Закони Кеплера

Законы Кеплера.

Три закони руху планет щодо Сонця вивели емпірично німецьким астрономом Йоганном Кеплером на початку XVII століття. Це уможливилося завдяки багаторічним спостереженням датського астронома Тихо Бразі.

Первый закон Кеплера. Кожна планета рухається по еліпсу, у одному з фокусів якої перебуває Солнце.

Второй закон Кеплера (закон рівних площ). Радиус-вектор планети за рівні інтервали часу описує рівновеликі площі. Інша формулювання цього закону: секториальная швидкість планети постійна.

Третий закон Кеплера. Квадрати періодів звернень планет навколо Сонця пропорційні кубам великих полуосей їх еліптичних орбіт.

Современная формулювання першого закону доповнена так: в невозмущенном русі орбіта рушійної тіла є крива другого порядку — еліпс, парабола чи гіпербола. На відміну від двох перших, третій закон Кеплера застосуємо лише у эллиптическим орбітам. Швидкість руху планети в перигелії: де vc — середня чи кругова швидкість планети при r = a. Швидкість руху на афелії: Кеплер відкрив свої умови емпіричним шляхом. Ньютон вивів закони Кеплера на закон всесвітнього тяжіння. Для визначення мас небесних тіл важливе значення має узагальнення Ньютоном третього закону Кеплера на будь-які системи обертаються тіл.

.

Третий закон Кеплера. Швидкості близьких до Сонцю планет значно більше, ніж швидкості далеких. Пояснення до малюнку справа — Швидкості близьких до Сонцю планет значно більше, ніж швидкості далеких. У узагальненому вигляді цього закону зазвичай формулюється так: квадрати періодів T1 і T2 звернення двох тіл навколо Сонця, помножені у сумі мас кожного тіла (відповідно M1 і M2) і Сонця (М), ставляться як куби великих полуосей a1 і a2 їх орбіт: У цьому взаємодія між тілами M1 і M2 до уваги береться. Якщо знехтувати масами цих тіл тоді як масою Сонця (тобто. M1 << М, M2 << М), вийде формулювання третього закону, дана самим Кеплером: .

Третий закон Кеплера можна також ознайомитися висловити як залежність між періодом T звернення з орбіті тіла з безліччю M і великий полуосью орбіти a (G — гравітаційна стала): .

Здесь необхідно зробити таке зауваження. Для простоти часто говориться, що сама тіло звертається навколо іншого, але ці справедливе для випадку, коли маса першого тіла пренебрежимо мала проти масою другого (що притягує центру). Якщо ж маси можна порівняти, слід враховуватиме й вплив менш масивного тіла на більш масивне. У системі координат з початком у центрі мас орбіти обох тіл будуть конічними сечениями, лежать одноплощинно і з фокусами у центрі мас, з ексцентриситетом. Різниця буде лише у лінійні розміри орбіт (якщо тіла різною маси). Першої-ліпшої хвилини часу центр мас лежатиме на прямий, що з'єднує центри тіл, а відстані до центру мас r1 і r2 тіл масою M1 і M2 відповідно пов’язані наступним співвідношенням: r1/r2 = M2/M1. Перицентры і апоцентры своїх орбіт (якщо рух финитно) тіла також проходитимуть одночасно. Третій закон Кеплера можна використовувати, щоб визначити масу подвійних звезд.

Эллипс окреслюється геометричне місце точок, котрим сума відстаней від двох заданих точок (фокусів F1 і F2) є незмінною і рівна довжині великий осі: r1 + r2 = |AA´| = 2a. Ступінь вытянутости еліпса характеризується його ексцентриситетом е. Ексцентриситет е = ОF/OA. При збігу фокусів з центром е = 0, і еліпс перетворюється на окружність. Велика полуось, а є середнім відстанню від фокусу (планети від поверхні Сонця): a = (AF1 + F1A ")/2. Бо за русі по еліпсу повна енергія негативною, велика полуось більше нуля. Довжина малої полуоси b залежить від секториальной швидкості тіла (тобто. швидкості зміни площі, заметаемой радиус-вектором). Кругові орбіти є вырожденным випадком еліптичних. Записуючи другий закон Ньютона, одержимо, що кінетична і потенційна енергія тіла на кругової орбіті пов’язані співвідношенням: 2K = -U. Застосовуючи закон збереження енергії, легко отримати, що K = -E. Т.а. при круговому русі сума повної та кінетичної енергії завжди дорівнює нулю. Елементи орбіти характеризують форму, розміри і орієнтацію в просторі орбіти небесного тіла, і навіть становище тіла в цій орбіті. У час для описи становища планети чи супутника широко використовуються оскуллирующие элементы.

.

Важнейшие крапки й лінії еліпса.

Эллипс окреслюється геометричне місце точок, котрим сума відстаней від двох заданих точок (фокусів F1 і F2) є незмінною і рівна довжині великий осі: r1 + r2 = |AA´| = 2a. Ступінь вытянутости еліпса характеризується його ексцентриситетом е. Ексцентриситет е = ОF/OA. При збігу фокусів з центром е = 0, і еліпс перетворюється на окружність. Велика полуось, а є середнім відстанню від фокусу (планети від поверхні Сонця): a = (AF1 + F1A ")/2. Вона пов’язані з механічної енергією тіла наступним співвідношенням: Бо за русі по еліпсу повна енергія негативною, велика полуось більше нуля. Довжина малої полуоси b залежить від секториальной швидкості тіла (тобто. швидкості зміни площі, заметаемой радиус-вектором): Кругові орбіти є вырожденным випадком еліптичних. Записуючи другий закон Ньютона, одержимо, що кінетична і потенційна енергія тіла на кругової орбіті пов’язані співвідношенням: 2K = -U. Застосовуючи закон збереження енергії, легко отримати, що K = -E. Т.а. при круговому русі сума повної та кінетичною енергії завжди дорівнює нулю. Елементи орбіти характеризують форму, розміри і орієнтацію у просторі орбіти небесного тіла, і навіть становище тіла в цій орбіті. Нині для описи становища планети чи супутника широко використовуються оскуллирующие елементи. Крапка орбіти тіла, найближча до притягивающему центру (фокусу), у випадку називається перицентром, а найбільш віддалена від цього (тільки в еліпса) — апоцентром. Якщо який притягує центром є Земля, то ці точки називаються відповідно перигеем і апогеєм. Найближча точка до Сонцю називається перигелій, найбільш віддалена — афелій. Для Місяця ці точки будуть перилунием (периселением) і аполунием (апоселением), для довільній зірки — периастром і апоастром. Пряма, з'єднує перицентр з фокусом (велика вісь еліпса, вісь параболи чи справжня вісь гіперболи), називається лінією апсид. Відстань від що притягує центру до перицентра одно АF1 = a (1 — e), до апоцентра — F1A «= a (1 + e). Середнє відстань від що притягує центру до тіла, рушійної навколо без нього в еліпсу, одно довжині великий полуоси.

Список литературы

Для підготовки даної праці були використані матеріали із сайту internet.