Методи математичного аналізу при розв'язанні фізичних задач

ЗМІСТ Вступ.

1. Знаходження центра маси кривої за допомогою визначеного інтеграла.

2. Знаходження центра маси плоскої фігури за допомогою визначеного інтеграла.

3. Застосування подвійного інтеграла при розв’язанні задачі про масу матеріальної пластинки.

4. Застосування подвійних інтегралів до знаходження центру мас матеріальної пластинки.

5. Застосування потрійного інтегралу до обчислення мас та центрів мас тіл.

6. Знаходження маси кривої за допомогою криволінійних інтегралів першого роду.

7. Застосування поверхневих інтегралів першого роду до знаходження маси та центра маси матеріальної поверхні.

Висновки.

ВСТУП Методи математичного аналізу застосовуються в багатьох розділах математики, наприклад, в теорії диференціальних і інтегральних рівнянь, в теорії ймовірності і математичній статистиці, в теорії оптимальних процесів, а також в інших науках, зокрема, фізиці, біології, хімії, соціології тощо.

Метою даної роботи є показати різноманітність методів математичного аналізу при розв’язанні конкретної фізичної задачі, а саме, знаходження мас та центрів мас кривих, плоских фігур та поверхонь. Виявляється, що при розв’язанні саме цих задач використовується інтегральне числення функцій однієї та кількох змінних, а саме: визначений інтеграл, подвійний інтеграл, потрійний інтеграл, криволінійний інтеграл та поверхневий інтеграл.

Інтегральне числення — розділ математики, в якому вивчаються поняття інтеграла, його властивості і способи обчислень. Інтегральне числення пов’язане з диференціальним і складає разом з ним основу математичного аналізу. Витоки інтегрального числення відносяться до античного періоду розвитку математики і пов’язані з методом вичерпування, розробленим математиками Стародавньої Греції. Цей метод виник при розв’язанні задач на обчислення площ плоских фігур і поверхонь, об'ємів тіл, деяких задач статики і гідродинаміки. Він заснований на апроксимації даних об'єктів ступінчастими фігурами або тілами, складеними з простих фігур або просторових тіл (прямокутників, паралелепіпедів, циліндрів і т. п.). У цьому сенсі метод вичерпування можна розглядати як античний інтегральний метод. Найбільший розвиток метод вичерпування в стародавню епоху отримав в роботах Евдокса (4 в. до н.е.). Подальше його застосування і вдосконалення пов’язане з іменами багатьох учених XV—XVII вв. Основні поняття і теорія інтегрального і диференціального числень, перш за все зв’язок операцій диференціювання і інтегрування, а також їх застосування, до розв’язання прикладних завдань були розроблені в працях І. Ньютона і Г. Лейбніца в кінці XVII в. Істотну роль в створенні класичного математичного аналізу відіграли роботи Л. Ейлера, І. Бернуллі, Ж. Лагранжа. У XIX столітті у зв’язку з появою поняття границі інтегральне числення придбало логічно завершену форму в роботах О. Коші, Б. Рімана і ін. Подальший розвиток інтегрального числення в XIX і XX століттях отримало у зв’язку з розвитком досліджень по теорії міри.

Основними поняттями інтегрального числення є два тісно зв’язаних поняття інтеграла: невизначеного і визначеного. Узагальнення поняття певного інтеграла від функції одного змінного на випадок функції багатьох змінних приводить до поняття кратного інтеграла. Розширення практичного використання інтегрального числення зумовило введення понять криволінійного інтеграла — інтеграла по кривої, поверхневого інтеграла — інтеграла по поверхні.

математичний функція інтеграл криволінійний.

1. Знаходження центра маси кривої за допомогою визначеного інтеграла Відомо, що статичний момент матеріальної точки масою відносно деякої вісі дорівнює добутку маси на відстань точки від вісі. У випадку системи матеріальних точок з масами, що знаходяться в одній площині з віссю відповідно на відстанях від вісі, статичний момент є сумою. При цьому відстані точок, що лежать з одного боку від вісі, беруть зі знаком плюс, по різні боку — зі знаком мінус.

Якщо ж маси не зосереджені в окремих точках, а розташовані неперервно, то для знаходження статичного моменту замість суми використовують інтеграл.

Розглянемо знаходження статичного моменту відносно вісі мас, розташованих вздовж деякої плоскої кривої (рис. 1).

Припустимо, що крива однорідна, тобто її лінійна густина (маса на одиницю довжини) є постійною. Візьмемо який-небудь елемент кривої. Взявши цей елемент за матеріальну точку, що знаходиться на відстані від вісі, для її статичного моменту отримаємо вираз.

.

Додавши всі елементарні статичні моменти, причому за незалежну змінну візьмемо дугу, що починається з точки, отримаємо.

.

Аналогічно знаходиться момент відносно вісі :

.

Знаючи статичні моменти кривої, можна знайти положення її центру маси. Ця точка має ту властивість, що якщо в ній зосередити всю масу кривої, то момент цієї маси відносно будь-якої вісі співпадає з моментом кривої відносно цієї вісі. Зокрема, якщо розглянути моменти кривої відносно осей координат, то отримаємо.

.

Звідси.

.

де .

Якщо, то.

(1).

Враховуючи, що елемент довжини дорівнює, остаточно маємо де.

.

Приклад. Знайти центр маси дуги ланцюгової лінії при. Розв’язання.

Маємо:

.

.

З формул (1) для ординати центра маси отримаємо деякий геометричний наслідок. Маємо.

звідки ,.

але права частина цієї рівності є площа поверхні, що отримана при обертанні кривої, в правій частині рівності є довжиною кола, що описується центром тяжіння кривої при обертанні її навколо вісі, а — довжина кривої. Таким чином, отримана теорема Гульдіна: площа поверхні, отриманої при обертанні кривої навколо деякої вісі, що її не перетинає, дорівнює добутку довжини дуги цієї кривої і довжини кола, описаного центром маси кривої. Ця формула дозволяє встановити координату центра маси кривої, якщо відомі її довжина та площа поверхні обертання цієї кривої навколо вісі. Приклад. Користуючись теоремою Гульдіна, визначити положення центра маси дуги кола радіуса. Розв’язання. Оскільки дуга симетрична відносно радіуса, то її центр мас знаходиться на цьому радіусі, і тому потрібно знайти лише координату, або відстань від центра маси до початку координат. Виберемо вісь так, як вказано на малюнку, довжину дуги позначимо через, а її хорди через. При обертанні дуги навколо вісі отримаємо поверхню, площа поверхні якої дорівнює. Тоді за теоремою Гульдіна таж сама поверхня дорівнює, звідси.

і .

Зокрема, коли дуга є півколо, то, і .

2. Знаходження центра маси плоскої фігури за допомогою визначеного інтеграла Розглянемо плоску фігуру, обмежену зверху кривою, заданою явним рівнянням (рис. 2). Припустимо, що вздовж цієї фігури рівномірно розподілені маси, так що поверхнева густина (маса на одиницю поверхні) їх постійна. Будемо вважати, що, тобто маса довільної частини фігури вимірюється її площею.

Для знаходження статичних моментів цієї фігури відносно осей координат, виділимо який-небудь елемент фігури у вигляді нескінченно вузької вертикальної смужки. Якщо цю смужку наближено вважати прямокутником, бачимо, що її маса буде. Для визначення відповідних елементарних моментів припустимо, що вся маса смужки зосереджена в її центрі маси (тобто в центрі прямокутника), що не змінює величини статичних моментів. Отримана матеріальна точка знаходиться на відстані від вісі, та відстані від вісі. Вираз, оскільки величина помножена на масу дала б нескінченно малу вищого порядку. Маємо.

.

Додаючи всі елементарні моменти, отримаємо.

. (2).

Як і у випадку кривої, за цими статичними моментами можна визначити і координати центра маси фігури. Нехай — площа (а значить, і маса) фігури, то.

.

звідси.

.

В даному випадку також можна отримати важливий геометричний наслідок з формули для ординати центра маси. Маємо.

. (3).

Прав частина цієї рівності виражає об'єм тіла, отриманого обертанням плоскої фігури навколо вісі, ліва — добуток площі цієї фігури на довжину кола, описаного центром тяжіння цієї фігури:

.

Приклад. Знайти координати центра маси фігури, обмеженої параболою, віссю та ординатою, що відповідає абсцисі .

Розв’язання. Маємо, тоді за формулами (2).

.

.

З іншого боку, площа.

.

Тоді за формулами (3), отримаємо.

.

Можна розглянути задачу знаходження статичного моменту тіла відносно даної площини, якщо відомі площі поперечних перерізів тіла площинами, паралельними даній площині. Густину припустимо рівною 1.

Нехай маса (об'єм) елементарного слою тіла на відстані від площини є, тоді його статичний момент. Додавши, отримаємо.

.

Відстань від центра тяжіння тіла від даної площини обчислюється за формулою.

.

Зокрема, для тіла обертання.

.

Якщо застосувати цей результат до кругового конуса та до півсфери, то отримаємо, що відстань центра тяжіння від основи складає висоти та радіуса відповідно.

3. Застосування подвійного інтеграла при розв’язанні задачі про масу матеріальної пластинки Нехай маємо плоску неоднорідну матеріальну пластинку, форма якої є замкнена область. Нехай площа цієї області дорівнює (рис. 3). Припустимо, що функція визначає густину в кожній точці цієї пластинки. Треба знайти масу пластинки.

Якщо, тобто пластинка однорідна, то маса її обчислюється за формулою. Масу неоднорідної пластинки обчислити таким способом не можна. Розіб'ємо область кривими довільно на частин, , попарно без спільних внутрішніх точок так, що. Площі цих частин позначимо через,. В кожній області виберемо довільну точку, ,. Припустимо, що густина в кожній області є сталою величиною і дорівнює. Тоді величина є наближеним значенням маси тієї частини пластинки, яку займає область, а сума наближено визначає масу всієї пластинки. Очевидно, що точне значення маси заданої пластинки дістанемо, якщо в сумі перейти до границі при, де, тобто.

.

Таким чином, задачу обчислення маси неоднорідної матеріальної пластинки зведено до знаходження цієї границі. Зазначимо, що сума називається подвійною інтегральною сумою, складеною для функції в області для даного її розбиття та вибору точок. Якщо при дані інтегральні суми мають границею число, то воно є подвійним інтегралом від функції по області, тобто.

. (4).

Приклад. Знайти масу кругового кільця, якщо густина в кожній точці обернено пропорційна відстані її до центра кільця.

Розв’язання. Для знаходження відповідного подвійного інтегралу зручно перейти до полярної системи координат:,. Тоді рівняння кіл, що обмежують кільце, матимуть вигляд, а густина в кожній точці кільця є, де — коефіцієнт пропорційності. Масу кільця знайдемо за формулою (4), перейшовши до полярної системи координат:

.

Приклад. Знайти масу квадратної пластинки з і стороною, в кожній точці якої густина пропорційна квадрату її відстані від однієї з вершин квадрата.

Розв’язання. Розмістимо квадрат так, як це зображено на рисунку 4. Також покладемо, що густина пропорційна відстані від довільної точки квадрата до початку координат, тоді, де — коефіцієнт пропорційності.

За формулою (4) отримаємо, що маса квадратної пластинки дорівнює.

4. Застосування подвійних інтегралів до знаходження центру мас матеріальної пластинки Відомо, що статичний момент матеріальної точки маси відносно деякої осі дорівнює добутку маси цієї точки на відстань її від осі, тобто .

Розглянемо деяке — розбиття області, , і в кожній області довільно виберемо точку,. Припустимо, що густина в усіх точках області стала і дорівнює. Таке припущення природне, оскільки функція неперервна, а діаметри областей можна вважати досить малими. Таким чином, маса кожної з частин пластинки наближено дорівнює, де — площа області. Якщо вважати, що кожну з цих мас зосереджено в точці, то отримаємо дискретну сукупність матеріальних точок, для якої статичні моменти та відносно координатних осей визначаються за формулами.

.

Це наближені значення статичних моментів та пластинки. Точні значення цих величин дістанемо, якщо перейдемо до границі при, де, тобто.

.

.

Знаючи масу та статичні моменти, можна знайти координати та центра мас пластинки, оскільки відомо, що. Звідси.

. (5).

Якщо пластинка однорідна, тобто, то ці формули приймуть вигляд:

. (6).

Приклад. Знайти центр маси однорідної пластинки, обмеженої кривою, та віссю (рис. 5).

Розв’язання.

Використовуючи формули (6), обчислимо відповідні інтеграли.

.

Отже, за формулами (6) маємо.

.

Приклад. Визначити центр маси пластинки, обмеженої кривими, , якщо в довільній точці густина пропорційна добутку координат точки.

Розв’язання. За умовою, де — коефійієнт пропорційності. Обчислимо всі необхідні інтеграли:

Тоді за формулами (5) маємо координати центра маси даної фігури.

.

5. Застосування потрійного інтегралу до обчислення мас та центрів мас тіл Нехай маємо деяку замкнену обмежену кубовну (має об'єм) область простору з об'ємною густиною, по якій розподілено масу. Розглянемо задачу знаходження маси матеріального тіла.

Відомо, що масу однорідного матеріального тіла з густиною, де, визначають за формулою, де — об'єм тіла. Але для неоднорідного тіла масу за цією формулою обчислювати не можна.

Застосуємо метод, аналогічний тому, за допомогою якого було обчислено масу матеріальної пластинки. Для цього розіб'ємо тіло сіткою поверхонь довільним чином на частин, , попарно без спільних внутрішніх точок так, що, об'єми цих частин позначимо через,. В кожній області виберемо довільну точку, .

Припустимо, що густина в кожній області стала і дорівнює. Тоді величина є наближеним значенням маси тієї частини тіла, яка займає область, а сума.

(7).

наближено визначає масу всього тіла. Очевидно, що точне значення маси даного тіла дістанемо, якщо в сумі перейти до границі при умові, де, , тобто.

.

Таким чином, задача обчислення маси неоднорідного матеріального тіла зводиться до даної границі, яка пов’язана з поняттям потрійного інтеграла.

Сума (7) є потрійною інтегральною сумою для функції в області, складеною для заданого — розбиття області і заданого вибору точок,. Якщо при інтегральні суми (7) мають границею число, то це число і є потрійним інтегралом від функції по області :

. (8).

Цю рівність можна розглядати як механічний зміст потрійного інтеграла, коли підінтегральна функція невід'ємна в області .

Приклад. Визначити масу кулі радіуса 2, густина якої в кожній точці дорівнює відстані точки від її центра.

Розв’язання. Нехай центр кулі міститься в точці. За умовою задачі густина в кожній точці кулі визначається функцією.

.

Отже, за формулою (8) маємо.

.

При обчисленні даного потрійного інтегралу доцільно перейти до сферичної системи координат:

, .

Дістанемо, область задається системою нерівностей:

, , і.

.

Приклад. Знайти масу тіла, обмеженого параболоїдом та сферою, , якщо густина в кожній точці дорівнює сумі квадратів координат точки (рис.6).

Розв’язання. За умовою задачі густина в кожній точці визначається функцією. Тоді за формулою (8) отримаємо.

.

Проекцією даного тіла в площину є коло. Перейдемо до циліндричних координат за формулами, ,. Маємо нову область інтегрування:

, .

Аналогічно до знаходження статичних моментів та координат центру мас матеріальної пластинки, можна дістати формули для знаходження статичних моментів та центру мас матеріального тіла з густиною, де — неперервна функція в області. Маємо.

.

.

.

де статичні моменти тіла відносно площин відповідно, а координати центру мас знаходяться за формулами.

.

(9).

.

Якщо тіло однорідне, тобто, то координати центра маси визначаються так:

.

(10).

.

Приклад. Знайти центр маси однорідного тіла, обмеженого сферою та параболоїдом (рис.6).

Розв’язання. Обчислимо об'єм даного тіла. Знайдемо проекцію лінії перетину сфери та параболоїда на площину. Для цього достатньо з системи рівнянь виключити змінну. Отримаємо: або, звідки або. Тобто, рівнянням проекції буде коло. Оскільки дане тіло симетричне, обчислимо об'єм тіла, що знаходиться в першому октанті. Також можна помітити, що при обчисленні інтегралу зручно перейти до циліндричних координат за формулами, ,. Отримаємо рівняння кола, параболоїда та сфери відповідно приймуть вигляд:, ,, а в області інтегрування.

,. Тому Оскільки дане тіло симетричне відносно вісі та однорідне, то його центр мас знаходиться на вісі, значить,. Залишається знайти лише за формулами (8). Обчислимо відповідний також перейшовши до циліндричних координат:

Звідси,.

.

Таким чином, центр мас даного тіла знаходиться в точці .

Приклад. Визначити центр маси кульового шару, вміщеного між сферою та площинами (рис.7).

Розв’язання. Проекцією даного тіла на площину є коло. Тому при обчисленні відповідних інтегралів доречно перейти до цидіндричних кординат. Тоді область інтегрування описується системою нерівностей, ,. Оскільки тіло однорідне, то для обчислення центру застосуємо формули (10). Зауважимо, що тіло симетричне відносно вісі, тому центр маси його знаходиться на вісі і. Маємо.

.

.

Тобто.

і .

Приклад. Розглянути тіло, отримане при обертанні плоскої фігури навколо вісі, яка її не перетинає. Знайти його об'єм та центр маси.

Розв’язання. Візьмемо спочатку елементарне кільце, що описане елементом фігури, його об'єм можна вважати рівним об'єму циліндра висотою з основою, так що.

.

.

де — статичний момент даної фігури відносно вісі, а — відстань центра маси фігури від цієї вісі. Таким чином, отримали теорему Гульдіна, але для фігури, обмеженої довільним контуром.

Статичний момент елементарного вказаного кільця відносн6о площини дорівнює.

.

звідси.

.

Тому координата центра маси даного тіла дорівнює.

Якщо розглянути частинний випадок цієї формули, коли фігура є прямокутним трикутником (рис. 8).

Врахувавши позначення на рисунку 8, отримаємо.

(оскільки положення центра тяжіння трикутника відомо). Враховуючи, що рівняння гіпотенузи трикутника, знайдемо і.

.

Звідси, враховуючи отриману формулу для обчислення координати центра маси, отримаємо.

.

Цікаво відмітити, що ця координата відмінна від координати центра маси самого трикутника.

6. Знаходження маси кривої за допомогою криволінійних інтегралів першого роду Нехай на площині задана неперервна спрямна крива (рис. 9), вздовж якої розташовані маси, причому відома їх лінійна густина в усіх точках кривої. Розглянемо задачу знаходження маси всієї кривої .

Розіб'ємо криву довільним чином точками. На кожній дузі кривої довільним чином виберемо точку та обчислимо густину в цій точці. Будемо наближено вважати густину однаковою в усіх точках цієї ділянки. Позначивши довжину дуги через, для маси цієї дуги будемо мати наближене значення.

.

а для всієї шуканої маси — вираз.

.

Похибка останнього припущення буде прямувати до нуля, якщо довжини всіх ділянок прямують до нуля. Таким чином, позначивши через найбільшу з довжин, перейдемо до границі:

.

Таким чином, отримана інтегральна сума для функції по кривій. Якщо при прямуванні до нуля ця інтегральна сума має деяку скінченну границю, що не залежить ні від способу розбиття кривої, ні від вибору точок на ділянках, то вона є криволінійним інтегралом першого роду від функції, що береться по кривій або по шляху, тобто.

.

де — довжина дуги кривої, — елементарні довжини.

Таким чином, маємо вираз для знаходження маси матеріальної кривої:

.

Аналогічно даному випадку, можна розглянути задачу знаходження маси просторової кривої :

. (11).

Приклад. Знайти масу частини кривої між точками та, якщо лінійна густина кривої в кожній точці дорівнює квадрату абсциси точки.

Розв’язання. Маємо, тоді за вище зазначеною формулою (11) знаходження маси кривої отримаємо.

.

Але.

тоді.

Приклад. Знайти масу дуги кривої, ,, лінійна густина якої змінюється за законом .

Розв’язання.

Приклад. Знайти масу ділянки ланцюгової ліній між точками та, якщо густина кривої в кожній її точці обернено пропорційна ординаті точки.

Розв’язання. За умовою задачі густина. Маємо.

. Тоді.

.

Якщо використовувати введене поняття криволінійного інтеграла, то можна отримати формули знаходження статичних моментів та координат центра тяжіння плоскої кривої у вигляді:

.

.

Приклад. Знайти кординати центра маси дуги циклоїди, , .

Розв’язання. Якщо крива однорідна, то формули для обчислення центра маси приймуть вигляд:

.

Маємо:

.

Тоді.

.

.

7. Застосування поверхневих інтегралів першого роду до знаходження маси та центра маси матеріальної поверхні.

Нехай задана деяка неоднорідна гладка (або кусково-гладка) матеріальна поверхня, на якій розподілено масу з лінійною густиною. Знайдемо масу цієї матеріальної поверхні.

Нагадаємо, якщо поверхня однорідна, то поверхневою густиною маси називається відношення маси поверхні до її площі. Якщо поверхня неоднорідна, то поверхневою густиною маси в довільній точці називається границя (за умови її існування) відношення маси тієї частини поверхні, яка містить точку, до її площі за умови, що площа цієї частини прямує до нуля.

Розглянемо деякерозбиття поверхні сіткою довільно проведених кусково-гладких кривих на частин, , без спільних внутрішніх точок. Площу кожної з цих частин позначимо через, а через,. Також в кожній частині довільним чином виберемо точку і складемо суму.

.

яку називають інтегральною сумою для функції при заданому — розбитті поверхні і заданому виборі точок, .

Цю суму можна розглядати як наближене значення маси поверхні. Якщо, то перейшовши до границі, отримаємо шукане значення маси поверхні. Таким чином, обчислення маси неоднорідної матеріальної поверхні зводиться до обчислення границі, з якою пов’язане поняття поверхневого інтегралу першого роду, тобто.

.

Аналогічно можна отримати формули для знаходження координат центру маси, а саме:

, .

У випадку однорідної поверхні ці формули приймають вигляд.

, .

Приклад. Знайти масу та центр маси однорідного тіла, обмеженого параболоїдом і площиною (рис. 10).

Розв’язання. Для обчислення поверхневих інтегралів знаходимо.

, .

Проекцією поверхні на площину є круг. Отже, Обчислимо центри маси даного тіла. Оскільки це тіло симетричне, то. Для знаходження обчислимо поверхневий інтеграл Остаточно маємо.

.

Приклад. Знайти координати центра маси частини площини, обмеженої площинами, .

Розв’язання. Знайдемо площу вказаної частини площини. Маємо.

.

Тоді.

.

.

(тут використали рівняння площини).

Висновки В цій курсовій роботі показано застосування методів математичного аналізу при розв’язуванні задач фізичного змісту, а саме, знаходження мас та центрів мас кривих, фігур та просторових тіл. Як бачимо при розв’язанні цих задач широко застосовується апарат інтегрального числення функцй однієї та багатьох змінних: визначений інтеграл, подвійний інтеграл, потрійний інтеграл, криволінійні інтеграли першого роду, а також поверхзневі інтеграли першого роду. В роботі наведено багато прикладів знаходження мас та центрів мас різних об'єктів. Також паралельно встановлювався зв’язок між інтегральним численням та деякими класичними теоремами (теореми Гульдіна). Робота має теоретичний та практичний характер, тому може бути використана при розгляді відповідних питань на практичних заняттях з математичного аналізу.