Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. 
Правило Лопіталя. 
Формула Тейлора для функції однієї та двох змінних

Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора для функції однієї та двох змінних.

.

.

План Основні теореми диференціального числення.

Теорема Ролля.

Теорема Лагранжа.

Теорема Коші.

Правило Лопіталя.

Формула Тейлора для многочлена.

Формула Тейлора для довільної функції.

Формула Тейлора для функції двох змінних.

6.12. Основні теореми диференціального числення У курсі математичного аналізу одне з центральних місць займають так звані теореми про середнє значення, до яких належать теореми Ролля, Лагранжа і Коші. В цих теоремах йдеться про те, що коли функція та її похідна першого порядку задовольняють певним умовам, то всередині інтервалу .

6.12. 1. Теорема Ролля Теорема. Нехай функція .

1) визначена і неперервна на відрізку .

2) диференційована в інтервалі .

3) на кінцях відрізка набуває однакових значень: .

Тоді всередині інтервалу .

Д о в е д е н н я.

Випадок 1. Функція .

.

Тоді .

Випадок 2. Функція .

Через те, що .

.

Покажемо, що .

Справді, оскільки .

Тоді для всіх .

.

.

Розглянемо відношення .

.

.

причому .

Перейдемо в цих нерівностях до границі, коли .

.

Звідси випливає, що .

1) графік функції є суцільна лінія (.

2) крива, що є графіком функції, є гладкою кривою (крива називається гладкою, якщо в кожній її точці можна провести дотичну);

3) крайні точки графіка знаходяться на однаковій висоті від .

6.12. 2. Теорема Лагранжа.

Теорема. Якщо функція .

.

Д о в е д е н н я. Розглянемо функцію.

.

що задовольняє всім умовам теореми Ролля. Справді, .

.

.

Отже, існує точка .

.

звідси.

.

Теорему доведено.

Геометрична інтерпретація теореми Лагранжа. Нехай графік функції зображено на рис. 6.10. Відношення .

Оскільки .

.

.

Рис. 6.19 Рис. 6.10.

Отже, рівність (6.73) можна записати в такому вигляді:

.

або.

.

Зокрема, покладемо .

.

Вираз, який стоїть у лівій частині останньої рівності, є не що інше, як приріст .

.

Формула (6.74) виражає точне значення приросту функції .

в точці .

Наслідок 1. Якщо функція .

Д о в е д е н н я. Візьмемо в проміжку дві довільні точки .

.

Проте .

Оскільки .

Тепер ми можемо сформулювати такий критерій сталості диференційованої функції на заданому проміжку: для того, щоб диференційована на проміжку функція .

Наслідок 2. Якщо функції .

Д о в е д е н н я. Позначимо різницю .

Тоді функція .

.

Проте .

6.12.3. Теорема Коші.

Теорема. Нехай: 1) функції .

.

6.13. Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя Розглянемо невизначеність виду .

Теорема 1. Нехай для функцій .

1) функції визначені на півінтервалі .

.

2) в інтервалі .

3) існує (скінчена або нескінченна) границя.

.

Тоді існує границя відношення .

.

Висновок цієї теореми читають ще так: границя відношення функції дорівнює границі відношення похідних від цих функцій.

Наведену теорему називають першим правилом Лопіталя.

Зауваження 1. Може статися, що поряд з рівностями .

.

Нехай.

.

тоді, застосовуючи двічі доведену теорему, дістаємо таку рівність:

.

Взагалі цей спосіб можна застосовувати доти, поки не прийдемо до відношення .

.

У цьому випадку кажуть, що правило Лопіталя використовується .

Зауваження 2. Теорема 1 при виконанні її умов справджується і тоді, коли точка .

.

Справді, застосувавши підстановку .

.

Сформулюємо другу теорему Лопіталя, яка стосується розкриття невизначеності виду .

Теорема 2. Нехай для функцій .

1) функції визначені на півінтервалі .

.

2) функції диференційовані в інтервалі .

.

3) існує (скінчена або нескінченна) границя.

.

Тоді.

.

Зауваження 3. Крім невизначеностей .

Справді, нехай, наприклад, маємо невизначеність.

Якщо маємо невизначеність .

.

Якщо маємо степінь .

У показнику при .

Приклади. Користуючись теоремами Лопіталя, знайти границі функцій:

1. .

7..

Р о з в «я з о к. Перевіримо виконання умов теорем Лопіталя для першого прикладу. Для прикладів пропонуємо умови теорем перевірити самостійно.

1. Нехай .

Отже, виконуються всі три умови першої теореми Лопіталя. Тому.

.

3. Маємо невизначеність виду .

4. Маємо невизначеність виду .

.

5. Маємо невизначеність .

так: .

.

6. Маємо невизначеність .

Знайдемо границю показника:

.

7.Маємо невизначеність виду .

Отже,.

.

.

Отже,.

.

де .

З цією метою будемо послідовно диференціювати многочлен. Матимемо.

.

.

Підставляючи в ці рівності .

.

.. .. .. ... .

.

.

.

Формулу (6.77) називають формулою Тейлора для многочлена.

6.14.2. Формула Тейлора для довільної функції.

Візьмемо довільну функцію .

Тоді для такої функції можна побудувати многочлен.

.

Розглянемо таку різницю:

.

або.

.

де .

і справедлива для будь-якого .

.

.

.

Аналогічний вигляд має формула Тейлора для функції більшого числа змінних.

.

.

_.

.