Теорема про диференціювання функції (реферат)

РЕФЕРАТ

Теорема про

диференціювання функції.

Розділ: Диференціальне числення функцій змінної.

Тема: Теорема про диференціювання функцій.

І. Навчальна мета: засвоїти студентам геометричне застосування визначених інтегралів.

ІІ. Між предметна інтеграція: математика.

ІІІ. Зміст:

1. 1.Опрацювати навчальний матеріал.

2. 2.Дати відповіді на питання.

3. 3.Опрацювати приклади.

ІV. План.

1. Формула Тейлора.

V. Контрольні питання:

1. 1.Вивести формулу Тейлора. Способом інтегральних сум вивести формулу для обчислення площі поверхні обертання.

2. 2.Вивести формулу Тейлора для функції $$f(x)=\sqrt{x}$$ при х0=1, n=3.

VI. Використана література:

1. Барковський В. В., Барковська Н. В. «Математика для Економістів» Вища математика. К.: Наукова Академія Управління, 1997. — 397 с. cт. 238−244.

Формула Тейлора Розглянемо одну з основних формул математичного аналізу, так звану формулу Тейлора, яка широко застосовується як в самому ана­лізі, так і в суміжних дисциплінах. Зупинимося лише на трьох засто­суваннях.

В п. 3.3 ми бачили, що заміна приросту функції ЇЇ диференціалом дає змогу утворювати різні наближені формули. Виявляється, що ці формули можна уточнити, якщо застосувати диференціали вищих порядків: про це і йдеться у формулі Тейлора.

Формула Тейлора дає змогу розробити простий аналітичний апа­рат для обчислення значень функції у = f (x), які відповідають заданим значенням незалежної змінної х. Зрозуміло, що в тих випадках, коли функція задається формулою виду $$y=\frac{x^2}{2}-3x+5$$, значення обчислюється лише за допомогою чотирьох арифметичних дій. Але як знайти, наприклад, значення функції $$y=\text{sin}x?$$ Очевидно, цю задачу найпростіше можна «розв'язати» за допомогою калькулятора. Але ж калькулятор дає лише відповідь. А питання проте, які він при цьому виконує дії, залишається відкритим. Формула Тейлора і вказує, які арифметичні дії потрібно виконати над х, щоб одержати sin x.

Іншими словами, формула Тейлора дає змогу зобразити дану функ­цію многочленом, що зручно для складання програм і обчислень цієї функції на ЕОМ.

Ще одне практичне застосування цієї формули пов’язане з об­робкою числових експериментальних даних. Якщо в результаті екс­перименту одержано масив значень (xіуі), то спочатку будують графік залежності у = $$f$$ (х), а потім цю залежність описують аналі­тичне, причому, як правило, у вигляді многочлена.

Обгрунтування можливості представляти функцію многочленом дає формула Тейлора.

Теорема. Нехай функція f (х) має в точці х0 і в деякому її околі похідні до (n + 1)-го порядку включно, і нехай х — довільне значення аргументу із вказаного околу (х $$$$ х0). Тоді між точками х0 і х зна­йдеться така точка с, що справедлива формула.

$$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{\text{'}}(x_0)}{\text{11}}(x-x_0)+\frac{f^{\text{'}\text{'}}(x_0)}{\text{21}}(x-x_0{)}^2+\text{.}\text{.}\text{.}+$$.

$$+\frac{{}^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$$.

$$$$ $$(c=x_0+(x-x_0)\mathrm{,\; 0}<<1)\text{.}$$.

О Позначимо многочлен, то стоїть у правій частині формули (1) через $$$$ (х, х0):

$$(x,x_0)=f(x_0)+\frac{f^{\text{'}}(x_0)}{\text{11}}(x-x_0)+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n\text{.}$$ (2).

Його називають многочленом Тейлора степеня n для функції $$f$$

(х). Різницю між функціями.

$$f$$

(х) і.

$$$$

(х, x0) позначимо через Rn (х):

.

$$R_n(x)=f(x)-(x,x_0)\text{.}$$.

Теорема буде доведена, якщо встановимо, що.

$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1},$$ (3).

де точка С лежить між точками х0 і x-.

Зафіксуємо довільне значення х > x0 із вказаного околу. Позначимо через t величину, що змінюється на відрізку [х0-х], тобто х0 $$$$ t $$$$ х, і розглянемо функцію.

$$F(t)=f(x)-(x,t)-\frac{(x-t{)}^{n+1}{R}_n(x)}{(x-x_0{)}^{n+1}}\text{.}$$ (4).

Ця функція задовольняє всі умови теореми Ролля, тому знайдеть­ся точка с $$$$ (х0- х) для якої.

F'© = 0. (5).

Якщо в функцію (4) підставити значення функції $$$$ (х, t) з форму­ли (3) і результат продиференціювати по t, то знайдемо.

$$F^{\text{'}}(t)=\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t{)}^n+\frac{(n+1)(x-t{)}^n{R}_n(x)}{(x-x_0{)}^{n+1}}=0\text{.}$$ (6).

Покладемо у формулі (6) t = с, тоді з рівності (5) дістанемо.

$$-\frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}(x-c{)}^n+\frac{(n+1)(x-c{)}^n{R}_n(x)}{(x-x_0{)}^{n+1}}=0\text{.}$$.

Розв’язуючи це рівняння відносно Rn (x), дістанемо формулу (3).

Формула (1) називається формулою Тейлора для функції f (х) в околі точки х0, а вираз (3) для Rn (х) — залишковим членом у формі Лагранжа. Величина Rn (х) показує, яку помилку ми робимо, замінюючи функцію $$f$$ (х) її многочленом Тейлора (2).

При цьому формулу (3) можна використати для того, щоб оцінити величину Rn (х) при х $$->$$ х0 і фіксованому n, а також при n $$->$$ $$\mathrm{}$$ .

Формулою Маклорена називають формулу Тейлора (1) при х0 = 0:

$$f(x)=f(0)+\frac{f^{\text{'}}(0)}{\text{11}}x+\frac{f^{\text{'}}(0)}{\text{21}}{x}^2+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}{x}^{n+1}$$ (7).

де точка с знаходиться між 0 i x (с = $$$$ х, 0 < 0 < 1).

Подамо формулу (1) через диференціали вищих порядків. Для цього покладемо в ній х — х0 = $$$$ х, х = х0 + $$$$ х:

$$f(x)=f(x_0+\mathit{})=f(x_0)+\frac{f^{\text{'}}(x_0)}{\text{11}}\mathit{}+$$.

$$+\frac{f^{\text{'}\text{'}}(x_0)}{\text{21}}{\mathit{}}^2+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}{\mathit{}}^n+R_n(x)\text{.}$$ (8).

Оскільки $$f(x_0+\mathit{})-f(x_0)=\mathit{},f^{(n)}(x_0){\mathit{}}^n=d^{n}y,$$, то фор­мулу (8) можна записати у вигляді.

$$\mathit{}=\text{dy}+\frac{d^{2}y}{2!}+\frac{d^{3}y}{3!}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{d^{n}y}{n!}+R_n(x)\text{.}$$ (9).

Покажемо, що коли функція (х) в околі точки х0 обмежена, то залишковий член Rn (x) при х $$->$$ x0 є нескінченно малою вищого порядку, ніж (хx0)n:

$$\underset{x->x_0}{\text{lim}}\frac{R_n(x)}{(x-x_0{)}^n}=\underset{x->x_0}{\text{lim}}\frac{f^{(n+1)}(c)(x-x_0{)}^{n+1}}{(x-x_0{)}^n(n+1)!}=$$.

$$$$ $$=\frac{1}{(n+1)!}\underset{x->x_0}{\text{lim}}{f}^{(n+1)}(c)(x-x_0)=\mathrm{0,}$$.

тому що добуток обмеженої величини на нескінченно малу є величи­на нескінченно мала.

Таким чином, обриваючи формулу (8) або (9) все далі і далі, дістаємо все точніші наближені формули: з точністю до величини $${\mathit{}}^{2}f(x_0+\mathit{})f(x_0)+f^{\text{'}}(x_0)+\mathit{}$$ або $$\mathit{}\text{dy}$$ з точністю до величини $${|\mathit{}|}^3$$.

$$f(x+\mathit{})f(x_0)+f^{\text{'}}(x_0)\mathit{}+\frac{f^{\text{'}\text{'}}(x_0)}{2!}{\mathit{}}^2$$ або $$\mathit{}\text{dy}+\frac{d^{2}y}{2!}-$$.

з точністю до величини $${\mathit{}}^4$$.

$$f(x+\mathit{})f(x_0)+f^{\text{'}}(x_0)\mathit{}+\frac{f^{\text{'}\text{'}}(x_0)}{2!}{\mathit{}}^2+$$.

$$+\frac{f^{\text{'}\text{'}\text{'}}(x_0)}{3!}{\mathit{}}^3$$ або $$\mathit{}\text{dy}+\frac{d^{2}y}{2!}+\frac{d^{3}y}{3!}\text{.}$$.

Те саме можна сказати про формулу (1): для тих значень х, для яких залишковий член Rn (х) достатньо малий, многочлен Тейлора (2) дає наближене зображення функції $$f$$ (х).

Рис. 1 Рис. 2.

Многочлени Тейлора дають найкраще наближення функції $$f$$ (х) у вигляді многочлена даного степеня поблизу точки х0. Це треба ро­зуміти так (рис. 1): серед усіх многочленів цього степеня, які збі­гаються з функцією при х = х0, лише для многочлена Тейлора вели­чина |Rn (х)| виявляється найменшою.

Із формули (3) видно, що залишковий член Rn (x) може бути малим навіть при великому відхиленні х від х0, якщо взяти достатньо вели­ким порядок n многочлена Тейлора, тому що факторіал при збіль­шенні n росте швидше степеня.

Приклади.

1. Знайти многочлен Тейлора для функції $$f$$ (х) = еx, який зображав би цю функ­цію на відрізку [-1−1] з точністю до 0,001. Обчислити наближене значення е. О 3 попереднього прикладу маємо.

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{x^n}{n!}+\frac{e^0{x}^{n+1}}{(n+1)!}\text{.}$$.

Підберемо таке n, при якому модуль залишкового члена був би меншим від числа 0,001, маючи на увазі, що | к | $$$$ 1, число с лежить між 0 і х та $$e^c<e^{|x|}<e\mathrm{:}$$ ;

$$|R_n(x)|=\frac{e^0{x}^{n+1}}{(n+1)!}<=\frac{e{|x|}^{n+1}}{(n+1)!}<=\frac{e}{(n+1)!}<\frac{3}{(n+1)!}-$$.

$$|R_1(x)|<\frac{3}{(1+1)!}=\frac{3}{2}>\mathrm{0,}\text{001}-$$ $$|R_4(x)|<\frac{3}{\text{51}}=\frac{1}{\text{40}}>\mathrm{0,}\text{001}-$$.

$$|R_2(x)|<\frac{3}{(1+2)!}=\frac{1}{2}>\mathrm{0,}\text{001}-$$ $$|R_5(x)|<\frac{3}{\text{61}}=\frac{1}{\text{240}}>\mathrm{0,}\text{001}-$$.

$$|R_3(x)|<\frac{3}{(3+1)!}=\frac{1}{2}>\mathrm{0,}\text{001}-$$ $$|R_6(x)|<\frac{3}{\text{71}}=\frac{1}{\text{1680}}<\mathrm{0,}\text{001}-$$.

Отже, n = 6, тому з точністю до 0,001 справедлива наближена формула.

$$e1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^6}{6!},$$ $$x[-1-1]\text{.}$$.

Якщо в цій формулі покласти, наприклад, х = 1, то матимемо наближене значення числа е:

$$e1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{\text{24}}+\frac{1}{\text{120}}+\frac{1}{\text{720}}\mathrm{2,}\text{718}\text{.}$$.

2. Знайти многочлен Тейлора Р3(х-1) третього степеня відносно двочлена х — 1 для функції $$f(x)=\sqrt[3]{x}\text{.}$$.

О Маємо.

$$f(1)=\sqrt[3]{x}{|}_{x=1}=1-$$ $$f^{\text{'}\text{'}}(1)=\frac{\text{10}}{\text{27}}{x}^{-\frac{8}{3}}{|}_{x=1}=\frac{\text{10}}{\text{27}}$$.

$$f^{\text{'}}(1)=\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}{|}_{x=1}=\frac{1}{3}-$$ $$f^{\text{IV}}(1)=-\frac{\text{80}}{\text{81}}{x}^{-\frac{\text{11}}{3}}{|}_{x=1}=-\frac{\text{80}}{\text{81}\text{.}}$$.

$$f^{\text{'}\text{'}}(1)=-\frac{2}{9}{x}^{-5/3}{|}_{x=1}=-\frac{2}{9}-$$.

Поклавши у формулі Тейлора (1) х0 = 1 і n = 3, дістанемо.

$$\sqrt[3]{x}=1+\frac{1}{3}(x-1)-\frac{2}{92!}(x-1{)}^2+\frac{\text{10}}{\text{27}3!}(x-1{)}^3-\frac{\text{80}}{\text{81}4!}\sqrt[3]{c}(x-1{)}^4,$$.

де с лежить між 1 і х, тому.

$$P_3(x-1)=1+\frac{1}{3}(x-1)-\frac{1}{9}(x-1{)}^2+\frac{5}{\text{81}}(z-1{)}^3\text{.}$$.

Формулу (1) можна записати у вигляді.

$$f(x)=\underset{i=0}{\overset{n}{}}\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0{)}^i+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}\text{.}$$ (10).

Коли функція $$f$$ (х) є многочленом Рn (х) степеня n, то похідна $$P_n^{(n+1)}(x)\mathrm{0,}$$ тому формула (10) матиме вигляд.

$$P_n(x)=\underset{i=0}{\overset{n}{}}\frac{P_n^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0{)}^i\text{.}$$ (11).

Ця формула називається формулою Тейлора для многочлена.