Метод безпосереднього інтегрування (реферат)

Метод безпосереднього інтегрування.

Цей метод базується на рівності $$\text{dx}=\frac{1}{a}d(\text{ax}+b)$$, де, а та b — де сталі і застосовується у тих випадках, коли підінтегральна функція f має вигляд однієї із підінтегральних функцій таб­личних інтегралів, але її аргумент відрізняється від змінної інтегрування постійним доданком або постійним множником або постійним множником та постійним доданком.

Приклад 3. Знайти інтеграли.

$$а){\left(х+а\right)}^8\text{dx-}\begin{array}{ccc}& & \end{array}b)\text{cos}\frac{x}{2}\text{dx-}\begin{array}{ccc}& & \end{array}c)\sqrt[5]{{\left(\text{3x}-7\right)}^2\text{dx}\text{.}}$$.

Розв’язування.

$$a){\left(x+3\right)}^8\text{dx}={\left(x+3\right)}^{8}d(x+3)=\frac{{\left(x+3\right)}^{8+1}}{8+1}+C=\frac{{\left(x+3\right)}^9}{9}+C$$.

У цьому випадку змінна інтегрування х відрізняється від аргументу степеневої функції u8 = (х + 3)8 на постійний доданок 3;

$$b)\text{cos}\frac{x}{2}\text{dx}=\frac{1}{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}c\text{os}\frac{x}{2}d\left(\frac{x}{2}\right)=\text{2sin}\frac{x}{2}+C$$.

У цьому випадку аргумент функції косинус відрізняється від змінної інтегрування х на множник ½.

$$c)\sqrt[5]{(\text{3x}-7{)}^2\text{dx}=\frac{1}{3}(\text{3x}-7{)}^{\frac{2}{5}}d(\text{3x}-7)=\frac{1}{3}\frac{(\text{3x}-7{)}^{\frac{2}{5}+1}}{\frac{2}{5}+1}+C=\frac{5}{\text{21}}(\text{3x}-7{)}^{\frac{7}{5}}+C}$$.

У цьому випадку змінна інтегрування х відрізняється від аргу­мента степеневої функції u2/5 = (3х — 7)2/5 постійним множником 3 та постійним доданком (- 7).

Метод підстановки (заміни змінної).

Цей метод містить два прийоми.

а) Якщо для знаходження заданого інтеграла $$f(x)\text{dx}$$ зробити підстановку х = $$$$ (t), тоді має місце рівність.

$$f(x)\text{dx}=f[(t)]{}^{\text{'}}(t)\text{dt}$$.

Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до початкової змінної інтегрування х. Для застосування цього прийому треба, щоб функція х = $$$$ (t) мала обернену t = $$$$ (х).

Приклад 4. Знайти інтеграл $$I=\frac{x^2\text{dx}}{\sqrt{\text{25}-x^2}}$$.

Розв’язування. Зробимо підстановку x = 5sin t, тоді.

$$\sqrt{\text{25}-x^2}=\sqrt{\text{25}-{\text{25sin}}^{2}t}=\text{5cost,}{\begin{array}{c}\text{dx}=(\text{5sint {})\end{array}}^{\text{'}}\text{dt}=\text{5cost}\text{dt}$$.

Отже, одержимо.

$$\begin{array}{c}I=\frac{{\text{25sin}}^{2}t\text{5cost}\text{dt}}{\text{5cost}}=\text{25}{\text{sin}}^2\text{dt}=\frac{\text{25}}{2}(1-\text{cos2t})\text{dt}=\frac{\text{25}}{2}(\text{dt}-\text{cos2tdt})=\\ \begin{array}{cccc}& & & \end{array}=\frac{\text{25}}{2}t-\frac{\text{25}}{4}\text{sin2t}+C\end{array}$$.

Із рівності х = 5 sin t одержимо t = arcsin (x/5);

$$\text{sin2t}=\text{2sint}\text{cost}=2\frac{x}{5}\frac{1}{5}\sqrt{\text{25}-x^2}$$.

Отже,.

$$I=\frac{\text{25}}{2}\text{arcsin}\frac{x}{2}-\frac{\text{25}}{4}\frac{\text{2x}}{\text{25}}\sqrt{\text{25}-x^2}+C=>I=\frac{\text{25}}{2}\text{arcsin}\frac{x}{5}-\frac{x}{2}\sqrt{\text{25}-x^2}+C$$.

b) Якщо зробити заміну змінної, тобто t = $$$$ (х) тоді має місце рівність $$f[(x)]{}^{\text{'}}(x)\text{dx}=f(t)\text{dt}\text{.}$$ .

Після знаходження останнього інтеграла треба по вернутись до змінної х, використовуючи рівність t = $$$$ (х).

Зауваження:

1. 1.Якщо підстановка обрана вдало, то одержаний інтеграл буде простішим і мета підстановки досягнута.

2. 2.Якщо підінтегральний вираз містить корень вигляду $$\sqrt{{а}^2-{х}^2}$$, то доцільно застосувати тригонометричну підстановку х = a cos t або х = а sin t.

3. 3.Знаходження вдалої підстановки для інтегрування певної множини функцій є значною подією в інтегральному численні. Видатний вчений XVIII віку, член Петербурзької академії наук Л. Ейлер вказав підстановку $$t=x+\sqrt{x^2\pm a}$$ для знаходження інтеграла $$\frac{\text{dx}}{\sqrt{x^2\pm a}}$$. У цьому випадку.

$$\text{dt}=\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2\pm a}}\right)\text{dx}=>\frac{\text{dx}}{\sqrt{x^2\pm a}}=\frac{\text{dt}}{x+\sqrt{x^2\pm a}}$$ або $$\frac{\text{dx}}{\sqrt{x^2\pm a}}=\frac{\text{dt}}{t}$$.

Отже,.

$$\frac{\text{dx}}{\sqrt{x^2\pm a}}=\frac{\text{dt}}{t}=\text{ln}|t|+C=\text{ln}|x+\sqrt{x^2\pm a}|+C$$.