Структура статистики об'єктів нечисловой природы

СТРУКТУРА СТАТИСТИКИ ОБ'ЄКТІВ НЕЧИСЛОВОЙ ПРИРОДЫ.

Розглядається структура основного і розробити АРМ «МАТЭК «напрями науково-практичних досліджень, відомого під назвою «статистика об'єктів нечисловой природи » .

Запровадження

Термін «статистика об'єктів нечисловой природи «вперше виник 1979 р. у монографії [1]. У тому ж року у статті [2] сформулювали програму розвитку цього напряму прикладної математичної статистики, що до 1985 р. переважно реалізували (див. огляди [3−5]).

Статистика об'єктів нечисловой природи самостійна наукова дисципліна було виділено у СРСР. У 80-ті роки істотно зріс інтерес до цій тематиці і в зарубіжним дослідникам. Це у фінансових звітах [6−7] про Першому Всесвітньому Конгресі Товариства математичної статисти та теорії ймовірностей їм. Бернуллі, що відбулося вересні 1986 р. у Ташкенті навчається. Статистика об'єктів нечисловой природи використовується в нормативно-технічної й методичною документації (ГОСТ 24 660−81 та інші стандарти по статистичному приймальному контролю по альтернативного ознакою, рекомендації [8] та інших.). Його застосування дозволяє їм отримати суттєвий техніко-економічний ефект (див. наприклад, зведення [9]).

Проте тематика статистики об'єктів нечисловой природи обговорювалася досі переважно колу розвивають її фахівців, внаслідок вона недостатньо відбито у монографічної літературі. Мета справжнього пункту звіту — дати введення у статистику об'єктів нечисловой природи, виділити її структуру, вказати основні ідеї, результати і публикации.

Об'єктами нечисловой природи (див. також пункти 2. 3 і 2. 4 справжнього звіту) називають елементи просторів, не є лінійними. Прикладами є бінарні відносини (ранжировки, розбивки, толерантності [10]), безлічі, послідовності символів (тексти). Об'єкти нечисловой природи не можна складати і множити на числа, не втрачаючи у своїй змістовного сенсу. Цим вони відрізняються здавна які у прикладної статистики (як елементи вибірок) чисел, векторів і функций.

Прикладну статистику з вигляду статистичних даних заведено поділяти [4, 8] ми такі направления:

статистика випадкових величин (одномірна статистика);

багатомірний статистичний анализ;

статистика часових рядів і випадкових процесів; статистика об'єктів нечисловой природы.

Під час створення теорії ймовірностей і математичної статистики історично першими було розглянуто об'єкти нечисловой природи — білі і чорні кулі в урні. За підсумками відповідних ймовірнісних моделей ввели биномиальное, гипергеометрическое та інші розподілу, отримані теореми Муавра-Лапласа, Пуассона та інших. Сучасне розвиток тематики привело, зокрема, до створення теорії статистичного контролю якості продукції з альтернативного ознакою (придатний — не придатний) на роботах А. М. Колмогорова [11], Б. У. Гнєденко [12], Ю. До. Бєляєва [13], Я. П. Лумельского [14] і багатьох других.

У сімдесятих років у зв’язки Польщі з запитами практики дуже посилився інтерес до статистичному аналізу нечисловых даних. Московська група, організована Ю. М. Тюриным й іншими спеціалістами навколо семінару «Математичні методи в експертних оцінок », розвивала переважно імовірнісного статистику нечисловых даних [15]. Було встановлено різні зв’язки між різними видами об'єктів нечисловой природи й вивчені властивості цих об'єктів. Московської групою випущені, зокрема, збірники [16 — 22] і огляди [23, 24]. Хоча у назвах багатьох із цих видань стоять слова «в експертних оцінках », аналіз змісту збірок показує, що переважна більшість статей присвячена математико-статистичним питанням, а чи не проблемам проведення експертиз. Часто вживання зазначених слів відбиває тільки одне із імпульсів, стимулюючих розвиток статистики об'єктів нечисловой природи й що йдуть запитів практики. У цьому слід наголосити, що отримане результати можуть і мають активно використовуватися теоретично та практиці експертні оцінки, особливо розробки АРМ «МАТЭК » .

Новосибірська група (Б. Р. Миркин [25−28], Р. З. Лобов [29] та інших.), зазвичай, втратила імовірнісні моделі, т. е. вела дослідження, у рамках аналізу даних (тому, як термін роз’яснюється на роботах [4, 8]). У середовищі московської групі у межах аналізу даних також велися роботи, зокрема, Б. Р. Литваком [30]. Дослідження з статистиці об'єктів нечисловой природи виконувалися й у Ленінграді, Єревані, Києві, Таллінні, Тарту, Красноярську, Мінську, Дніпропетровську, Владивостоці, Калініну та інших центрах, окремі будуть згадані нижче (див. також матеріали конференцій з аналізу нечисловых даних [31, 32]).

. Внутрішнє розподіл статистики об'єктів нечисловой природы.

Усередині аналізованого напрями прикладної статистики виділимо такі области:

1. Статистика конкретних видів об'єктів нечисловой природы;

2. Статистика у просторі загальної (довільній) природы;

3. Застосування ідей, підходів і результатів статистики об'єктів нечисловой природи в класичних областях прикладної статистики.

Єдність оскільки він розглядався напрямку надає передусім друга складова, що дозволяє з єдиною погляду підходитимемо статистичним завданням описи даних, оцінювання, перевірки гіпотез під час розгляду вибірки, елементи якої мають той чи інший конкретну природу. Усередині першого складника розглянемо [33]:

1. 1) теорію измерений;

1. 2) статистику бінарних отношений;

1. 3) теорію люсианов (бернуллиевских векторов);

1. 4) статистику випадкових множеств;

1. 5) статистику нечітких множеств;

1. 6) багатомірне шкалирование;

1. 7) аксіоматичне запровадження метрик.

Перелічені розділи тісно пов’язані одне з одним, як продемонстровано, зокрема, на роботах [1, 4, 24]. Поза цього переліку залишилися роботи з добре розвиненим класичним областям — статистичному контролю [11−14], таблицям пов’язаності [34], і навіть по аналізу текстів [35, 36] та інших [25−29]. Отже, розглянемо постановки 1970;90 рр. вероятностной статистики об'єктів нечисловой природы.

. Статистика у просторі загальної природы.

Нехай -елементи простору , яка є лінійним. Як визначити середнє для ? Бо не можна складати елементи , порівнювати їх за величині, то необхідні підходи, принципово нові проти класичними. Діяльність [37] запропоновано використовувати показник відмінності (змістовний сенс: що більше , то більше вписувалося різняться і ) і безпомилково визначати середнє як вирішення екстремальній задачи.

. (1).

Таким чином — це сукупність всіх , котрим функция.

.

достигает мінімуму на .

Для класичного випадку при маємо: , а при среднее збігаються з вибіркової медианой (при непарному обсязі вибірки; а при парному — є відрізком з кінцями у двох середніх елементах варіаційного ряда).

Для низки конкретних об'єктів середнє як вирішення екстремальній завдання вводилося поруч авторів. У 1929 р. Джині і Гальвани [38] застосували такий для усереднення точок на площини і у просторі (див. також [39]). Кемени [40−42] вирішення завдання (1) називав медианой чи середнім для вибірки, що з ранжировок. При моделюванні лісових пожеж, відповідно до вираженню (1), було запроваджено «среднеуклоняемое безліч «[43]. Загальне визначення середнього (1) розглянуто нами на роботах [2, 37].

Основний результат, пов’язаний із середніми (1) — аналог закону великих чисел. Нехай.  — незалежні однаково розподілені випадкові елементи зі значеннями у просторі загальної природи (визначення тут і далі - відповідно до Математичної Енциклопедії [44]). Теоретичним середнім, чи математичним очікуванням, назвемо [37].

. (3).

Закон великих чисел полягає у збіжності. до . при . Оскільки і емпіричне, і теоретичне середні - безлічі, то поняття збіжності вимагає уточнения.

Один із можливих уточнень таке [46]: для функции.

(4).

введем поняття «-п'яти «(>0).

. (5).

Очевидно, -п'ятка  — це околиця (коли він досягається), задана в термінах минимизируемой функції. Тим самим було знімається питання про вибір метрики у просторі (пізніше така ідея було використано у роботі [45]). Тоді при певних умов регулярності для любого>0 ймовірність события.

(6).

стремится до 1 при. , т. е. справедливий закон великих чисел [46].

Природний узагальнення аналізованої завдання дозволяє побудувати загальну теорію оптимізаційного підходу в статистиці. Як відомо [47], більшість завдань прикладної статистики то, можливо представлено як оптимізаційних. Як ведуть рішення екстремальних завдань? Приватні випадки цієї постановки: як поводяться у разі зростання обсягу вибірки оцінки максимального правдоподібності, мінімального контрасту (зокрема робастные себто Тьюки-Хьюбера [1, 48−50]), оцінки навантажень в факторном аналізі та методі головних компонент за відсутності нормальності, оцінки методу найменших модулів в регресії [51] тощо. д.

Зазвичай легко встановлюється, що з деяких просторів і послідовності випадкових функцій. при. знайдеться функція така, что.

(7).

для будь-якого (відповідність по ймовірності). Потрібна вивести звідси, что.

, (8).

т. е. рішення екстремальних завдань також сходяться. Поняття збіжності у відсотковому співвідношенні (8) уточнюється з допомогою -п'ять, як це зроблено вище для закону великих чисел. Умови регулярності, при яких справедливо граничне співвідношення (8), наведені у дослідженні [46]; застосування, зокрема, до методу головних компонент, розглянуті у роботі [4]. Зазначимо, що довгоочікуваний Закон великих чисел дозволив встановити стійкість медіани Кемени і Польщу вивчити її поведінка зі збільшенням обсягу вибірки [1]. Починаючи з класичної статті Вальда [52], різні постановки, пов’язані з рішеннями екстремальних статистичних завдань, вивчалися багатьма авторами (див., наприклад, [53−55]). Одною з найбільш загальних постановок розглянута у роботі [46]. Застосування до теорії класифікації розглянув До. А. Пярна [119].

Як оцінити розподіл випадкового елемента у просторі загальної природи? Оскільки поняття функції розподілу незастосовно, природно використовувати непараметричні оцінки щільності, т. е. функції. . такий, що з будь-якого вимірного безлічі .

, (9).

где. — деяка міра в . Ряд непараметрических оцінок щільності було запропоновано і вивчений у роботі [56]. Наприклад, аналогом ядерних оцінок Парзена-Розенблатта [57, 58] є оценка.

, (10).

где  — показник відмінності;  — ядерна функція;  — послідовність позитивних чисел;  — нормирующий множник. Виявилося, що статистики типу (10) мають так само властивостями, по крайнього заходу при фіксованому , що її класичні аналоги при . Деякі зміни необхідні під час розгляду дискретних , якими є багато простору конкретних об'єктів нечисловой природи (див. звідси п. 2. 6).

З допомогою непараметрических оцінок щільності можна розвивати регресійний аналіз, дискриминантный аналіз стану та інші напрями у просторах загальної природи ([1−5], [59]).

Для перевірки гіпотез згоди, однорідності, незалежності просторах загальної природи може бути використані статистики інтегрального типа.

, (11).

где -послідовність випадкових функцій на ;  — послідовність випадкових розподілів (чи зарядів). Зазвичай при сходиться з розподілу до деякою випадкової функції , а  — до розподілу . Тоді розподіл статистики інтегрального типу (11) сходиться до розподілу випадкового элемента.

. (12).

Умови, у яких це справедливо, дано у роботі [60]. (Хоча їх сформульовано для конечномерного випадку, перехід у простору загальної природи технічно нескладне принципових труднощів.) Приклад застосування — висновок граничного розподілу статистики типу омега-квадрат для перевірки симетрії розподілу [61] (див. також [1, гол. 2]).

Перейдемо до статистики конкретних видів об'єктів нечисловой природы.

2. 5. 4. Теорія измерений.

Мета теорії вимірів — боротьби з суб'єктивізмом дослідника при приписуванні про чисельні значень реальним об'єктах. Так, відстані можна вимірювати в метрах, микронах, миль, парсеках та інших одиницях виміру. Вибір одиниць виміру залежить від дослідника, т. е. суб'єктивний. Статистичні висновки можуть адекватні реальності тільки тоді ми, коли залежить від того, яку саме одиницю виміру віддасть перевагу дослідник, т. е. що вони инвариантны щодо припустимого перетворення шкалы.

Теорія вимірів відома СРСР вже близько 30 перекладів [62, 63]. З 70-х років активно працюють вітчизняні дослідники (див. огляд в [1, гол. 3]). Нині виклад основ теорії вимірів беруть у довідкові видання [47], вміщують у науково-популярні журнали [64] й видаються книжки для дітей [65]. Але вона ще стала загальновідомою серед фахівців, зокрема, серед метрологів. Тому опишемо одне з завдань теорії измерений.

Відповідно до [1, 62, 63], шкала задається групою допустимих перетворень (прямий у собі). Номінальна шкала (шкала найменувань) задається групою всіх взаимнооднозначных перетворень, шкала порядку — групою всіх суворо зростаючих перетворень. Це — шкали якісних ознак [27]. Група лінійних зростаючих перетворень , задає шкалу інтервалів. Група , визначає шкалу відносин. Нарешті, група, що складається з одного тотожний образу перетворення, описує абсолютну шкалу. Це — шкали кількісних ознак. Використовують та інших шкалы.

Розглянемо завдання порівняння середніх значень обох сукупностей однакового обсягу і . Нехай середнє обчислюється з допомогою функції Если.

, (13).

то необхідно, чтобы.

.

для будь-якого припустимого перетворення з яка задає шкалу групи Ф. (У іншому разі результат порівняння залежатиме від цього, який із еквівалентних уявлень шкали вибрав исследователь.).

Вимога равносильности (13) і (14) разом із деякими умовами регулярності призводять до того, що у порядковой шкалою як середніх можна використовувати тільки членів варіаційного низки, зокрема, медіану, але не можна використовувати середнє геометричне, середнє арифметичне, тощо. буд. [66]. У кількісних шкалах ця потреба виділяє окремо від всіх узагальнених середніх по А. М. Колмогорову [67]:

у шкалі інтервалів — лише середнє арифметичне, у шкалі відносин — статечні середні [68].

Крім середніх, аналогічні завдання розглянуті для відстаней [69, 70] та дійових заходів зв’язку випадкових ознак [71, 1].

Наведені результати про середніх величинах [1, 68] Я. Еге. Камінь застосував в АСУ ТП доменних печей ]120]. Л. Д. Мешалкин виступив із критикою вимоги равносильности умов (13) і (14) і навіть запропонував власну постановку [72].

Велике прикладне значення теорії до завданнях стандартизації, та управління [9], зокрема, в кваліметрії [73]. Так, У. У. Подиновский показав, що зміна коефіцієнтів вагомості одиничних показників якості продукції призводить до зміни упорядкування виробів по средневзвешенному показнику [74]. М. У. Хованов розвинув жодну з можливих теорій шкал виміру якості [75].

Теорія вимірів корисна та інших прикладних областях [76, 77].

2. 5. 5. Статистика бінарних отношений.

Поцінування центру розподілу проводять звичайно з допомогою медіани Кемени [42, 24]. Спроможність випливає з закону великих чисел [1]. Обчислювальні процедури перебування медіани Кемени обговорюються у роботі [30].

Методи перевірки гіпотез розвинені окремо кожної різновиду бінарних відносин. У сфері статистики ранжировок, чи ранговій кореляції, класичної є книга Кендалла [78]. Сучасні досягнення відбито у статті Ю. М. Тюрина і Д. З. Шмерлинга [79]. Статистика випадкових разбиений розвинена А. У. Маамяги [80]. Статистика випадкових толерантностей (рефлексивних симетричних відносин) викладена у роботі [1]. Багато неї покладено є приватними випадками завдань теорії люсианов.

2. 5. 6. Теорія люсианов (бернуллиевских векторов).

Люсиан (бернуллиевский вектор) — це послідовність випробувань Бернуллі з, власне кажучи, різними імовірностями успіху [81, з. 232]. Реалізація люсиана (бернуллиевского вектора) — це послідовністю 0 і одну. Діяльність [1] люсианы (бернуллиевские вектора) розглядалися як випадкові безлічі з незалежними елементами, а дослідженні [82] - як результати незалежних парних порівнянь. Послідовність результатів контролю за якістю одиниць продукції з альтернативного ознакою — також реалізація люсиана (бернуллиевского вектора). Випадкова толерантність то, можливо записана як люсиана. Оскільки і той ж об'єкт застосовується у різних галузях, природно щодо його найменування застосовувати спеціально запроваджений термін «бернуллиевский вектор ». Використовується також термін «люсиан «[2].

У теорії вивчають методи перевірки узгодженості (однаковою распределенности), однорідності двох вибірок, незалежності люсианов. Вивчення з завдань в асимптотике А. М. Колмогорова розпочато роботах [1, 82, 83] і продовжене Р. У. Рыдановой [117], Т. М. Дылько [84], Р. У. Раушенбахом й О. А. Заславским [85]. Є ще й огляд [33].

Методи перевірки зазначених гіпотез націлені на ситуацію, коли кількість бернуллиевских векторів фіксоване, які довжина зростає. У цьому число невідомих параметрів зростає пропорційно обсягу даних, т. е. теорія побудовано асимптотике постійно зростаючої кількості параметрів. Раніше ця асимптотика під назвою асимптотики А. М. Колмогорова використовувалася в дискриминантном аналізі, але там застосовувалися це зовсім інші методи [86].

Непараметрическая теорія парних порівнянь (в припущенні незалежності результатів окремих порівнянь) — частина теорії бернуллиевских векторів [82]. Параметрическая теорія пов’язана переважно з намаганнями висловити ймовірності тієї чи іншої результату через значення гіпотетичних чи реальних параметрів порівнюваних об'єктів [87]. Відомі моделі Терстоуна, Бредли-Терри-Льюса та інших. [88]. У побудований низку інших моделей парних порівнянь [89, 4]. Істотні результати у цій галузі належать Д. З. Шмерлингу [90]. Є моделі парних порівнянь із трьома наслідками (більше, менше, нерозрізнено), моделі залежних порівнянь, порівнянь кількох об'єктів (зближуючі аналізовану область з теорією випадкових ранжировок) тощо. буд. [4, 90, 91].

Статистика випадкових і нечітких множеств.

Давню історію має статистика випадкових геометричних об'єктів (відрізків, трикутників, кіл тощо. буд.) [92]. Як зазначено у монографії [93], сучасна теорія випадкових множин склалася «щодо пористих середовищ та складної природи в областях, як металоїд, петрографія, біологія ». Різні напрями всередині цієї теорії розглянуті у роботі [1, гол. 4]. Зупинимося на двух.

Випадкові безлічі, які у евклідовому просторі, можна складати: сума множеств і — - воно всіх векторів , де , . М. М. Ляшенко отримав аналоги законів великих чисел, центральної граничною теореми, низки методів прикладної статистики, систематично використовуючи подібні суми [94].

Для статистики об'єктів нечисловой природи цікавіше підмножини просторів, які є лінійними. Діяльність [1] розглянуті деякі завдання теорії кінцевих випадкових множин. Ряд цікавих результатів отримав З. А. Ковязин [95], зокрема, він довів гіпотезу [37] про справедливість закону великих чисел під час використання відстані між множествами.

, (15).

где.  — деяка міра;.  — знак симетричної різниці. Прикладники також робить спроби розвивати статистику випадкових множин [43, 96].

З теорією випадкових множин міцно пов’язана теорія нечітких множин, започаткована ще належить статтею Л. А. Заді [97]. Цей новий напрям прикладної математики одержало бурхливий розвиток — на сьогодні число публікацій вимірюється десятками тисяч, є міжнародні журнали, постійно проводяться конференції, практичне використання дали суттєвий техніко-економічний ефект [98, 118]. При викладі теорії нечітких множин [99−101] звичайно підкреслюється зв’язку з ймовірнісними моделями. Встановлено [1], що теорія нечіткості у певному сенсі зводиться до теорії випадкових множин, хоча це зв’язок і має лише теоретичне значення. Загальне введення у прикладні питання теорії нечіткості дано у роботі [102].

З погляду статистики об'єктів нечисловой природи нечіткі безлічі - лише з видів об'єктів нечисловой природи. Тому до них застосовна загальна теорія у просторі довільній природи [103]. Є роботи, у яких спільно використовуються міркування ймовірності та нечіткості [104, 105].

2. 5. 8. Багатомірне шкалирование і аксіоматичне запровадження метрик.

Багатомірне шкалирование має своєю метою уявлення об'єктів точками у просторі невеличкий розмірності (1−3) з максимально можливим збереженням відстаней між точками [24, 106]. Оригінальні підходи розроблено, зокрема, У. Про. Мазуром й О. Ю. Юровским [107], У. Т. Перекрестом [108]. Спроможність однієї оцінки розмірності шуканого простору встановлена у роботі [4].

З сказаного вище ясно, яке велике останнє місце посідають в статистиці об'єктів нечисловой природи метрики (відстані). Як кажуть їхні вибрати? У працях [41, 42] запропоновано виводити вид метрик з деяких систем аксіом. Аксіоматично отримана метрика у просторі ранжировок, яка виявилася лінійно що з коефіцієнтом ранговій кореляції Кендалла [42]. Метрика (15) у просторі множин отримана в роботі [1, § 4. 3] також з деякою системи аксіом. Р. У. Раушенбахом [109] дана зведення по аксиоматическому підходу до впровадження метрик у просторі нечисловой природи. На цей час практично кожної яка у додатках метрики вдалося підібрати систему аксіом, з якої суто математичними засобами можна вивести саме цю метрику.

Застосування статистики объектов.

нечисловой природы.

Ідеї, підходи, результати статистики об'єктів нечисловой природи виявилися корисними й у класичних областях прикладної статистики. Статистика у просторі загальної природи дозволила з єдиних позицій розглянути всю прикладну статистику [8], зокрема, показати, що регресионный, дисперсионный і дискриминантный аналізи є приватними випадками загальної схеми регресійного аналізу, у просторі довільній природи [110]. Оскільки структура моделі - об'єкт нечисловой природи, що його оцінювання, зокрема, оцінювання ступеня полинома в регресії, також належить до статистики об'єктів нечисловой природи (див. наприклад, [111, 112]). Коли ж врахувати, що результати виміру мають похибка, т. е. є не числами, а нечіткими множинами, то дійшли необхідності переглянути деякі висновки теоретичної статистики [113]. Наприклад, відсутня спроможність оцінок, недоцільно збільшувати обсяг вибірок понад деякого предела.

Техніко-економічна ефективність від використання методів статистики об'єктів нечисловой природи досить висока. Тільки 5 робіт із упровадження методів статистики об'єктів нечисловой природи дали 1 млн. 352 тис. крб. на рік [114] (за цінами середини1980;х років; оскільки у 30 червня 1996 р. індекс інфляції становить приблизно 12 000, то сучасних цінах цей ефект оцінюється як 16, 2 мільярда руб.).

Так, методи «узгодженого з перетвореннями усредняющего стискування даних », засновані на теорії середніх величин, узгоджених зі шкалами вимірів [1, 66, 68], впроваджено у АСУ ТП доменної печі N5 Череповецкого металургійного комбінату з економічним ефектом 33 тис. крб. [120]. Застосування однієї з методів статистики об'єктів нечисловой природи — якісного факторного аналізу матриць зв’язку — при оптимізації гами агрофизических приладів, які вироблялися НВО «Агроприбор », дало економічний ефект 850 тис. крб. [115]. Використання статистиці бінарних відносин на формування класифікатора основних показників якості праці в цементних заводах принесло 88, 5 тис. крб. [116].

Як приклад розглянемо завдання діагностики (говорячи по-іншому — розпізнавання з учителем, дискримінації) в просторі різнотипних ознак. Класичні непараметричні методи діагностики, засновані на ядерних оцінках щільності, лише у разі, коли всі ознаки — кількісні. Багато практичних ситуаціях частина ознак приймає дискретні значення. Ми рекомендуємо застосовувати методи, засновані на непараметрических оцінках (10) щільності у просторі загальної природи. Запровадження відстані між точками у просторі різнотипних ознак, необхідне застосування цієї рекомендації, можна, наприклад, шляхом підсумовування відстаней між значеннями окремих ознак. Проведені у Інституті медицини праці РАМН розрахунки (1989 -1990 рр.) показали перевагу описаного алгоритму над раніше известными.

1.Орлов А.І. Стійкість в соціально-економічних моделях.-М.Наука, 1979.-296 с.

2.Орлов А.І. Експертні оцінки / Питання кібернетики. Вып.58.-М.: Науковий Рада СРСР з комплексної проблемі «Кібернетика », 1979.С.17−33.

3.Орлов А.І. / Тези доповідей Четвертої міжнародної Вільнюської конференції з теорії ймовірностей і математичної статистиці: Том 2.-Вильнюс, Вільнюський держуніверситет, 1985.С.278−280.

4.Орлов А.І. / Аналіз нечисловой інформацією соціологічних исследованиях.-М.Наука, 1985.С.58−92.

5.Орлов А.І. / Статистика. Можливість. Экономика.-М.Наука, 1985. С.99−107.

6.Орлов А.І. / Заводська лабораторія. 1987.Т.58. N3.С.90−91.

7.Орлов А.І. /Надійність контроль якості. 1987. N6.С.54−59.

8.Рекомендации. Прикладна статистика. Методи обробки даних. Найвища вимога і характеристики.- М.:ВНИИС, 1987.-64 с.

9.Кривцов В. С., Фомін В.М., Орлов А.І. / Стандарти і якість. 1988. N3.С.32−36.

11.Колмогоров О. Н. Статистичний приймальний контроль при допустимому числі дефектних виробів, рівному нулю. — Л.: ДНТП, 1951. — 22 з.

12. Гнєденко Б. В. Математика контроль якості продукції.- М.: Знання, 1978. — 64 з.

13. Бєляєв Ю.К. Імовірнісні методи вибіркового контроля.-М.: Наука, 1975. — 408 с.

14. Лумельский Я. П. Статистичні оцінки результатів контролю за якістю. — М.: Вид-во стандартів, 1979. — 200 з.

15. Орлов А.І. Сучасні проблеми кібернетики: Прикладна статистика. — М.: Знання, 1981. з 3−14.

16. Статистичні методи аналізу експертні оцінки / Вчені записки за статистикою, т. 29, -М.: Наука, 1977;384 з. 17.

17.Экспертные оцінки на системних дослідженнях / Збірник праць. — Вип. 4. — М.: ВНИИСИ, 1970 — 120 з.

18. Експертні оцінки / Питання кібернетики. — Вип. 58. — М.: Науковий Рада АН СРСР з комплексної проблемі / «Кібернетика ». 1979. — 200 с.