення полів, спочатку алгебраїчні, та був — трансцендентные.

4.1. Алгебраїчно замкнуті поля.

Серед алгебраїчних розширень заданого поля важливе значення мають, звісно, максимальні алгебраїчні розширення, т. е. такі, які допускають подальшого алгебраического розширення. Існування таких розширень доведуть у цьому параграфе.

Щоб полі (було максимальним алгебраїчним розширенням, необхідно таке умова: кожен багаточлен кільця ([x] повністю розкладається на лінійні множники. Це умова є і достатнім. Справді, якщо кожен багаточлен в ([x] розкладається на лінійні множники, усі прості багаточлени в ([x] линейны й у елемент будь-якого алгебраического розширення («поля (виявляється коренем деякого лінійного багаточлена x — a в ([x], т. е. збігаються з деяким елементом a поля (.

Тому дамо таке определение:

Поле (називається алгебраїчно замкнутим, якщо будь-який багаточлен в ([x] розкладається на лінійні множители.

Рівнозначне з цим визначення таке: полі (, алгебраїчно замкнуто, якщо кожне відмінний від константи багаточлен з ([x] володіє (хоч одним коренем, т. е. хоч одним лінійним множником в ([x].

Справді, коли таке умова виконано і довільно узятий багаточлен f (x) розкладається на неразложимые множники, усі вони мають бути линейными.

«Основна теорема алгебри» стверджує, що полі комплексних чисел алгебраїчно замкнуто. Наступним прикладом алгебраїчно замкнутого поля може бути полі всі комплексні алгебраїчних чисел, т. е. безліч тих комплексних чисел, які задовольняють якомусь рівнянню з раціональними коефіцієнтами. Комплексні коріння рівняння з алгебраїчними коефіцієнтами є у самому справі алгебраїчними як над полем алгебраїчних чисел, а й над полем раціональних чисел, т. е. самі є алгебраїчними числами.

Тут ми покажемо, як побудувати алгебраїчно замкнутий розширення довільно заданого поля P до того ж суто алгебраїчним шляхом. Штейницу належить следующая.

Основна теорема. До кожного поля P існує алгебраїчно замкнутий алгебраїчне розширення (. З точністю до еквівалентності це розширення визначено однозначно: будь-які два алгебраїчно замкнутих алгебраїчних розширення (, («поля P эквивалентны.

Доведенню цієї теореми ми повинні передувати кілька лемм:

Лема 1. Нехай (, — алгебраїчне розширення поля Р. Достатнім передумовою здобуття права (було алгебраїчно замкнутим, є розкладання на лінійні множники будь-якого багаточлена з P[x] в кільці ([x].

Доказ. Нехай f (x) — довільний багаточлен з ([x]. Якщо не розкладається на лінійні множники, можна приєднати певний його корінь (і дійти власному надполю («. Елемент (є алгебраїчним над (, а (є алгебраїчним розширенням поля P; отже, елемент (алгебраичен та контроль Р. І він є коренем деякого багаточлена g (x) з P[x]. Цей багаточлен розкладається в ([x] на лінійні множники. Отже, (—корінь деякого лінійного множника в ([x], т. е. належить полю (, що суперечить предположению.

Лема 2. Якщо полі P цілком упорядковано, то кільце багаточленів P[x] може бути упорядковано до того ж отож у цьому упорядкування полі P буде отрезком.

Доказ. Визначимо ставлення порядку між многочленами f (x) з P[x] так: нехай f (x).