Повторные незалежні випробування. 
Формула Бернуллі

Повторные незалежні випробування. Формула Бернулли.

Рассмотрим випадок багаторазового повторення однієї й тієї ж випробування чи випадкового експерименту. Результат кожного випробування вважатимемо які залежать від цього, який результат припало на попередніх випробуваннях. Як результатів чи елементарних фіналів кожного окремого випробування будемо розрізняти лише дві возможности:.

1) поява деякого події А;

2) поява події , (події, що є доповненням А) Пусть ймовірність P (A) появи події А постійна і дорівнює p (0.p1). Можливість P () події позначимо через q: P () = 1- p=q.

Примерами таких випробувань можуть быть:

1) підкидання монети: А — випадання герба;  — випадання цифры.

P (A) = P () = 0,5.

2) кидання гральною кістки: А — випадання кількості очок, рівного п’яти, випадання будь-якого кількості очок крім пяти.

P (A) =1/6, P () =5/6.

3) вилучення наудачу з урни, що містить 7 білих хусток і 3 чорних кулі, одного кулі (з поверненням): А — вилучення білого кулі,  — вилучення чорного шара.

P (A) = 0,7; P () = 0,3.

Пусть вироблено n випробувань, які ми розглядати, як одне складне випадковий експеримент. Складемо таблицю з n клітин, розміщених у ряд, пронумеруємо клітини, і результати кожного випробування відзначатимемо так: тоді як 1-му випробуванні подія, А сталося, то i-ю клітину ставимо цифру 1, якщо подія, А сталося (відбулася подія ), в i-ю клітину ставимо 0.

Если, наприклад, проведено 5 випробувань, й цю подію, А відбулося лише у 2-му і 5-му випробуваннях, то результат можна записати такий послідовністю нулів і одиниць: 0; 1; 0; 0; 1.

Каждому можливого результату n випробувань відповідатиме послідовність n цифр 1 чи 0, які чергуються у порядку, у якому з’являються події A і в n випробуваннях, например:

1; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 0; … 0; 1; 1; 0.

n цифр Всего таких послідовностей можна скласти (це читач може довести сам).

Так як випробування незалежні, то ймовірність P кожної такої результату визначається шляхом перемножения ймовірностей подій A і у випробуваннях. Приміром, для написаного вище результату найдем.

P = pxpxqxpxqxpxqxqx… xqxpxpxq.

Если в написаної нами послідовності одиниця зустрічається x раз (це що означає, що нуль зустрічається n-x раз), то ймовірність відповідного результату буде pnqn-x незалежно від цього, у порядку чергуються ці x одиниць і n-x нулей.

Все події, які у тому, що у n випробуваннях подія A сталося x раз, а подія сталося n-x раз, є несовместными. Тож обчислення ймовірності об'єднання цих подій (чи суми цих подій), потрібно скласти ймовірності всіх подій, кожна з яких дорівнює pnqn-x . Усього таких подій можна нарахувати стільки, скільки утворити різних послідовностей довжини n, містять x цифр «1 «і n-x цифр «0 ». Таких послідовностей виходить стільки, скількома способами можна розмістити x цифр «1 «(чи n-x цифр «0 ») на n місцях, тобто кількість цих послідовностей одно .

Отсюда виходить формула Бернулли:

Pn (x) = .

По формулі Бернуллі розраховується можливість появи події A «x «разів у n повторних незалежних випробуваннях, де p — можливість появи події A щодо одного випробуванні, q — можливість появи події щодо одного испытании.

Сформулированные умови проведення випробувань іноді називаються «схемою повторних незалежних випробувань «чи «схемою Бернуллі «.

Число x появи події A в n повторних незалежних випробуваннях називається частотой.

Пример. З урни, що містить 2 білих хусток і 6 чорних куль, наудачу вибирається з поверненням 5 разів підряд один кулю. Підрахувати можливість, що 4 разу з’явиться білий шар.

В наведених вище позначеннях n=8; p=¼; q=¾; x=5. Потрібну ймовірність обчислюємо по формулі Бернулли:

.

По формулі Бернуллі можна визначити ймовірності всіх можливих частот: x=0,1,2,3,4,5.

Заметим, що тоді як цьому завданні вважати, що білих куль було 20 000, а чорних 60 000, то очевидно p і q залишаться незмінними. Однак у ситуації можна знехтувати поверненням витягнутого кулі після кожної вибірки (при дуже великих значеннях x) і слід вважати ймовірності всіх частот: x=0,1,2,… за такою формулою Бернулли.

Формула Бернуллі при заданих числах p і n дає змоги розраховувати ймовірність будь-який частоти x (0 £ x £ n). Виникає природне запитання, який частоті відповідатиме найбільша вероятность?

Предположим, що ця частота існує, і спробуємо її висунути зі умови, що ймовірність цієї частоти незгірш від ймовірності «попередньої «і «наступної «частот:

Pn (x) ³ Pn (x-1); Pn (x) ³ Pn (x+1) (*).

Первое нерівність (*) представляється в виде:

,.

что еквівалентно чи . Звідси следует:

.

Решая друге нерівність (1), получим.

.

Таким чином, частота, має найбільшу ймовірність (наивероятнейшая частота), визначається подвійним неравенством.

.

Если np+p — ціла кількість (тоді навіть np-q — ціла кількість), то дві частоти: x=np-q і x=n p+p мають найбільшої ймовірністю.

Задачи з решениями.

1. Щодня акції корпорації АВС піднімаються цінується чи падають цінується однією пункт з імовірностями відповідно 0,75 і 0,25. Знайти можливість, що після шести днів повернуться зі своєю початкової ціні. Прийняти умова, що зміни ціни акції угору й униз — незалежні события.

Решение. Для здобуття права акції повернулися за 6 днів зі своєю початкової ціні, потрібно, щоб цей час вони 3 разу піднялися цінується і трьох разу опустилися цінується. Бажана ймовірність вираховується за формулою Бернулли.

.

2. Мотори многомоторного літака ламаються під час польоту незалежно одне одного з ймовірністю р. Многомоторный літак продовжує летіти, якщо не менш половини його моторів. При яких значеннях р двомоторний літак надёжней четырёхмоторного самолёта?

Решение. Двомоторний літак терпить аварію, якщо відмовляють обидва його мотора. Це приміром із ймовірністю р2. Четырёхмоторный літак терпить аварію, якщо ламаються все 4 мотора але це приміром із ймовірністю р4, або ламаються три мотора з 4-х. Можливість останнього події обчислюється за такою формулою Бернуллі: . Щоб двомоторний літак був надёжнее, ніж четырёхмоторный, потрібно, щоб виконувалося неравенство.

р24+4p3(1-p).

Это нерівність зводиться до нерівності (3р-1)(р-1)1/3. Слід зазначити, якби ймовірність виходу з експлуатації мотора літака перевищувала третину, сама ідея використання авіації для пасажирських перевезень було б дуже сомнительной.

3. Бригада з десяти людина йде обідати. Є дві однакові столові, й у член бригади незалежно одне одного йде обідати до будь-якої з цих їдалень. Якщо однієї із їдалень випадково прийде більше відвідувачів, ніж у ній є місць, виникає чергу. Яке найменше місць має в кожній з їдалень, щоб можливість появи черги була за 0,15?

Решение. Рішення завдання доведеться шукати перебором можливих варіантів. Спочатку зауважимо, що у кожної їдальні по 10 місць, виникнення черги неможливо. Якщо кожної їдальні по 9 місць, то чергу виникне лише тоді, якщо все 10 відвідувачів потраплять до однієї їдальню. З умови завдання слід, що всі члени бригади вибирає цю їдальню з імовірністю ½. Отже, все зберуться лише у їдальні з імовірністю 2(½)10=1/512. Ця кількість набагато меншою, ніж 0,15, і треба провести розрахунок для восьмиместных їдалень. Якщо кожної їдальні по 8 місць, то чергу виникне, коли всі члени бригади надійдуть у одну їдальню, ймовірність цієї події вже обчислена, чи 9 людина підуть до однієї їдальню, а 1 людина вибере іншу їдальню. Така ймовірність події розраховується з допомогою формули Бернуллі . Отже, тоді як їдалень по 8 місць, то чергу виникає з імовірністю 11/512, що поки ще менше, ніж 0,15. Нехай нині у кожної з їдалень по 7 місць. Крім двох розглянутих варіантів, у цьому разі чергу виникне, тоді як жодну з їдалень прийде 8 людина, а іншу 2 людини. Це статися з ймовірністю . Отже, у разі чергу виникає з імовірністю 56/512=0,109 375.

Задачи для самостійного решения.

1. Нехай всхожесть насіння пшениці становить 90%. Чому дорівнює можливість, що з 7 посіяних насіння зійдуть 5?

2. Якщо у сім'ї чотири дитини, що імовірніше: це двоє хлопчиків і ще дві дівчинки, і три роки дитини однієї статті і тільки протилежної статі? Прийняти можливість, що це дитина — хлопчик, рівної 0,5.

3 Капітан корабля перед висадкою десанту наказав випустити по берегової смузі довжиною 200 метрів 20 реактивних снарядів, побоюючись замаскованих вогневих точок. Уздовж берега в землю був уритий бункер довжиною 20 метров.

а) Знайти можливість, що 4 снаряда потрапили до бункер.

b) Знайти наивероятнейшее число снарядів, яких спіткало бункер.

4. Приблизно 70% клієнтів банку розплачуються за кредитами вчасно. а) Найти можливість, що із 20 випадково вибраних клієнтів банку вчасно розплатяться по кредитах понад півтора десятка клиентов.

b) Знайти наивероятнейшее число клієнтів із вибраних 20-ти, які вчасно погасять борги за кредитам.

с) Знайти можливість, що став саме наивероятнейшее число клієнтів вчасно погасить борги за кредитам.

5. Підприємство виробляє поліетиленові пляшки. Пивний завод купує їх, наповнює і запускає в торгівлю. Купуючи пляшок на пивзаводі контролю ґатунку із партії відбирається випадково 10 пляшок. Якщо серед пляшок лише два чи менш виявляються дефектними, вся партія приймається і летить в производство.

а) як і можливість, що все партія вжито, якщо підприємство-виробник випускає 10% дефектних бутылок?

b) 20% дефектних бутылок?

с) 30% дефектних бутылок?

d) 40% дефектних бутылок?

Ответы. 1. ~0,124; 2. Вероятность те, що три дитини однієї статті, а одне одного статі вище. 3. a) 11 160 261×10−9"0,0111; b) 2. 4. а)0,238; b) 14; з) ~0,192. 5. а) 0,93; b) 0,677; з) 0,382; d) 0,167.

Список литературы

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із російського сайту internet.